2025年山西九年级中考数学一轮复习课件 第二章第4节 方程（组）的概念及解法

第二章　方程与不等式 核心素养主要表现：模型观念、应用意识、运算能力 1.了解各类方程（组）及不等式（组）的概念，体会方程、不等式是对数量关系的刻画. 2.掌握各类方程（组）的解法，体会解法中蕴含的转化思想，能用方程（组）解决简单的实际问题，初步形成模型观念，强化应用意识. 3.能用不等式的性质解一元一次不等式（组），能列出一元一次不等式解决实际问题，初步形成模型观念. 素养目标 山西中考近五年考查情况 年份及分值 2024（约18分） 2023（16分） 2022（18分） 2021（18分） 2020（17分） 方程（组）的概念及解法   第17题：解分式方程 第16（2）题：解二元一次方程组     方程（组）的应用 第19题：二元一次方程组的应用 第19（1）题：二元一次方程组的应用 第18题：分式方程的应用（行程问题） 第17题：一元二次方程的应用（日历问题） 第18题：分式方程的应用（行程问题） 第14题：一元二次方程的应用（图形面积问题） 第17题：一元一次方程的应用 第21（2）题：分式方程的应用 考情导览 续表 山西中考近五年考查情况 年份及分值 2024（约18分） 2023（16分） 2022（18分） 2021（18分） 2020（17分） 不等式（组）的概念、解法及应用 第17题：不等式的应用     第19（2）题：不等式的应用 第5题：求不等式组的解集 第14题：不等式的应用 第16（2）题：不等式的算理问题 第6题：求不等式组的解集 备考策略 1. 明思路，建体系（大单元架构，有重点、有层次地复习备考） 备考策略 2. 晰方向，通方法 方程（组）与不等式（组）是有效刻画现实世界的数学模型，是解决实际问题的重要工具.在近几年山西初中学业水平考试中，各类方程（组）及一元一次不等式（组）的解法和应用的分值占比较大.建议在复习中借助几何直观（线段图、表格）分析数量关系，建立方程.重视在真实任务情境中分析具体的数量关系，避免套用固定的等式. 第4节 方程（组）的概念及解法 正确理解方程和解各类方程(组)是培养运算技能的重要组成部分.初中阶段,不同类型的解方程都依据等式的基本性质或方程的同解原理,经过变形转化为一元一次方程,转化、化归思想统领解方程的全过程. 大单元整合说明： 中考课标导航 2011年版课标 考情 考点 掌握等式的基本性质 能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程 掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组 —— 1.等式的基本性质 —— 2.方程及其相关概念 返回目录 续表 中考课标导航 2011年版课标 考情 考点 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等 5年1考 2020年第17题：列一元一次方程解决实际问题 3.解方程 （1）一元一次方程的解法 （2）二元一次方程组的解法 5年3考 2024年第19题、2023年第19（1）题：列二元一次方程组解决实际问题 2022年第16（2）题：解二元一次方程组 返回目录 续表 中考课标导航 2011年版课标 考情 考点 经历估计方程解的过程（2022年版课标新增：理解方程解的意义） *了解一元二次方程的根与系数的关系（2022年版课标调整为必学内容） 5年2考 2021年第17题、2020年第14题：列一元二次方程解决实际问题 （3）一元二次方程的解法 （4）分式方程的解法 5年4考 2023年第17题：解分式方程 2022年第18题、2021年第18题、2020年第21（2）题：列分式方程解决实际问题 返回目录 必备知识梳理 一、等式的基本性质 等式的基本性质1：__________________________________________________ ______________. 等式的基本性质2：__________________________________________________ _____________________. 等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结 果仍是等式 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）， 所得结果仍是等式 返回目录 必备知识梳理 二、方程的概念及分类 1.方程的概念：含有未知数的等式叫做方程.方程是刻画现实世界等量关系的重要模型. 返回目录 必备知识梳理 2.方程的分类：整式方程和分式方程. （1）整式方程：根据所含未知数的个数、次数分类. 一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数， 且未知数的次数都是1的方程 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数 的项的次数是1的方程 一次方程 二元一次方程组：共含有两个未知数的两 个一次方程所组成的一组方程 返回目录 二次方程 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程.它的一般形式为 . （2）分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 必备知识梳理 ax2 + bx + c = 0（其中a，b，c为常数，a ≠ 0） 返回目录 必备知识梳理 三、方程（组）的解法 1.方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程解的过程叫做解方程.解方程的基本思路是根据等式的基本性质将方程变形为x=a的形式，体现的数学思想是转化思想. 3.解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1. 返回目录 （1）思路：二元一次方程组 一元一次方程 （2）两种消元法： 消元法与 消元法 消元 转化 必备知识梳理 代入 加减 4.二元一次 方程组的解法 返回目录 必备知识梳理 （1）思路：一元二次方程组 一元一次方程 降次 转化 5.一元二次 方程的解法 （2）四种解法 直接开方法：适用于形如（x + m）2 = n 的一元二次方程 配方法：适用于所有的一元二次方程，通过 配方将一元二次方程化为（x ± m）2 = n的形式求解 返回目录 必备知识梳理 公式法： 适用于所有的一元二次方程，将一 元二次方程化为一般形式ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），确定a，b，c的值， 代入根的判别式，当b2 - 4ac ≥ 0时， 代入求根公式 ； 当b2 - 4ac < 0时，该方程没有实数根 因式分解法：适用于可化为（x - m）（x - n） = 0的形式的一元二次方程 x = 5.一元二次 方程的解法 （2）四种解法 返回目录 必备知识梳理 （3）根的 判别式 定义： 一般地，式子b2 - 4ac叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）根的判别式，通常用希腊字母“”来表示 判别式与 根的关系 当b2 - 4ac > 0，即 > 0时，方程有 的实数根 当b2 - 4ac = 0，即 = 0时，方程有 的实数根 当b2 - 4ac < 0，即 < 0时，方程 实数根 两个不相等 两个相等 没有 5.一元二次 方程的解法 返回目录 必备知识梳理 6. 分式方 程的解法 （1）思路：分式方程 一元一次方程 得解 去分母 转化 求解 验根 （2）增根：使原分式方程的 为0的根 （3）检验（验根）：把一元一次方程的解代入最简公分母.若结果为0，则是分式方程的增根，分式方程无解；若结果不为0，则是分式方程的解 分母 返回目录 必备知识梳理 一元一次方程是解各类方程的基础，各类方程之间有如下关系： 知识链接 返回目录 1.下列等式变形错误的是（ ） A. 若a = b，则a + c = b + c B. 若a=b，则a-b=0 C. 若a = b，则a2 = ab D. 若a = b，则 = 考点一　等式的基本性质 中考考点精讲 D 返回目录 中考考点精讲 2.在物理学中，密度ρ、质量m和体积V之间存在特定的关系，将该式去分母变形得m=ρV，那么变形的依据是 . 等式的基本性质2 返回目录 中考考点精讲 3.若关于x的一元一次方程2x + m = 5的解为x = 1，则m的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 7 D. -7 考点二　方程及其相关概念 A 返回目录 中考考点精讲 4.关于x，y的二元一次方程组用代入法消去y后所得到的方程为（ ） A. 3x - x - 5 = 8 B. 3x + x - 5 = 8 C. 3x + x + 5 = 8 D. 3x - x + 5 = 8 D 返回目录 中考考点精讲 5.（2018山西第4题）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. C 返回目录 中考考点精讲 6.关于x的一元二次方程x2 - x + c = 0有两个相等的实数根，则c的值为 . 返回目录 中考考点精讲 7.（2019山西第8题）一元二次方程x2 - 4x - 1 = 0配方后可化为（ ） A. （x + 2）2 = 3 B. （x + 2）2 = 5 C. （x - 2）2 = 3 D. （x - 2）2 = 5 D 返回目录 8.我们解一元二次方程（x - 3）2 - 4（x - 3）= 0时，可运用因式分解法将此方程转化成两个一元一次方程. 其中一个一次方程是x - 3 = 0，则另一个一次方程是（ ） A. x - 4 = 0 B. x - 7 = 0 C. x - 1 = 0 D. x + 1 = 0 中考考点精讲 B 返回目录 9. 估算一元二次方程解的范围. （1） 请你利用二次函数y = x2 + 2x - 10的图象估计一元二次方程x2 + 2x - 10 = 0的根的情况.由图象可知x2 + 2x - 10 = 0有 个实数根，一个根在 和 之间，另一个根在 和 之间. 中考考点精讲 两 -5 -4 2 3 新课标—代数推理 返回目录 中考考点精讲 （2）根据下列表格中的对应值判断一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0，a，b，c为常数）的一个根的取值范围为（ ） C x … 3.23 3.24 3.25 3.26 … ax2 + bx + c … -0.06 -0.02 0.03 0.09 … A. 3 < x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 < x < 3.25 D. 3.25 < x < 3.26 返回目录 中考考点精讲 考点三　解方程（5年5考） 10. 解一元一次方程. （1）x - 3（x - 2）= 2（2x - 7）. 解：去括号得x - 3x + 6 = 4x - 14. 移项得x - 3x - 4x = -6 - 14. 合并同类项得-6x = -20. 系数化为1得x = . 返回目录 中考考点精讲 （2）. 解：去分母得6x - 3（x - 1） = 12 – 2（x + 2）. 去括号得6x - 3x + 3 = 12 - 2x - 4. 移项得6x - 3x + 2x = 12 - 4 - 3. 合并同类项得 5x = 5. 系数化为1得x = 1. 返回目录 中考考点精讲 11. 解二元一次方程组. （1） 解：① + ②得3x = 9. 解得x = 3. 把x = 3代入②，解得y = 3. 所以原方程组的解为 返回目录 中考考点精讲 解：由①得x = 2y + 4. ③ 将③代入②得2（2y + 4）+ y - 3 = 0. 解得y = -1. 把y = -1代入③得x = 2×（-1）+ 4 = 2. 所以原方程组的解为 （2） 返回目录 中考考点精讲 12. 解一元二次方程. （1）x2 - 4x - 5 = 0. 解：移项得x2 - 4x = 5. 配方得x2 - 4x + 22 = 22 + 5，即（x - 2）2 = 9. 两边开平方得x - 2 = ±3， 即x - 2 = 3或x - 2 = -3. 所以x1 = 5，x2 = -1. 返回目录 中考考点精讲 解：原方程可变形为x（2x - 5） - 2（2x - 5） = 0. （2x - 5）（x - 2） = 0. 2x - 5 = 0或x - 2 = 0. 解得x1 = ，x2 = 2． （2）x（2x - 5） = 4x - 10. 返回目录 中考考点精讲 （3）4x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里a = 4，b = -3，c = -2. ∵ b2 - 4ac = （-3）2 - 4 × 4 × （-2） = 41 > 0， ∴x = ，即x1 = x2 =． 返回目录 中考考点精讲 随堂笔记 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程都属于整式方程. 其中解一元二次方程需注意： 1. 配方法和公式法普遍适用于解一元二次方程. 2. 当方程易化为（x ± m）2 = n（n ≥ 0）的形式时，用直接开平方法；当方程易化为（x + m）（x + n） = 0的形式时，用因式分解法. 3. 整理方程时，方程两边不能同时除以公因式，以免漏根. 返回目录 中考考点精讲 13. 解分式方程. （1）. 解：方程两边都乘2（x-1）得2 + 2x - 2 = 3． 解得x = ． 检验：当x = 时，2（x -1）= 1≠0， 所以原分式方程的解为x = ． 返回目录 中考考点精讲 解：方程两边同乘x - 3得1 - x = -2 - 3（x - 3）. 解得x = 3. 检验：当x = 3时，x - 3 = 0. 所以原分式方程无解. （2）. 返回目录 中考考点精讲 14. 下面是小宇同学解分式方程 + 1 = 的过程，请认真阅读并完成相应学习任务. 解：方程两边同乘x - 2得x - 3 + 1 = -3， …………………………第一步 解得x = -1. …………………………………………………………第二步 所以，原分式方程的解为x = -1. …………………………………第三步 任务：（1）上面的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 . 常数项漏乘最简公分母 一 返回目录 中考考点精讲 （2）上面的解题过程还缺少的步骤是 ，请写出正确的解答过程. 检验 解：（2）方程两边同乘x - 2得x - 3 + x - 2 = -3， 解得x = 1. 检验：当x = 1时，x - 2 ≠ 0. 所以原分式方程的解为x = 1. 返回目录 中考考点精讲 易错点拨 1. 去分母，依据等式的基本性质2，注意：①不要漏乘常数项；②分式前为“-”、分子为多项式时，分子要加括号. 2. 去括号，括号前是“-”，去掉括号时注意括号内每一项都变号. 3. 移项时，依据等式的基本性质1，移项符号要变化. 4. 解分式方程，一定要写检验过程. 5. 最后莫忘写结论. 返回目录 阿尔·花剌子米是著名数学家、天文学家、地理学家，也是代数与算术的创立者，被誉为“代数之父”. 他利用以下方法求得一元二次方程x2 + 2x - 35 = 0的一个正根：将边长为x的正方形、边长为1的正方形和两个长为x，宽为1的长方形拼合成面积为x2 + 2x + 1的正方形. x2 + 2x - 35 = 0变形得x2 + 2x + 1 = 35 + 1，可理解为边长为x + 1的正方形面积为36. 所以（x+1）2 = 36，则一元二次方程x2 + 2x - 35 = 0的一个正根为x = 5． 新课标—代数推理 返回目录 核心素养提升—问题解决 （1）上述求解过程中最主要用的方法是 . A. 直接开平方法 B. 公式法 C. 配方法 D. 因式分解法 （2）他所用的最主要的数学思想方法是 ． A. 分类讨论 B. 数形结合 C. 转化 D. 整体思想 C B 返回目录 核心素养提升—问题解决 （3）运用上述方法构造出符合方程x2 + 6x - 7 = 0的一个正根的正方形（画出拼接的正方形），并求出正根. 解：（3）所画图形如答图所示. ∵方程x2 + 6x - 7 = 0变形得x2 + 6x + 9 = 16， 可理解为边长为x + 3的正方形面积为16. ∴（x + 3）2 = 16. ∴x + 3 = 4，方程x2 + 6x - 7 = 0的一个正根为x = 1. 返回目录 核心素养提升—问题解决 $$