2025年山西九年级中考数学一轮复习课件 第三章第9节 函数的图象与性质

第9节 函数的图象与性质 通过数形结合研究三种函数的基本性质，揭示函数与方程、不等式的内在联系，其研究路径和研究方法是一致的. 大单元整合说明： 中考课标导航 2011年版课标 考情 考点 能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y = kx + b（k ≠ 0）探索并理解k > 0和k < 0时图象的变化情况 理解正比例函数 体会一次函数与二元一次方程的关系 5年1考 2024年第6题：一次函数的图象与性质 1. 一次函数的图象及性质 返回目录 中考课标导航 2011年版课标 考情 考点 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 y = （k ≠ 0）探索并理解k > 0和k < 0时图象 的变化情况 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质（2022年版课标新增：知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系） 5年3考 2023年第8题、2021年第5题、2020年第7题：反比例函数的图象及性质 2. 反比例函数的图象及性质 续表 返回目录 续表 中考课标导航 2011年版课标 考情 考点 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y = a（x-h）2 + k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题（2022年版课标变化：会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值） 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解（2022年版课标新增：知道二次函数和一元二次方程之间的关系） 5年5考 2024年第22题、2020—2023年第23题：二次函数的图象与性质 3. 二次函数的图象及性质 5年5考 4. 函数、方程与不等式的关系 返回目录 必备知识梳理 一、一次函数 1. 图象及性质： k决定倾斜方向和增减性 k > 0（y随x的增大而 ） k < 0（y随x的增大而 ） 图象 增大 减小 返回目录 必备知识梳理 k决定倾斜方向和增减性 k > 0（y随x的增大而 ） k < 0（y随x的增大而 ） b决定图象与y轴的交点 b > 0 b = 0 b < 0 b > 0 b = 0 b < 0 经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与坐标轴的交点特征 当x = 0时，y = b，即一次函数的图象与y轴的交点坐标为 . 当y = 0时，x =，即一次函数的图象与x轴的交点坐标为 续表 增大 减小 （0，b） . 返回目录 必备知识梳理 示意图 函数图象交点情况 方程（组）解的情况 不等式（组）解集的情况 直线y = ax + b与x轴的交点的横坐标为m 方程ax + b = 0的解为m 结合图象得，不等式ax + b > 0的解集为x > m；不等式ax + b < 0的解集为x < m 与方程（组）、不等式的关系： 2. 返回目录 必备知识梳理 示意图 函数图象交点情况 方程（组）解的情况 不等式（组）解集的情况 直线y = a1x + b1与直线y = a2x + b2（a1 ≠ a2）的交点坐标为（m，n） 方程组 的解为 结合图象得，不等式a1x + b1> a2x + b2的解集为x > m；不等式a1x + b1 < a2x + b2的解集为x < m 续表 返回目录 必备知识梳理 二、反比例函数（图象及性质） k决定图象所在象限 k > 0（x，y同号）， 图象在第一、三象限 k < 0（x，y异号）， 图象在第二、四象限 增减性 在每一象限内， y随x的增大而减小 在每一象限内， y随x的增大而增大 图象 （双曲线）     返回目录 必备知识梳理 对称性 图象关于直线y = x，y = -x 成轴对称；关于原点成中心对称 渐近趋势 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴不相交（即x ≠ 0且y ≠ 0） 续表 返回目录 必备知识梳理 三、二次函数 1.图象及性质： 函数表达式 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0） 图象 返回目录 必备知识梳理 续表 函数表达式 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0） 对称轴 直线x = 或直线x = （其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标） 顶点坐标 （1）抛物线y = ax2 + bx + c的顶点坐标为 . （2）运用配方法将一般式转化为顶点式求解 （3）将x =代入函数表达式求得对应的y值 返回目录 必备知识梳理 减小 续表 函数表达式 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0） 增减性（可画草图判断） 当a > 0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 . 当a < 0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 . 增大 增大 减小 返回目录 必备知识梳理 续表 函数表达式 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0） 最值 a > 0⇔开口向上，函数有最小值，最小值为 a < 0⇔开口向下，函数有最大值，最大值为 与方程的关系： 方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的解是二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图象与 轴的交点的横坐标. x 2. 返回目录 必备知识梳理 b2 - 4ac值的正负 抛物线y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）与x轴交点个数 方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0） 的根的情况 b2 - 4ac > 0 交点 有两个不相等的实数根： x1，x2 b2 - 4ac = 0 交点 有两个相等的实数根：x1 = x2 b2 - 4ac < 0 交点 实数根 两个 一个 没有 没有 返回目录 中考考点精讲 在如图所示的平面直角坐标系中： （1）画出函数的图象. 考点一　一次函数的图象及性质（5年1考） 原创 1. 解：（1）如答图所示，即为所求. 返回目录 中考考点精讲 （1，0） （2）（1）中图象与x轴的交点A的坐标为 ， 与y轴的交点B的坐标为 ，则S△AOB为 . 考点一　一次函数的图象及性质（5年1考） （0，-3） （3）若点（，），（，）在直线y = 3x - 3的图像上，且y1 < y2，则x1 x2. （填“>”“<”或“=”） < 返回目录 中考考点精讲 （2024山西第6题）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y = 3x的图象上，若x1 < x2，则y1与y2的大小关系是（ ） A. y1 > y2 B. y1 < y2 C. y1 = y2 D. y1 ≥ y2 已知一次函数y ＝ kx + b(k ≠ 0)，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb ＜ 0，则函数y ＝ kx + b的图象大致是（ ） B C 2. 3. 返回目录 中考考点精讲 已知反比例函数. （1）在平面直角坐标系中画出的图象. 考点二　反比例函数的图象及性质（5年3考） 原创 减小 4. （2）该反比例函数的图象在第 象限，且在每一个象限内，y随x的增大而 . 一、三 解：（1）如答图所示，即为所求. 返回目录 中考考点精讲 0 < x < 2 （3）当y > 1时，x的取值范围为 ； 当x > 2时，y的取值范围为 . （4）若点（-3，a），（1，b），（2，c）是反比例函数图象上的点，则a，b，c的大小关系是 . （用“<”连接） （5）在同一直角坐标系中，若一次函数y = 2x的图象与反比例 函数的图象交于点A，B，点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为 . 0 < y < 1 a < c < b （-1，-2） 返回目录 中考考点精讲 D （2021山西第5题）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象位于第一、第三象限 B. 图象必经过点 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. y随x的增大而减小 （2023山西第8题）若点A（-3，a），B（-1，b），C（2，c）都在反比例函数（k < 0）的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. b < a < c B. c < b < a C. a < b < c D. c < a <b D 5. 6. 返回目录 中考考点精讲 （2020山西第7题）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y = （k < 0）的图象上，且x1 < x2 < 0< x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y2 > y1 > y3 B. y3 > y2 > y1 C. y1 > y2 > y3 D. y3 > y1 > y2 A 7. 返回目录 中考考点精讲 8. 如图是二次函数的图象，请回答下列问题： 下 考点三　二次函数的图象与性质（5年3考） 原创 （1）抛物线开口向 . （2）将化为y = a（x - h）2 + k 形式为 . （3）抛物线的顶点坐标为 . （4）抛物线的对称轴为直线 . y = -（x - 2）2 + 9 （2，9） x = 2 返回目录 中考考点精讲 （5）抛物线与坐标轴的交点坐标为A ，B ，C . （6）当x = 时，y有最大值，最大值为 . （7）当x < 2时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小. （8）点（-3，y1），（-1，y2），（7，y3）在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为 . （9）点P是抛物线上一动点，过点P作PN∥y轴交直线BC于点N，设点P的横坐标为m，则PN的长为 . （用含m的代数式表示） （-1，0） （5，0） （0，5） 2 9 x > 2 y2 > y1 = y3 返回目录 中考考点精讲 （2018山西改编）将二次函数y = x2 - 8x - 9化为y = a（x - h）2 + k的形式，并写出它的对称轴及顶点坐标. 9. 解：y = x2 - 8x - 9 = x2 - 8x + 16 - 16 - 9 =（x - 4）2 - 25. 因此，二次函数y = x2 - 8x - 9图象的对称轴是直线x = 4， 顶点坐标为（4，-25）. 返回目录 中考考点精讲 如图，二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图象与x轴交于点A，B，且A的横坐标在-1和0之间，与y轴交于负半轴，对称轴为直线x = 1. 对于该二次函数，下列结论正确的为 . ． ①a > 0，b > 0，c < 0； ②b2 > 4ac； ③2a + b = 0； ④a - b + c > 0，a + b + c < 0； ⑤点（2，c）一定在该抛物线上； ⑥若点（-0.1，y1），（1.5，y2）均在抛物线上，则y1 > y2. ②③④⑤⑥ 新课标—代数推理 10. 返回目录 中考考点精讲 考点四　函数、方程与不等式的关系（5年5考） 如图，直线y = kx + b（k ≠ 0）与直线y = x + 2交于点P（3，m）. （1）关于x的不等式kx + b ≥ x + 2的解集是 . （2）方程组的解是 . （3）关于x的不等式kx+b < 5的解集是 . x ≤ 3 x > 3 11. 返回目录 中考考点精讲 （2024省适应性二）如图，一次函数y1 = kx + b（k ≠ 0）的图象与反比例函数y2 = （m ≠ 0）的图象相交于M（-1，3），N（2，-1.5）两点.当y1 > y2时，x的取值范围是 . x < -1或0 < x < 2 利用函数图象求方程（组）的解或不等式的解集时，利用数形结合的思想，先确定边界值，即交点的坐标，再确定方程（组）的解或不等式的解集. 思路分析 12. 返回目录 中考考点精讲 如图，二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，则关于x的方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的解为 . x1 = -3，x2 = 1 13. 返回目录 某课外活动小组利用几何画板研究二次函数的图象，给出二次函数表达式 y = x2 + bx + c，通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象． （1）若输入b = 2，c = -3，得到如图1所示的图象， 求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B的坐标. 解：（1）y = x2 + bx + c， 当b = 2，c = -3时，， ，∵点A在点B的左侧，. 返回目录 核心素养提升—问题解决 （2）如图2，已知点P（-1，10），Q（4，0）． ①若输入b，c的值后，得到的图象恰好经过P，Q两点，求出b，c的值. ②淇淇输入b，嘉嘉输入c = -1，若得到二次函数的图象与线段PQ有公共点，求淇淇输入b的取值范围． 解： （2）①∵抛物线恰好经过 返回目录 核心素养提升—问题解决 ②当c = -1 时，y = x2 + bx -1,当x = 0时，y = -1, . 当x = -1时，y = 1 - b - 1 = -b, 当点（-1，-b）在P上方，或与点P重合时，抛物线与线段PQ有公共点， 即 -b ≥ 10,解得b ≤ -10. 当x = 4时，y = 16 +4b -1 = 4b +15 当点（4，15 + 4b）在点Q上方，或与点Q重合时，抛物线与线段PQ有公共点，即15 + 4b ≥ 0解得：b ≥ - .综上，b ≤ -10或b ≥ - 返回目录 核心素养提升—问题解决 $$