精品解析： 黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（五四制）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学八年级（上）期中 数学试卷（五四学制） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，有点,点关于轴的对称点是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标：纵坐标相同横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】关于轴对称点的坐标是纵坐标不变横坐标变为原来的相反数 可知，关于轴对称点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方运算的法则求解即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的乘法运算中同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则． 4. 等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解. 【详解】解：等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角是； 故选：C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理，熟练掌握上述基本知识是关键. 5. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．中等号右边不是积的形式，故A不符合题意； B．是乘法运算，故B不符合题意； C．是乘法运算，故C不符合题意； D．符合因式分解的定义，故D符合题意； 故选D． 6. 如图，在中，，，过点A作的垂线交于D，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键． 由题意可知，，则，，则，计算求解，进而可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 故选：B． 7. 如图所示，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于，两弧相交于点M，N，作直线，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：D． 8. 若，则k的值为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则的应用，能正确根据法则进行计算是解此题的关键． 根据多项式乘以多项式法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 9. 如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确识图是解题的关键．分别表示出图①和图②的面积，再根据图①和图②的面积相等即可求解． 【详解】解：由题意可得，图①中阴影部分的面积是：， 图②中矩形的面积是：， 图①和图②的面积相等， ， 故选：B． 10. 如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，以下五个结论：；；；平分；．正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定 ，根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，正确；先证明即可判断出即可得正确；根据，可得为等边三角形，证出得出，正确；没有条件证出，得出错误；作，，证明可判断；⑤ ，⑤正确，即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论正确； ∴， ∴，结论正确； 作，， ∵， ∴， ∴平分，故正确； ∵， ∴， ∴，结论正确； 综上正确， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共计24分） 11. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方计算法则进行计算. 【详解】 故答案为: 【点睛】考核知识点：积的乘方.掌握法则是关键. 13. 如图，在中，，，点为的中点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性质得到，，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，，熟记公式是解题的关键． 15. 在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可以求得和的度数，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 点在边上，为等腰三角形， 如图，当时， ， ． 如图，当时， ， ． 故答案为：或． 16. 如图，直线，的顶点C在直线b上，，是等边三角形，则_______°． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．等边三角形三个角都是． 先利用平行线的性质得，再根据等边三角形的性质得，然后根据三角形外角性质计算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 17. 如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点，， ，， ∵的面积是20， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：12． 18. 如图，在等边中，点D在的延长线上，点E在线段上，连接，，，，则线段的长度为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，连接，过点F作，交于G，连接，利用全等三角形的性质证明，，推出，设设构建方程求解即可． 【详解】解：连接，过点F作，连接， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴可以假设，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（19题6分，20、21、22、23、24题各8分，25、26题各10分，共计66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）先计算幂的乘除法，再计算幂加法． （2）按单项式乘以多项式计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 先化简再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题主要查了整式的混合运算—化简求值．先根据平凡差公式和完全平方公式计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，. （1）画出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标____； （3）直接写出的面积为____. 【答案】（1） 如图所示即为所求作的图形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点的坐标即可； （3）用三角形所在矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为的坐标为，所以点关于轴的对称点的坐标； 故答案为：； 【小问3详解】 解：的面积：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，求关于坐标轴对称的点的坐标，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 22. 如图1，在和中，，，与交于点E，过点E作于点F． （1）求证：垂直平分； （2）如图2，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∴垂直平分； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定定理先判定，然后根据其全等性质即可得出，进而得出，判定是等腰三角形，根据三线合一性质，即可得证； （2）证明平分，得出，由（1）得，得出，结合，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的判定、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 23. 1.阅读理解： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值． 若，则这个代数式的值为________﹔若，则这个代数式的值为_______；…… 可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，尽管如此；把一个代数式进行变形，可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如：例如： ∵ ∴ ∴当时，代数式的最小值是，此时的值为． （2）求代数式的最小值，并写出相应的x的值． （3）代数式的最大值为 ． 【答案】（1）6，11；（2）当时，代数式的最小值是5；（3）． 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答． （1）把和分别代入代数式中，再进行计算即可得出答案； （2）模仿示例，根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案； （3）模仿示例，根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入中，得：； 若，则这个代数式的值为； 故答案为：6，11； （2）， ， ∴， ∴当时，代数式的最小值是5，相应的x的值是； （3）根据题意得： ， ， ∴， ∴当时，代数式的最大值是，相应的x的值是． 24. 如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像（阴影部分）． （1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） （2）若a、b满足时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 【答案】（1）平方米 （2）10750元 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式以及代数式求值，掌握多项式乘多项式的计算方法，完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中面积之间的关系进行计算即可； （2）求出a、b的值，代入求出草坪的面积，再根据单价×数量=总价进行计算即可． 【小问1详解】 解： 平方米； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴草坪的面积为（平方米）， ∴购买草坪所需要的总费用为（元）． 25. 已知，四边形中，，连接，平分交于，点为上一点，连接、，交于，交于，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，平分，则、、的关系为 ； （3）如图3，在（2）的条件下，为上一点，连接、，交于点，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：，平分， ，． ． ． ， ， ， ． ， ． ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角的性质解答即可； （2）延长，交的延长线于点，利用等腰三角形的性质和平行线的判定定理得到，利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质得到，，再利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质解答即可； （3）延长，交于点，连接，交于点，连接，，，利用（2）的结论和等腰三角形的判定与性质得到，则垂直平分，利用线段的垂直平分线的性质，矩形的判定与性质求得；利用全等三角形的判定与性质求得；再利用等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质求得，利用含角的直角三角形的性质求得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：、、的关系为．理由： 延长，交的延长线于点，如图， ，平分， ，， 平分， ， ， ， ． ， ，， ，， ，． ． 在和中， ， ， ，， ， 为的垂直平分线， ． ， ． 故答案为：； 【小问3详解】 解：延长，交于点，连接，交于点，连接，，，如图， 由（2）知：，垂直平分， ，， ， ， ，， ， 垂直平分，， ，，， ， ， 垂直平分， ，， 四边形为矩形， ，， ． ，平分， ． 在和中， ， ， ，． ，， 为等边三角形， ． 垂直平分， ， ， ，， ， 设， ， ， ． ， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，，面积为，点为线段上一点． （1）直接写出点、点坐标，点坐标为 　，点坐标为 　； （2）如图，当时，设长度为，用含有的式子表示． （3）如图，将线段绕点逆时针旋转得到，将线段绕点顺时针旋转得到，若，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用面积为求出即可求解； （）在轴上截取，可得，设，得到，，即得，据此即可求解； （）过作轴于，由旋转的性质可得，，即得，进而可证，得到，，即得，再根据可得，利用待定系数法求出直线的解析式为，过作轴于，再证明，得到，，即得，最后把点坐标代入直线的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：（）∵面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵点坐标为， ∴， 在轴上截取， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过作轴于， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ 解得 ∴直线的解析式为， 过作轴于， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴的值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学八年级（上）期中 数学试卷（五四学制） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，有点,点关于轴的对称点是( ) A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是（ ） A. B. 或 C. D. 5. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，过点A作的垂线交于D，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3 7. 如图所示，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于，两弧相交于点M，N，作直线，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 若，则k的值为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 9. 如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，以下五个结论：；；；平分；．正确的有（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计24分） 11. 因式分解x3－9x=__________． 12. 计算：________． 13. 如图，在中，，，点为的中点，则_____． 14. 已知，则___________． 15. 在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形，则的度数为________． 16. 如图，直线，的顶点C在直线b上，，是等边三角形，则_______°． 17. 如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 18. 如图，在等边中，点D在的延长线上，点E在线段上，连接，，，，则线段的长度为 _________． 三、解答题（19题6分，20、21、22、23、24题各8分，25、26题各10分，共计66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简再求值：，其中． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，. （1）画出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标____； （3）直接写出的面积为____. 22. 如图1，在和中，，，与交于点E，过点E作于点F． （1）求证：垂直平分； （2）如图2，若，求的度数． 23. 1.阅读理解： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值． 若，则这个代数式的值为________﹔若，则这个代数式的值为_______；…… 可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，尽管如此；把一个代数式进行变形，可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如：例如： ∵ ∴ ∴当时，代数式的最小值是，此时的值为． （2）求代数式的最小值，并写出相应的x的值． （3）代数式的最大值为 ． 24. 如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像（阴影部分）． （1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） （2）若a、b满足时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 25. 已知，四边形中，，连接，平分交于，点为上一点，连接、，交于，交于，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，平分，则、、的关系为 ； （3）如图3，在（2）的条件下，为上一点，连接、，交于点，若，，，求的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，，面积为，点为线段上一点． （1）直接写出点、点坐标，点坐标为 　，点坐标为 　； （2）如图，当时，设长度为，用含有的式子表示． （3）如图，将线段绕点逆时针旋转得到，将线段绕点顺时针旋转得到，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $