北京市海淀外国语实验学校2024--2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

北京市海淀外国语实验学校 2024-2025-1 初三年级数学期中调研练习 时间120分钟 满分120分 一、选择题（共24分，每题3分） 1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，2 B. 4，2 C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程用配方法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 当时， C. 抛物线与x轴有两个交点 D. 当时，y有最小值为10 5. 若直线经过第一、第三、第四象限，则抛物线大致为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 勾股树又称毕达哥拉斯树，是毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的可以无限衍生的图形，如图是勾股树的前三种衍生图．图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，……，按照这一规律，图⑥中正方形的个数为（ ） A. 255 B. 127 C. 126 D. 63 8. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕O点连续旋转2023次得到正方形，如果点C坐标为，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是______． 10. 若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为______ 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ________． 12. 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=____°． 13. 幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值是______． 14. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为______． 15. 已知抛物线（，为常数），，，是抛物线上三点，则由小到大依次排列为____________． 16. 如图，正方形的四个顶点坐标分别为．若抛物线与正方形有两个公共点，则的取值范围是________． 三、解答题（共72分，第17题8分，第18-21题，每题5分，第22-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数. （1）用配方法将化成的形式.并写出对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围． 20. 阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： （1）如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． （2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系，以为中心，将顺时针旋转，得到． （1）请在网格内画出． （2）写出点的坐标______，点的坐标______，点的坐标______． 22. “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． 该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元? 23. 勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形） （1）毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程） 证明：正方形①的面积________． 正方形②的面积________． 又正方形①与正方形②的边长相等 ________________ （2）请你写出弦图（图2）的另一种证法： 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 25. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到点的水平距离为（单位：）时，它距地面的竖直高度为（单位：）． （1）经过对拱门进行测量，发现与的几组数据如下： 2 3 6 8 10 12 4 4 0 根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求与满足的函数关系式． （2）在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与它到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记原拱门的跨度为，新拱门的跨度为，则______（填“”，“”或“”）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线G：． （1）直接写出抛物线G的顶点坐标； （2）若在抛物线G上有两点，，且，直接写出n的取值范围； （3）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围． 27. 如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，上，满足，与交于点F． （1）求的度数； （2）以C为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②若，求k的值． 28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． AI （1）当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； （2）已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； （3）已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 北京市海淀外国语实验学校 2024-2025-1 初三年级数学期中调研练习 时间120分钟 满分120分 一、选择题（共24分，每题3分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、填空题（共24分，每题3分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】90 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题（共72分，第17题8分，第18-21题，每题5分，第22-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】（1），对称轴为直线，顶点坐标为； （2） 画出函数图象如图： ． 【19题答案】 【答案】（1） 证明：由题意， ． ∴ 该方程总有两个实数根． （2） 【20题答案】 【答案】（1）21 （2）32 【21题答案】 【答案】（1） 如图所示：即为所求， （2），， 【22题答案】 【答案】90元 【23题答案】 【答案】（1）；；； （2） 证明：由图可知大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积， ∴ ∴ 【24题答案】 【答案】（1） （2） 【25题答案】 【答案】（1）该拱门的高度为，跨度为， （2） 【26题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）或 【27题答案】 【答案】（1） （2） ①依题意补全图形如图1所示； ②k的值为2 【28题答案】 【答案】（1）， （2）或 （3）①，② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $