精品解析：广东省佛山市顺德区第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

广东省佛山市顺德区第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 命题人：刘云 审核人：杨志龙、于顺顺 本试卷共19小题，共4页，满分150分，考试时间长120分钟 一、单选题:共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 2. 已知，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据除法运算求得，即可得复数的虚部. 【详解】由题意可得：， 所以的虚部为. 故选：B. 3. 下列三个命题：①任何事件的概率均满足；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】利用频率估算概率，命题与定理，由题意对给出的各个选项进行逐一判定并分析即可. 【详解】任何事件的概率均满足为假命题， 因为必然事件的概率，故①错误； 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是为假命题， 因为是出现正面的频率，故②错误； 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率为假命题， 因为大量重复试验，随机事件频率的稳定值才可以作为概率的估计值，故③错误. 因此正确的说法是0个， 故选：A. 4. 在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹. 【详解】设的中点是， ， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题. 5. 已知点，点B在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离即可求解. 【详解】由于不在直线上，所以当时，此时最小， 故, 故选:C 6. 已知空间向量，，，下列命题中正确的（ ） A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C. 若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 【答案】C 【解析】 【分析】利用共线向量的定义可判断A选项；利用空间任意两个向量共面可判断B选项；利用共面向量的定义可判断C选项；利用空间向量的基本定理可判断D选项. 【详解】对于A选项：由于与共线，则，所在的直线也可能重合，故A不正确； 对于B选项：根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确； 对于C选项：因为存在不全为0的实数，使得,不妨设， 则，由共面向量定理知，，一定共面，故C正确； 对于D选项：只有当，，不共面时,空间中任意向量才能表示为. 故D不正确. 故选：C 7. 已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】 求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断. 【详解】由两圆的标准方程可得，，，； 则，所以两圆不可能内含. 故选：C. 8. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点，用焦半径公式代入化简成二次函数，求其最值即得. 【详解】由，可得， 设点，则， 于是 ， 因，故当时，取得最大值为4. 故选：C. 二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】AC 【解析】 【分析】对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解. 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得. 所以选项中，三条直线能构成三角形的实数可能为，AC正确， 故选：AC. 10. 若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆和y轴相切 B. 圆关于直线对称 C. 对，直线与圆都相交 D. 为圆上任意一点，则的最大值为9 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由圆心到直线距离与圆的半径比较即可判断；对于B，由圆心在直线上易判断；对于C，由直线经过的定点在圆内，即可判断；对于D，利用所求式的几何意义，结合图形即可求得其最大值. 【详解】对于A，因圆心到直线的距离为2，小于半径4，即直线与圆相交，故A错误； 对于B，因圆心在直线上，故圆关于直线对称，即B正确； 对于C，对，直线即，则直线经过定点， 而该点在圆内，故，直线与圆都相交，即C正确； 对于D，依题意，在上， 而可理解为圆上的点与点的距离， 由图知，故D正确. 故选：BCD. 11. 抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. C. D. 事件与事件相互不独立 【答案】BC 【解析】 【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求、判断B；根据独立事件的判定判断D,根据并事件的概率即可求解C. 【详解】对于A，由事件定义，事件与事件可以同时发生，故不互为对立事件，A错误； 抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种， 对于B，事件的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种， 事件的样本点为，，，，，，，，，，，共有12种， 事件的样本点为，，，，，共6种， 所以,， ，B正确； 因为，所以事件与事件相互独立，D错误． 事件的样本点为，共3种 事件的样本点为共12种， 由于互斥，故的样本点共有15种，故，C正确， 故选：BC． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知动点到点和点的距离的平方和为定值6，那么点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用直接法，设点，依题意列出方程，化简即得. 【详解】设点，依题意，, 代入点的坐标，可得：， 化简得：. 即点的轨迹方程为. 故答案为：. 13. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先以点A为原点，建立空间直角坐标系，然后利用点到直线距离的坐标公式列式，化简后求函数的最小值即可. 【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因正三棱柱的所有棱长均为1， 则， 所以， 因动点P在线段上，则令， 即有点，所以，则， 从而， 因此点P到直线的距离 ，当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故答案为： 14. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求得，由角平分线定理，结合离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】如图，由题意可知， 所以， 所以， 因为平分，所以， 解得，所以，所以离心率， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知， （1）求边的高线的方程; （2）求边的中线的方程; （3）求的平分线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因直线即轴，得到边上的高线斜率不存在，又经过点,即得； （2）先求边的中点，再由两点式即可求得； （3）的平分线的斜率为，由两直线的夹角公式列出方程，求得的值，检验后由点斜式即得. 【小问1详解】 依题意，直线即轴，故边上的高线必垂直于轴，且经过点， 故边的高线的方程为； 【小问2详解】 边的中点为,因边的中线经过点 故中线方程为：，即； 【小问3详解】 如图，设的平分线的斜率为，而边和的斜率分别为, 则由，解得或. 当时，由图知，显然不符合题意； 当时，因，则的平分线的方程为，即. 16. 