18.2.2菱形 课时作业2024—2025学年人教版数学八年级下册

18.2.2菱形 课时作业2024—2025学年人教版八年级下册数学 一、单选题 1．如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，AD是△ABC的角平分线，将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，则四边形AEDF一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 3．在菱形中，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．下列说法不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 5．已知菱形的两条对角线的长分别为和，则这个菱形的周长和面积分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，矩形的对角线、相交于点O，．若，则四边形的周长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 7．下列命题正确的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的矩形是正方形 C．16的平方根是±4 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 8．如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 9．如图，已知为线段上的一点，分别以为边在的同侧作菱形和菱形．点在一条直线上，，分别是对角线，的中点．当时，则： （1） ． （2）点之间的距离为 ．（结果留根号）． 10．如果菱形的高是，且相邻两个内角的度数之比为，那么这个菱形的边长为 ． 11．如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为 ．    12．如图，菱形的对角线相交于点分别是边上的中点，如果，那么菱形的边长为 . 13．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是 ．（只写出符合要求的一个即可） 三、解答题 14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，AC平分∠BAD， (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延长线相交于点G，求EG的长． 15．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线交AD于E，交BC于F，连接BE 、DF.    （1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由； （2）若AB=8，AD=16，求BE的长. 16．在平行四边形中，已知．    (1)尺规作图：作的平分线交于点E，在上截取，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是菱形． 17．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C C B B C B 1．C 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出，再证出平行四边形为矩形，得即可． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， 四边形是菱形，，， ，，， ，， 平行四边形为矩形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 2．B 【详解】分析：由△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，得到∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA，根据角平分线的性质推出∠FDA=∠EAD，∠FAD=∠EDA，证出平行四边形AEDF，根据折叠得到AD⊥EF，根据菱形的判定即可得出答案 解答：解：∵将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF， ∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD， ∴∠FDA=∠EAD，∠FAD=∠EDA， ∴AE∥DF，DE∥AF， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF， ∴∠AOE=∠DOE=90°， 即：AD⊥EF， ∴平行四边形AEDF是菱形． 故选B． 3．C 【分析】先利用菱形的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：在菱形， ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题运用了菱形的性质和等腰三角形的性质的知识点，运用知识准确计算是解决问题的关键． 4．C 【分析】此题考查了菱形和矩形的判定．根据菱形和矩形的判定逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法正确，不符合题意； B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，说法正确，不符合题意； C. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，选项说法不正确，符合题意； D. 对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确，不符合题意． 故选：C 5．B 【分析】根据菱形的面积公式即可求出菱形的面积，由菱形的性质可得，，，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图：菱形中， ，，， 由勾股定理得： 菱形的周长为 故选B． 【点睛】此题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键． 6．B 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长； 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 7．C 【分析】对各选项进行判断分析，然后进行判别即可． 【详解】解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，不一定，例如等腰梯形，故本选项错误； B. 对角线相等的矩形是正方形，不一定，矩形的对角线一定相等，但是长和宽不一定相等，故本选项错误； C. 16的平方根是±4，正确； D. 有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形的判定和平方根的知识，熟悉相关性质是解题的关键． 8．B 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定与性质，由折叠可知，由同旁内角互补，两直线平行得，由平行线的性质可得，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点O， ∵四边形为矩形， ∴， 根据折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ， 故选：B． 9． 【分析】（1）连接DP，PN，根据菱形的性质得到∠PAC=30°，从而可得PM； （2）先求出PN，再证明△PMN是直角三角形，最后利用勾股定理求出MN即可． 【详解】解：（1）连接DP，PN， ∵四边形APCD和四边形PBFE都是菱形， ∴DP⊥AC，PN⊥BE， 又∵∠PAD=60°， ∴∠PAC=30°， 在Rt△AMP中，AP=3， 则PM=AP=； （2）同理可得：∠BPN=30°， ∴在Rt△PBN中，BN=BP=， 则在Rt△BPN中，PN=， 又∵PD平分∠APC，PN平分∠BPE， ∴∠DPN=（∠APC+∠BPE）=90°， ∴△PMN是直角三角形， 则MN=， 即PM=，MN=． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，构造直角三角形． 10．6 【分析】 此题主要考查了菱形的性质，正确得出内角度数是解题关键．直接利用菱形的性质结合已知得出的数，再利用所对边与斜边的关系得出的长即可得出答案． 【详解】解： 如图所示∶过点D作于点E， 四边形是菱形，相邻两内角的度数之比为 则， 在中， ， ， 即菱形的边长为∶． 故答案为∶6． 11． 【分析】本题考查了作垂直平分线，菱形的性质，勾股定理；延长交于点，交于点，如图，根据菱形的性质得到，，利用作法得垂直平分，所以，，接着计算出，，然后计算出，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：延长交于点，交于点，如图，   四边形为菱形， ，， ， 由作法得垂直平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 12． 【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=AC=4，OB=BD，证出EF是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出BD=2EF=12，得出OB=6，由勾股定理求出AB即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∴. ∵分别是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴ ∴. 【点睛】此题考查菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由三角形中位线定理得出AC，由勾股定理求出AB是解题的关键． 13．点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF） 【分析】首先根据题意画出图形，然后由DE∥AC、DF∥AB，判定四边形DEAF为平行四边形，再由菱形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】添加点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF）. 如图，连接AD. ∵DF∥AC、DE∥AB， ∴四边形AFDE为平行四边形. ①当添加点D在∠BAC的平分线上时. ∵AD平分∠BAC，DE∥AB， ∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠ADE， ∴∠CAD=∠ADE， ∴AE=DE， ∵四边形AFDE为平行四边形， ∴四边形AFDE为菱形； ②当添加AE=AF时. ∵四边形AFDE为平行四边形，AE=AF， ∴四边形AFDE为菱形. 故答案为点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF）. 【点睛】此题考查了菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 14．(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据AB∥CD，AC平分∠BAD，可得AD=CD，从而得到AB=CD，可证得四边形ABCD是平行四边形，即可求证； （2）根据菱形的性质，得到CD=13，AO=CO=12． 利用勾股定理即可得到OD的长，再结合三角形中位线性质，可得四边形BDEG是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：∵AB∥CD， ∴∠BCAC=∠DCA， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， ∴∠DAC=∠DCA， ∴AD=CD， ∵AB=AD， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：连接BD，交AC于点O，如图， ∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24， ∴CD=13，AO=CO=12， ∵点E、F分别是边CD、BC的中点， ∴EF∥BD， ∵AC、BD是菱形的对角线， ∴AC⊥BD，OB=OD， ∵CD=13， CO=12， ∴， ∴BD=10， 又AB∥CD，EF∥BD， ∴DE∥BG，BD∥EG， ∴四边形BDEG是平行四边形， ∴EG =BD=10． 【点睛】本题考查了平行四边形性质判定方法、菱形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，关键在于熟悉四边形的判定方法和在题目中找到合适的判定条件，需要多加练习才能提高． 15．（1）四边形BEDF是菱形，理由见解析；（2）BE的长为10. 【分析】（1）如图，由垂直平分线的性质可得，再由等边对等角和平行线的性质得，根据三线合一的性质可知是等腰三角形，且，从而得出四边形BEDF是菱形； （2）设，由题（1）的结论可得DE的长，从而可得AE的长，在中利用勾股定理即可得. 【详解】（1）四边形BEDF是菱形，理由如下： 是BD的垂直平分线 ∵四边形ABCD是矩形 ，即BD是的角平分线 是等腰三角形，且 ∴四边形BEDF是菱形； （2）设，由（1）可得 则 又∵四边形ABCD是矩形 在中，，即，解得 所以BE的长为10.    【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质、菱形的定义、勾股定理，掌握灵活运用这些性质和定理是解题关键. 16．(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、作图基本作图、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和角平分线作图，证明是解决问题（2）的关键． （1）由角平分线的作法得出结果，在上截取，连接；画出图形即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由（1）得：，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 由（1）得：， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 17．（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）由平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可． （2）解直角三角形求出BC=2，AB=DC=2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面积即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形OCED是平行四边形， 矩形ABCD， ，，， ， 平行四边形OCED是菱形； （2）在矩形ABCD中，，，， ， ， 连接OE，交CD于点F， 四边形OCED为菱形， ∴F为CD中点， 为BD中点， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$