2025年山西九年级中考数学一轮复习课件 小专题二 反比例函数综合

小专题二 反比例函数综合 在本专题的复习过程中，你需要持续思考以下问题： 1. 反比例函数中k的几何意义是什么？ 2. 解决反比例函数与一次函数综合问题的切入点是什么？ 参数k的几何意义：如图，过双曲线y = （k为常数，k ≠ 0）上任一点 P（x，y）作x轴、y轴的垂线PA，PB，S矩形PAOB = PA·PB = = . 1. 返回目录 名师一点通 提炼基本方法 一点一垂线（及变形）：   一点两垂线（及变形）：S阴影=   2. 常见图例及结论： 返回目录 名师一点通 提炼基本方法 续表 两点一垂线：S阴影 =   两点两垂线：S阴影 =   返回目录 名师一点通 提炼基本方法 类型一 反比例函数k的几何意义 1. 如图，是反比例函数的图象，直接写出下列各图中阴影部分的面积. 12 返回目录 典例精讲 掌握通性通法 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数y = k2x （k2 ≠ 0）的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC. 若S△ABC = 8，则k1= . -8 2. 返回目录 典例精讲 掌握通性通法 （2019山西第14题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为（-4，0），点D的坐标为（-1，4），反比例函数y = （x > 0）的图象恰好经过点C，则k的值为 . 16 3. 返回目录 典例精讲 掌握通性通法 如图，A，B是反比例函数y = （x ＞ 0）图象上的点，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，OB交AC于点E. 若点E为AC的中点，则图中阴影部分（四边形BDCE）的面积为 . 2 4. 返回目录 典例精讲 掌握通性通法 （2017山西第18题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上. 函数y = 2x的图象与CB交于点D，函数y = （k为常数，k ≠ 0）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y = 2x的图象在第三象限内交于点F， 连接AF，EF. （1）反比例函数的表达式可通过点D或点E的坐标求得，而点D的纵坐标由正方形的性质可得；（2）要求三角形的面积关键点是要理清点的坐标、线段长度及函数表达式的关系. 思路分析 1. 类型二 反比例函数与一次函数综合 返回目录 典例精讲 掌握通性通法 （1）求函数y = 的表达式，并直接写出E，F两点的坐标 . 解：（1）∵正方形OABC的边长为2， ∴点D的纵坐标为2， 即y = 2. 将y = 2代入y = 2x，得x = 1. ∴点D的坐标为（1，2）. ∵函数y = 的图象经过点D，∴2 = . ∴k = 2. ∴函数y = . ∴E（2，1），F（-1，-2）. 返回目录 典例精讲 掌握通性通法 （2）求△AEF的面积. 解：（2）如答图，过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G. ∵E，F两点的坐标分别为（2，1），（-1，-2）， ∴AE = 1，FG = 2-（-1）= 3. ∴S△AEF = . 返回目录 典例精讲 掌握通性通法 （2024百校二）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与反比例函数（x > 0）的图象交于点C，CD⊥y轴于点D，CD = 2. （1）求直线AC的函数表达式. 解：（1）∵CD⊥y轴于点D，CD = 2， ∴点C的横坐标为2. 将x = 2代入，得y = 5，∴C（2，5）. 2. 返回目录 典例精讲 掌握通性通法 设直线AC的函数表达式为y = kx + b（k ≠ 0）， 将点B，C（2，5）代入y = kx + b得 ∴直线AC的函数表达式为. 返回目录 典例精讲 掌握通性通法 （2）当反比例函数（x > 0）的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围. 解： （2）. 返回目录 典例精讲 掌握通性通法 （3）设点P是x轴上的点，若△PAC的面积等于15，请求出点P的坐标. 解：（3）当y = 0时， = 0，解得x = -2. ∴A（-2，0）. ∵点P是x轴上的点, ∴设点P的坐标为（x0，0）. ∵C（2，5）， ∴S△APC = ×AP×5 = 15. ∴AP = 6. ∴ = 4. ∴点P的坐标为（-8，0）或（4，0）. 返回目录 典例精讲 掌握通性通法 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且，反比例函数y = 0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M. 连接OD，OM，DM. 若△的面积为3，则k的值为 . 4 1. 返回目录 提分训练 方法触类旁通 点拨：如图析，连接BM. 设B点的坐标为（a，b）， 则M 可得ab = 16，所以k = 4. 返回目录 提分训练 方法触类旁通 如图，一次函数y1 = kx + b（k ≠ 0）与反比例函数为y2 = （m ≠ 0 ，x > 0）的图象交于A（4，1），B两点． 2. 返回目录 提分训练 方法触类旁通 解：（1）把点A（4，1）代入中，得m = 4. ∴反比例函数的表达式为. 把点B中，得a = 8.∴点B的坐标为. 把点A（4，1），B代入y1 = kx + b（k ≠ 0）中， 得 ∴一次函数的表达式为y1 = -2x + 9. （1）求一次函数及反比例函数的表达式. 返回目录 提分训练 方法触类旁通 （2）当y1 - y2＞0时，请根据图象直接写出x的取值范围. （3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数y2的图象于点Q.若△POQ面积为3，求点P的坐标． 解：（2） < x < 4. （3）根据题意设点P的坐标为（t， -2t + 9），则点Q的坐标. ∴PQ = -2t + 9 - ，OM = t.∵S△POQ = 3，∴ . 当时，-2t + 9 = 4，∴P. 当时，-2t + 9 = 5，∴P（2，5）.∴点P的坐标为或（2，5）. 返回目录 提分训练 方法触类旁通 $$