已知圆经过和两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程. （2）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【解析】 【分析】(1)求出线段AB的中垂线的方程，联立直线，解出圆心坐标，进而解出半径即可. (2)分类讨论直线斜率存在与不存在的情况，利用弦心距和点到线的距离公式计算即可得出结果. 【详解】（1）因为，，所以线段的中点为， 直线的斜率， 进而线段的中垂线的斜率为，因此线段的中垂线的方程为， 即．联立，解得． 则圆的半径， 所以圆的方程为． （2）由可得弦心距． 设直线的方程为，即． 则圆心到直线的距离 解得，此时直线的方程为． 又当直线的斜率不存在，即直线的方程为时， 圆心到直线的距离也为，符合题意． 综上，直线的方程为：或． 17. 甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响. （1）求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率; （2）甲一人射击不限次数，若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次?（参考数据：） （3）甲乙各射击两次，求4次射击恰有2次击中目标的概率. 【答案】（1）； （2）7次. （3） 【解析】 【分析】（1）先由题意，利用独立事件的概率乘法公式求得乙和丙射击一次击中目标的概率，将事件“三人中恰有一人击中目标”表示，利用互斥事件的概率加法公式计算即得； （2）利用对立事件表示“甲射击次，至少有一次击中目标的概率为”，建立不等式，利用取对数代值估算即得； （3）记分别表示甲,乙第次击中目标的事件，将事件“恰有2次击中目标事件”用表示，再利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得. 【小问1详解】 记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件，因任意两次射击互不影响. 依题意，所以， ，所以， 记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件，则, 显然，事件两两互斥， 则 ， 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； 【小问2详解】 设甲射击次，则至少有一次击中目标的概率为， 令，所以， 所以， 又为正整数，所以，即甲至少要射击7次. 【小问3详解】 记恰有2次击中目标事件为，记分别表示甲乙第次击中目标的事件 则 由于是互相独立事件且上述6个事件两两互斥， 则 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1） 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 19. 已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. （1）求椭圆的标准方程; （2）过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. （3）在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程. 【答案】（1）； （2）是， （3）和 【解析】 【分析】（1）根据题意，易得的值，进而分析可得，由公式求出，代入椭圆方程即得； （2）根据题意，设直线PM方程，将其与椭圆方程联立，由根与系数的关系得的坐标，利用PM与PN的关系，得的坐标，然后利用斜率的计算公式化简计算即得. （3）由原点到直线的距离及弦长公式可求出面积，利用二次函数求出最值即得直线的方程. 【小问1详解】 由题意可知椭圆的半焦距， 由两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形得， ， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由已知得， 由图知，直线的倾斜角互补，即直线的斜率与的斜率互为相反数， 可设直线的方程为， 代入，消去得. 设， 所以，可得， 因直线PM的斜率与PN的斜率互为相反数， 所以在上式中以代替，可得， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值. 【小问3详解】 由（1）已得， ,可设直线的方程为：， 代入，整理得：， 则，即， 设，则， 于是，， 点到直线的距离为， 则的面积为： ， 因，则，故当时，取得最大值， 此时直线的方程为, 即和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市顺德区第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 命题人：刘云 审核人：杨志龙、于顺顺 本试卷共19小题，共4页，满分150分，考试时间长120分钟 一、单选题:共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 下列三个命题：①任何事件的概率均满足；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 5. 已知点，点B在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 已知空间向量，，，下列命题中正确的（ ） A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C. 若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 7. 已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切 8. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（ ） A. B. C. D. 6 10. 若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆和y轴相切 B. 圆关于直线对称 C. 对，直线与圆都相交 D. 为圆上任意一点，则的最大值为9 11. 抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. C. D. 事件与事件相互不独立 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知动点到点和点的距离的平方和为定值6，那么点的轨迹方程为__________. 13. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______. 14. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知， （1）求边的高线的方程; （2）求边的中线的方程; （3）求的平分线的方程. 16. 已知圆经过和两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程. （2）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 17. 甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响. （1）求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率; （2）甲一人射击不限次数，若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次?（参考数据：） （3）甲乙各射击两次，求4次射击恰有2次击中目标的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 19. 已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. （1）求椭圆的标准方程; （2）过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. （3）在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $