一次函数与几何综合问题练习卷-2025学年中考数学一轮复习

一次函数与几何综合问题练习卷-2025学年中考数学一轮复习 一、单选题 1．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动，设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 3．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在第一象限内，点、是直线上的两点，轴于点A，轴于点B，与交于点M，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．4 5．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点为坐标原点，顶点，分别在轴、轴上，，，为边的中点，是边上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径作交x、y轴于A，B．我们规定：若这个平面内一点P，满足，则点P称为点A，B的关联点，下列各点中，既是A，B的关联点，又在上的是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．将一次函数的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，和一次函数图像位于轴及上方的部分组成“”型折线，过点作轴的平行线，直线交“”型折线于点；若线段，则的值是（ ） A．4 B．2 C．－2 D．8 8．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆经过点，直线与相交于，两点，则图中阴影部分（与弦所围图形）周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，已知直线与轴、轴分别交于点、A，在第一象限内，存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 10．已知直线过点，平面直角坐标系中有，，三点． （1）的值为 ． （2）若直线与三角形有交点，则的取值范围是 ． 11．在平面直角坐标系中，直线l：（）与直线，分别交于点．直线与交于点．记线段围成的区域（不含边界）为；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域内没有整点，则整数的值是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 13．如图，，，是平面直角坐标系中三点，P为y轴正半轴上一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点B的对应点为Q，交y轴于D，则的周长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位长度的速度沿轴向下平移，经过 秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． 15．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“阶和点”． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ； （2）若关于的一次函数的图象有且仅有个阶和点，则的取值范围为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线l的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 三、解答题 17．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点与坐标原点重合，点在轴上，点在轴上，，点在边上，点的坐标为，过点且平行于轴的直线与交于点．现将纸片折叠，使顶点落在上的点处，折痕为． (1)求点G的坐标； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出的取值范围； (4)设点为轴上一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图1，在等边中，，过点A作于点D，两动点P，Q分别以每秒1个单位的速度同时从D出发，点P沿折线运动，点Q沿折线运动，当P，Q两点相遇时停止运动．设运动时间为x秒（），线段的长度记为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变盐x的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，当线段的长度为4时，直接写出x的值． 19．如图，直线，分别与x轴，y轴交于点B，A，另一直线与x，y轴交点分别为C，D． (1)求四边形的面积； (2)P为直线上一动点，当时，求点P坐标． 20．如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点． (1)求点，点的坐标． (2)点是轴上的一个动点，求的最小值． (3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②当为等腰三角形时，直接写出t的值． 22．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为直角边在第一象限内作等腰，，直线经过，两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)若为轴正半轴上一点，的面积等于的面积，求点坐标； (4)如图2，过点作轴，垂足为，点是直线上的动点，点是直线上的动点．试探究能否成为以为直角边的等腰直角三角形（不与重合）？若能，请直接写出的长，若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A B A C D A 1．B 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理及折叠的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及折叠的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，设点，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由折叠可知：， 令时，则，解得：，令时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则有， 在中，由勾股定理可得， 解得：； 故选B． 2．D 【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出与，与满足的函数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可． 【详解】解：由题意，，，则， 则，， ∴与满足一次函数关系，与满足二次函数关系， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查一次函数的应用、全等三角形的判定与性质，熟练光的反射定律是解题的关键． 延长，交与x轴于点D，根据光的反射定律，可证明，从而求得延长线与x轴的交点坐标，将它代入函数的函数关系式即可． 【详解】解：延长交x轴于点D， 根据光的反射可得， 又 ， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在光线：上， ， 解得：， 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数与几何的综合是解题的关键；由题意易得直线的解析式为，然后可得点，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵点是直线上的一点， ∴，即， ∴直线解析式为， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为，则有， ∴， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点M的横坐标为4， ∴点， ∴， ∴； 故选B． 5．A 【分析】此题主要考查轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题． 作出的对称点连接，将三角形的周长转化为，根据两点之间线段最短得到的长即为最短距离，求出的解析式，即可求出点坐标． 【详解】解：作关于轴的对称点，连接， ∴， 则， 由两点之间线段距离最短得与x轴交点即为点，此时最小为， 的周长为， 为的中点， ， 和关于轴对称， ， 由题意得， 设直线的解析式为， 把，分别代入解析式得，， 解得，， 解析式为， 当时， 则， 故点坐标为． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了坐标与图形、线段垂直平分线的性质、一次函数的应用、勾股定理，由题意可得点在的垂直平分线上，连接，令的中点为，则，求出直线的解析式为，得到在上，作轴于，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴点在的垂直平分线上， 连接，令的中点为，则， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴在上， 作轴于，设，则， 由勾股定理可得， ∵， ∴， 解得：， ∴， 同理可得：， 综上所述，的坐标为，， 故选：C． 7．D 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、一次函数与坐标轴交点等知识，结合折叠的性质确定直线的解析式是解题关键．首先确定点、坐标，设翻折后的直线与轴交于点，由折叠的性质可得，利用待定系数法解得直线的解析式，再将代入一次函数与，解得，，结合即可求得的值． 【详解】解：如下图， 对于一次函数， 令，，即， 令，可得，解得，即， 根据题意，将一次函数的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方， 设翻折后的直线与轴交于点，由折叠的性质可得， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线交“”型折线于点，且， 可将代入一次函数，， 得，， ∴，即， 解得． 故选：D． 8．A 【分析】由直线，得经过定点，连接，当时，弦最短，连接，，由垂径定理和勾股定理得，证明是等边三角形，然后由弧长公式即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴经过定点， 连接，当时，弦最短，此时图中阴影部分的周长最小． 连接，，    ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴长为： ∴阴影部分周长的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定与性质，弧长公式，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键 9．或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合及等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键；由题意可分当和当，然后根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定可进行分类求解． 【详解】解：令时，则有；令时，则有，即， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰直角三角形，则可分：当时，如图所示， 过点P作轴于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示， 同理可得； 综上所述：当是以为腰的等腰直角三角形，点或； 故答案为或． 10． 2 或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）将点代入直线l的解析式中，即可求解； （2）直线l过定点，分别求出直线l过点A，过点B时k的值，再根据图象即可解答． 【详解】解：（1）∵直线过点， ∴． 故答案为：2； （2）由（1）可知直线过定点， 当直线l过点时，如图， 则， 解得； 当直线l过点时，如图， ∴直线l解析式为，即， ∵直线与三角形有交点， ∴或． 故答案为：或 11．或 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数中交点的计算，掌握一次函数图象的性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当时，直线过第二、三、四象限，直线，；当，直线过第一、三、四象限，直线，；由题意作图分析即可求解． 【详解】解：当时，直线过第二、三、四象限，直线，，如图所示， ∴区域内必有原点，不符合题意，舍去； 当，直线过第一、三、四象限，直线，，如图所示， ∴当时，，即， 当时，， 解得，，即， 当时，，即在直线的图象上，不在区域内， ∵，， ∴区域内，横坐标的范围是从到，不存在整点，纵坐标的范围从到，不存在整点，符合题意； 当时， ∴， 同理，，，， ∴当时，，，， 当时，，，， ∴当时，存在整点，当，不存在整点； 当时，如图所示， 横坐标为的边界点为和，线段长为， ∴区域内有整点，不符合题意； 综上所述，或时，区域内没有整点， 故答案为：或 ． 12． 【分析】根据已知条件得到，，因为求得，所以，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：解方程组于是得到结论． 【详解】解：一次函数的图象分别交轴，轴于，两点， ，， ， ，， ，， 过作交于，过作轴于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 设直线的函数表达式为：， ， 解得 直线的函数表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 13． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，设，过作轴于，证明得到，，则，再求出直线解析式为得到点，然后利用勾股定理求出，的长，最后求的周长即可． 【详解】解：过作轴于，则， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵P为y轴正半轴上一个动点， ∴设， ∵， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， ∴直线与y轴交点，则， ∵， ∴，， ∴，，， ∴的周长为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，首先连接，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移个单位，进而可得求解，掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∴， 设的解析式为， ∵平行于， ∴， ∴， ∵过， ∴， ∴的解析式为， ∴直线要向下平移个单位， ∵速度为每秒个单位长度， ∴时间为秒， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法， （1）利用待定系数法和“阶和点”的定义即可求解； （2）利用一次函数的性质确定关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义，求得的值，进而得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，再利用已知条件即可得出结论． 【详解】解：（1）点是关于的正比例函数的点， ， ． 点到两坐标轴的距离之和等于， 点是关于的正比例函数的“阶和点”， ． ； 故答案为：； （2）关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”， 一次函数的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为的正方形有两个交点． 由题意得：， ， 关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， ①如图，当时， 一次函数的图象经过，则， ． ， ． 关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”， ． ②如图，当时，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”， ∴综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查的是一次函数性质应用、等腰直角三角形的判定与性质以及点的坐标规律问题，确定，……的变化规律是解题关键．过点作轴于点，依次求出的坐标，找出规律即可获得答案． 【详解】解：过点作轴于点， 根据题意，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点， ∴， ∵，……均在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得， 同理可得，， …… ∴，， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 17．(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据折叠的性质求出，根据勾股定理计算求出，得到点G的坐标； （2）设，根据勾股定理求出x，求出点E的坐标，利用待定系数法求出所在直线的解析式； （3）根据平行的性质求出m，分别把点M、点A的坐标代入解析式求出n，得到答案； （4）按点P在x轴的正半轴、负半轴，及进行分类讨论，求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 又 由勾股定理得，， ∴点G的坐标为， 故答案为：； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为：， 则， 解得，， ∴所在直线的解析式为：； （3）解：∵直线平行于直线， ∴，即直线l的解析式为， 当直线l经过点时，， 解得，， 当直线l经过点时，， 解得，， ∴直线l与长方形有公共点时，． （4）解：设， 当时，如图， 由，得， ∴； 当时，如图， ，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，， ∴； 如图，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的知识、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识与方法，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤是解题的关键，解题时需进行分类讨论，求出所有符合条件的值． 18．(1) (2)画图见解析，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质等知识． （1）当P在上、Q在上运动时，根据路程等于速度×时间即可求解；当P在上、Q在上运动时，证明是等边三角形即可求解； （2）当时，；当时，，当时，，即可画出函数图象，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：在等边中，， ∴，， ∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， 当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：如图， 由图可知：当时，或． 19．(1)14； (2)或 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，涉及两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是综合运用以上知识，正确的作出辅助线； （1）分别求出A，B，C，D坐标，再根据面积差求解即可； （2）分两种情况讨论，P点在AB的上方时，由可知，D为所求，P点在AB的下方时，取点D关于点A的对称点，过点作的平行线l，交直线于点，则，，即为所求，再求交点坐标即可． 【详解】（1）解：当的时，， ， 当的时，， 解得：， ， 同理可求， ， ； （2）解：当P点在AB的上方时，如图，连接， ， ， ， ， P为直线上一动点， P与D重合， ， 当P点在AB的下方时，取点D关于点A的对称点，过点作的平行线l，交直线于点，则， ， 即为所求， ， ， ， 直线的解析式为：， 联立，解得：， ， 综上，点P的坐标为或． 20．(1)， (2) (3)点和点的坐标分别为或或或 【分析】（1）在中，令，即可得点的坐标，由待定系数法可求得直线的解析式，联立即可得点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，结合两点之间线段最短可得此时最小，最小，求出即可得答案； （3）证明为直角三角形，，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线的函数表达式为，与轴交于点， 令，可得， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点和点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴，， ∴，此时最小，最小， ∵点的坐标为，，， ∴，， ∴的最小值为； （3）解：∵点的坐标为，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， 点分别是直线上的两点，且不与点重合， 设，， 当时，，， ∴，， 解得或，或， ∴点和点的坐标分别为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数与几何图形的变换（轴对称最短路径）综合，全等三角形的性质，两点之间距离的计算方法，掌握待定系数法求解析式，解二元一次方程求直线交点，对称轴与线段最短的计算，全等三角形的性质等综合运用，数形结合分析思想是解题的关键． 21．(1) (2)①；②t的值为，，， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，再代入中求出即可； （2）①利用面积公式列出方程进行求解即可； ②三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解：在中，当时，； 当时，； ∴； ∵点在直线上， ， 又∵点也在直线上， ， 解得：； （2）解：①在中，当时，， ， ， ， ， ， 设，则，过C作于E，如图1所示： 则， ∵的面积为10， ， 解得：； ②存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则， ， ； 当时，， ， ； 当时，如图2所示： 则， ， 或； 当时，如图3所示： 设，则， ， 解得：， ∴与重合，， ， ； 综上，的值为或或或． 22．(1)点A、B坐标分别是和； (2)的函数表达式为； (3)点的坐标为； (4)DQ的长度为2或或8 【分析】（1）对直线关系式，令或，即可求出、两点的坐标． （2）通过构造全等，求出点的坐标，再由、两点坐标根据待定系数法求得直线的函数表达式． （3）过点作的平行线与轴交于点，根据两个三角形“同底等高”可知，再通过辅助线构造．由相似三角形对应边成比例求出长度即可． （4）是以为直角边的等腰直角三角形分为两种情况讨论：或，都通过“一线三直角”模型构造全等三角形，然后设出、两点的坐标，再根据全等三角形对应边相等建立方程求解出点的坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，，则点坐标为； 令，，则点坐标为． 故点、坐标分别是和； （2）解：如图，过点向轴作垂线，为垂足． 为等腰直角三角形， ． ，， ． 在和中，，，． ． ，． ． 故点坐标为． 设函数表达式为，把、两点坐标代入得： ，解得． 直线的函数表达式为； （3）解：如图，过点作的平行线，交轴于点，则（同底等高）． 过点作直线的垂线交于点 ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． ，． ，， ． 又． ． ，． ． 故点的坐标为； （4）解：设点的坐标为，点的坐标为． 以为直角边的△是等腰直角三角形， 分为两种情况： 时，如图．过点作轴的平行线交轴于点，交于点， 同（2）理可证得， ，， ， ，，． ，或， ， 则或（或12不合题意，舍去）． 此时等腰直角的另一种情况如图所示． 或． 时，如图，过点、向轴分别作垂线，垂足为， 同理可证得． ，， ，，，． ，或8， 当时，，（不合题意舍去）， 此时与重合，故舍去． 当时，，（不合题意舍去）． ． 故的长度为2或或8． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，涉及到三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，通过“一线三直角”模型构造全等三角形是解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$