7.1.2 全概率公式 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.2全概率公式教学设计 （人教A版本 第7章 第1节） 一、教材简析： 本节选自普通高中教科书《数学选择性必修三》（人教A版）第七章. （1） 内容 1. 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且则对任意事件，有. 2. 贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且则对任意事件，，有. （2） 内容解析 1. 内容本质 全概率公式：如图1所示，利用一组两两互斥的事件（和为必然事件），将复杂事件表示为它们的和事件，再由概率的加法公式和乘法公式求出事件的概率： .图1 从另一个角度出发，如图2所示，如果是导致实验结果的“原因”，利用全概率公式求，即“由因求果”. 原因 结果 贝叶斯公式：本质上是条件概率。若将复杂事件B分割成一组两两互斥的事件的并，如图3所示，. 图3 从另一个角度看，把视为导致试验结果的“原因”，反映了各种“原因”发生的可能性大小，它们在试验前是已知的，称为先验概率。现在已知试验结果事件B发生，可利用贝叶斯公式求出，即原因对结果B所做贡献的比例，这是一个“由果索因”的过程. 2.蕴含的思想方法 通过求解实际问题总结求复杂事件概率的基本思路，即通过把复杂问题划分成若干互斥事件的并事件，再利用概率加法、乘法公式求解，其中蕴含着化难为易的数学思想。 得到问题的解答后继续把问题一般化，并从中总结出全概率公式，在整个教学过程中蕴含着从特殊到一般、从具体到抽象的思想方法。 学习过程中，需要学生用数学的眼光看待概率，并用概率解释实际生活中的问题，这个过程中蕴含着丰富的数学建模思想。 3.知识的上下位关系 在必修二，学生已经学习了古典概型和事件的加法公式、计算相互独立事件的概率.在前一节中，通过条件概率建立了概率的乘法公式.在本节中，教材以一个古典概型的问题引发思考：在不放回的摸球试验中，求第二次摸到红球的概率.基于上节课例2的经验，本节课的思考将探究球的个数是用字母表示时的解决方法，并将此过程一般化，归纳得到全概率公式，再进一步由全概率公式与条件概率得到贝叶斯公式.在后续学段的学习中，本节课所学内容是概率论中的重要基础知识. 4.育人价值 培养学生用数学的眼光看待随机事件的概率，利用概率的加法公式和乘法公式等知识分析复杂问题，由具体实例抽象得出一般性的数学结论，逐步形成分析问题、解决问题的能力；在公式推广的过程中利用集合的运算发则进行严谨计算，逐步培养严密的逻辑思维，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养. 5. 教学重点、难点 重点：全概率公式及其应用. 难点：理解全概率公式. 二、教学目的简析： 1. 知识目标： ①结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程; ②理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率; ③了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 2.能力目标：引导学生有目的的观察、归纳、类比、猜想等. 3.素养目标： ①数学抽象：全概率公式 ②逻辑推理：从特殊到一般的思想方法 ③数学运算：运用全概率公式求事件概率 ④数学建模：将相关问题转化为对应概率模型 三、学生学情分析 1.认知基础：学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型已经有所了解，而且上一节刚刚学习了条件概率. 2.认知障碍：公式的理解重在在具体的问题情境中进行运用，同时注意运用集合的观点理解公式. 四、教学策略分析 在前一阶段的学习中，学生已有古典概型、概率的加法公式和乘法公式、条件概率等知识技能，经历过由特殊到一般研究概率基本性质的过程。因此，在概念引入时，教师可选取学生熟悉的、有趣的、经典的情境，由具体到抽象，逐步引导学生自主探究概念生成过程。在分析问题时，可借助树状图、列表等直观化的方式，帮助学生深刻理解公式的内涵与实际意义。应用公式时，教师可设置侧重点不同的情境强化学生对知识的应用，使其能利用数学模型解决实际问题。在教法上，教师要注意落实启发探究，互动讨论，问题解决；在学法上需要引导学生自主探究，合作交流，注重归纳总结。 五、教学过程： 教学步骤 预计时间 教学内容 教师活动 学生活动 教学评价 1 1分钟 复习旧知：复习上节课学习的条件概率和概率的乘法公式，以及求一个复杂事件概率时，先把它表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率的思想方法. 引导语：在上节课中，我们学习了条件概率，拓展得到了乘法公式，请大家回顾一下条件概率的定义以及概率的乘法公式。在解答例题2时我们知道了在抽奖活动中抽奖次序与中奖的概率无关，求一个复杂事件概率时，需要把它表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.在这样的计算过程中，还有什么规律和方法我们尚未发现呢？让我们先从求一个复杂随机事件的概率开始吧. 答:一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. 根据条件概率的定义，对任意两个随机事件，若，则 观察学生是否对旧的知识有充分的掌握。 2 10分钟 创设情境：问题1.袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3 个蓝球，显然，第1次摸到红球的概率为. 那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 引导学生独立思考， 尝试利用上节课学习的知识方法解决问题:为求受多因素影响的复杂事件概率的方法，通过分析第2次摸到红球的特征，把受两个因素影响的复杂事件表示为各因素下对应的简单互斥事件之和.最后带领学生总结作答过程：（1）求出样本空间的一个划分，；（2）求；（3）求；（4）求目标事件的概率. 1.用图形表示事件发生的顺序（画树状图） 2. 设事件，把要求概率的事件用简单事件表示出来：设第一次取到红球为事件，第一次取到蓝球为事件，第二次取到红球为事件.则. 3.计算事件发生的概率； 4.梳理答题过程，总结作答范式. 5.尝试借助韦恩图分析该问题. 教材的思考栏目中球的个数是用字母表示的。对于基础比较薄弱的学生理解起来比较吃力，先用具体的数字表示球数，可以降低问题的抽象程度，便于学生理解。学生不会设事件、不会求概率，往往是因为没有理清楚事情发生的顺序，借助树状图可以直观展现事件的发展顺序以及构成情况，利于学生学会设事件，并用所设的事件表征问题。 3 6分钟 问题2：袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2 个蓝球，1个黄球，显然，第1次摸到红球的概率为. 那么第2次摸到红球的概率是多大？ 巡视过程中注意发现学生闪光点，以及解决问题中遇到的困难、出现的问题。 仿照问题1的解答过程进行思考，展示成果： 1.用图形表示事件发生的顺序（画树状图） 2.设事件，把要求概率的事件用简单事件表示出来：设第一次取到红球为事件，第一次取到蓝球为事件，第一次取到黄球为事件，第二次取到红球为事件.则. 3.计算事件发生的概率； 4.规范作答： （1） 求出样本空间的一个划分，，； （2） 求； （3） 求；（4）求目标事件的概率. 5.尝试借助韦恩图分析该问题. 让学生亲身经历多因素（2个、3个互斥事件）复杂事件的表示，通过两者之间的共性，实现教学内容之间的自然过渡，体现由简单到复杂的思想，从而为推导出全概率公式做好铺垫，突破这节课的难点，同时发展学生逻辑推理直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养. 4 6分钟 抽象全概率公式：以上两个问题的求解思路有何共同点？尝试将这个过程一般化，你能归纳出求复杂事件概率的基本思路吗？你能从问题解决的过程中抽象出关键公式，并用代数式表示吗？ 带领学生归纳进行归纳总结：（1）问题1与问题2都将事件进行了分步，第一步中包含着多种情况互斥。（2）求复杂事件概率的基本思路：复杂事件可表示为两两互斥的事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率。（3）关键公式（全概率公式）：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且则对任意事件，有.教师指出这个公式程为全概率公式，它是计算概率的最基本公式之一。 在老师的带领下对比问题1与问题2的解答过程，发现两个问题的共同点：都将事件进行了分步，第一步中包含着多种情况互斥。结合韦恩图直观感受求复杂事件概率的基本思路：复杂事件可表示为两两互斥的事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率。并再此基础上结合概率加法公式和概率乘法公式，尝试自己得出全概率公式。 由具体实例，通过数学抽象得出一般性的数学结论，是培养学生抽象素养的重要途经。在这一环节中，设置了两个学生熟悉的、经典的情境，通过比较异同，归纳出解决问题的方法，在这个过程中，培养学生用数学的眼光看待随机事件的概率，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养。 5 6分钟 公式应用 例1. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 教师引导学生采用类比的方法，借助树状图理清思路，对学生在解题过程中的不严谨之处进行补充。（树状图、解题过程中的问题等可用投影进行展示）最后，师生共同得出严谨的解题过程，并归纳解题步骤：第一步，用符号表示随机事件；第二步，划分样本空间；第三步，带公式；第四步，计算所求事件概率。 类比探究中两个问题的求解过程，借助树状图理清思路，按照第一步，用符号表示随机事件；第二步，划分样本空间；第三步，带公式；第四步，计算所求事件概率的步骤完成问题的解答。 会利用全概率公式求概率，培养学生分析问题、利用已学知识解决问题的能力。 6 6分钟 例2.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率.(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率. 教师首先要求学生用集合语言表示例2中的事件。用简单事件的运算结果表示所求概率的事件。接着要求学生类比之前解决问题的方法，自主解决问题，同学之间可以进行讨论制定解决问题的方案。在此基础上教师作如下分析：取到的零件来自3台车床都有可能，如果设B=“任取一个零件是次品”，=“零件为第i（i=1，2，3）台车床加工”，那么可将事件B表示为3个两两互斥的事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率。教师引导学生按步骤解决问题。对于第（2）问教师向学生强调“如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率。 按步骤解决问题：第一问第一步，用符号表示随机事件：设B=“任取一个零件是次品”，=“零件为第i（i=1，2，3）台车床加工”。第二步，划分样本空间：两两互斥。第三步，分别计算概率：第四步，计算所求事件概率：第二问：根据条件概率得 同理，得 通过例题进一步强化应用全概率公式计算概率的方法与步骤，通过问题（2）中的条件概率的计算，让学生体会全概率公式的应用。 7 5分钟 例3.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． （1）分别求接收的信号为0和1的概率；*（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 教师首先要求学生用集合语言表示例3中的事件。用简单事件的运算结果表示所求概率的事件。接着要求学生类比之前解决问题的方法，自主解决问题，同学之间可以进行讨论制定解决问题的方案。在此基础上，要求学生灵活选用条件概率、概率的乘法公式、全概率公式来解决问题。最后教师结合学生的解答情况，给出本题的分析和解答过程。 按步骤解决问题：第一问第一步，用符号表示随机事件：设A=“发射信号为0”，B=“接收信号为0”，则“发射信号为1”，“接收信号为0”。第二步，划分样本空间：。第三步，分别计算概率：第四步，计算所求事件概率：第二问：根据条件概率得 通过具体实例，巩固全概率公式及其应用。 8 4分钟 总结提升 引导学生回顾本节课的学习过程。 回答以下问题：（1）全概率公式中将样本空间分拆成若干个两两互斥的事件的并集的作用是什么？（2）应用全概率公式求概率的步骤是什么？（3）结合本节课学习，谈谈如何从数学特例中归纳出一般性的结论？有哪些操作步骤？你有什么体会？ 通过问题组梳理全概率公式的基本思想和应用的步骤，有助于学生把握数学思想方法，提升数学素养。 9 1分钟 布置作业 教科书第52页练习第1，2题，习题7.1第5，7，8题。 认真完成课后作业 检测学生对全概率公式的理解和掌握。 1 —4— 学科网（北京）股份有限公司 $$