精品解析：安徽省马鞍山第八中学东校区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

马鞍山市第八中学东校区2024-2025学年第一学期 九年级数学期中试题卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列函数中，是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，若的面积为，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 5. 如图，在中，，，点在边上，点在边上，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长为（ ） A. 1.6 B. 2 C. 2.4 D. 3 6. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形内接于，点M、N在上，点P、Q分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，以为直角边作等腰直角，点E正好落在边上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，与交于点O，M是的中点．P，Q两点沿着方向分别从点B，点M同时出发，并都以的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 已知，求________． 12. 点是线段的黄金分割点，且，，则的长为________． 13. 二次函数解析式为，当x>1时，y随x增大而增大，求m的取值范围__________ 14. 如图，在△ABC中，分别是边上的高，连接，若，则的长为_______． 15. 如图，已知点、分别在反比例函数与图象上，且，若，则的面积为_______． 16. 如图，在中，是中线，是角平分线，，交于点．若，则_______． 17. 已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 18. 若直线与函数的图象有四个公共点，则m的取值范围为______． 三、解答题 19. 已知是坐标原点，、的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； （2）若点在线段上，点对应点的坐标为________． 20. 如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，落点B距离喷水柱底端O处． （1）求喷头A的高度； （2）在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度，使水流落在距水柱底端处，问喷头A应该向哪个方向调整多少高度？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，点B的纵坐标为． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量的取值范围； （3）连接、，求的面积； 22. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B，设BD的长为x（0＜x＜8）． （1）求证：△DCE∽△ABD； （2）用含x的代数式表示CE的长；当CE=2时，求x的值； （3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形（直接写出结果）． 23. 如图，和均是等腰直角三角形，，点E在线段上．、相交于点F，连结、，作，垂足为点H，交于点G． （1）求证：； （2）求证：． 24. 如图1，抛物线的顶点C在x轴正半轴上，直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一点，若，求点P的坐标； （3）如图2，若点M是位于直线下方抛物线上一动点，以为邻边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，请直接写出平行四边形的面积S及点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山市第八中学东校区2024-2025学年第一学期 九年级数学期中试题卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列函数中，是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次． 【详解】解：A：，最高次项为一次，不符合题意； B：，当时，不是二次函数，不符合题意； C：，不满足二次函数的定义，不符合题意； D：，满足二次函数的定义，符合题意； 故选：D 2. 已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点的横坐标的关系，二次函数的性质等知识点，利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论．熟练掌握其性质，利用数形结合法是解决此题的关键． 【详解】∵与x轴交于点，两点， ∴方程的两个根为，， 故选：B． 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握抛物线的平移变化规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由题意得，平移后解析式为：， 故选：D． 4. 已知，，若的面积为，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 故选：C ． 5. 如图，在中，，，点在边上，点在边上，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长为（ ） A. 1.6 B. 2 C. 2.4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，折叠的性质，得出是解题的关键． 由折叠可知：，，，，，设，则，证四边形是菱形，证，即可解答． 【详解】解：由折叠可知：，，，，，设，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 6. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用二次函数增减性比较函数值大小，涉及二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键．求出抛物线的对称轴为直线，得到关于对称的对称点为，再由二次函数，开口向下确定，当时，随的增大而减小，即可得到答案， 【详解】解：二次函数（为常数，且）的对称轴为， 点的对称点为． ， 抛物线开口向下． 当时，随的增大而减小． ， ． 故选：B． 7. 如图，正方形内接于，点M、N在上，点P、Q分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 设正方形边长为，则，证明四边形是矩形，得出，证明，得出，即，解出的值即可． 【详解】解：设正方形边长为，则， ∵正方形内接于上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ， ， ， ，即， 解得：， ∴正方形的周长为8， 故选：C． 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象综合问题，掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键．根据一次函数与二次函数的图象与性质进行逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，，则，而二次函数图象的对称轴是轴，即，故此选项错误，不符合题意； B、由一次函数图象知，，而二次函数图象的开口向下，即，故此选项错误，不符合题意； C、由一次函数图象知，，则，二次函数图象的对称轴位于轴右侧即，且开口向下即，此选项正确，符合题意； D、二次函数图象必须过原点，而D选项二次函数不过原点，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 9. 如图，在四边形中，，以为直角边作等腰直角，点E正好落在边上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键． 如图：过点E作交于F，证明是等腰直角三角形可得，进而证明，再由勾股定理得，然后证明，可得，即可得出结论． 【详解】解：如图：过点E作交于F， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴，故选项A不符合题意； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，与交于点O，M是的中点．P，Q两点沿着方向分别从点B，点M同时出发，并都以的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了矩形的性质，三角形的面积，求出点P、Q到达各转折点时的时间，然后分情况讨论是解题的关键， 根据矩形的性质求出点到的距离等于4，到的距离等于6，求出点到达点的时间为，点到达点的时间为，点到达点的时间为，然后分①时，点、都在上，表示出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②时，点在上，点在上，表示出、，然后根据列式整理即可得解；③时，表示出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵矩形中，与交于点， ∴点到的距离，到的距离， ∵点是的中点， ∴， ∴点到达点的时间为， 点到达点的时间为， 点到达点的时间为， ①时，点都在上，， 的面积； ②时，点在上，点在上，， ， ∴当时，的面积最小，且最小值为10； ③时，， 的面积； 纵观各选项，只有B选项图形符合． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 已知，求________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质和分式的约分． 根据可设其中，代入进行化简即可． 【详解】解：由可设其中， ∴， 故答案为： 12. 点是线段的黄金分割点，且，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的定义，牢记比例关系和黄金分割比是关键．根据黄金分割点的定义解答，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点，， 设， ， ， ， ， ，（舍去）， ， 故答案为：． 13. 二次函数解析式为，当x>1时，y随x增大而增大，求m的取值范围__________ 【答案】m≤2 【解析】 【分析】先确定图像的对称轴x= ，当x>1时，y随x增大而增大，则≤1，然后列不等式并解答即可． 【详解】解：∵ ∴对称轴为x= ∵当x>1时，y随x增大而增大 ∴≤1即m≤2 故答案为m≤2． 【点睛】本题考查二次函数的增减性，正确掌握二次函数得性质和解一元一次不等式方程是解答本题的关键． 14. 如图，在△ABC中，分别是边上的高，连接，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及勾股定理，证明三角形相似是解题的关键；由题意知，则，，，，从而可得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵分别是边上的高， ∴， ∴，， 由勾股定理得：，； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知点、分别在反比例函数与图象上，且，若，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数的几何意义，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键． 过作轴，过作轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，证明，利用反比例函数的几何意义求出与面积，进而得到面积之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为与之比，设出，，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出与的长，即可求出三角形的面积． 【详解】解：过作轴于，过作轴于， ，， ， ， ， 点，分别分别在反比例函数与图象上， ，，即， ， 在中，设，则，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ，， 则． 故答案为：． 16. 如图，在中，是中线，是角平分线，，交于点．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作于点N，作于点M，得到，取的中点G，连接，结合是中线，得到，利用中位线定理，三角形相似的判定和性质，比例的性质解答即可． 本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，中位线定理及相似三角形的判定以及性质，根据三角形的相似比得出对应边的比值是解题关键． 【详解】解：过点E作于点N，作于点M， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 取的中点G， 连接， ∵是中线， ∴， ∴， ∵， 不妨设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为-1或， 故答案为：或． 18. 若直线与函数的图象有四个公共点，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与直线的图象之间的位置关系即可求出答案． 【详解】解：作出的图象，如图所示， ， 联立， 消去y后可得：， 令， 可得：， ， 即时，直线与函数的图象只有3个交点， 当直线过点时， 此时，直线与函数的图象只有3个交点， 直线与函数的图象有四个公共点时，m的范围为：， 故答案为． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数和二元一次方程组，二次函数和一元一次方程，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，有一定的难度． 三、解答题 19. 已知是坐标原点，、的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； （2）若点在线段上，点对应点的坐标为________． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得出、，再顺次连接即可； （2）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点在线段上，点D对应点的坐标为． 20. 如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，落点B距离喷水柱底端O处． （1）求喷头A的高度； （2）在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度，使水流落在距水柱底端处，问喷头A应该向哪个方向调整多少高度？ 【答案】（1） （2）喷头A应该向上调整 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． （1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标，经过点，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，令，进而可求解； （2）根据题意，设平移后的函数表达式为，将点代入求得h值即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，该抛物线的顶点坐标，经过点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得， 故该抛物线的函数表达式为， 当时，，则， 即喷头A的高度为； 【小问2详解】 解：设调整后的抛物线的函数表达式为， 根据题意，将代入，得， 解得， 答：喷头A应该向上调整． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，点B的纵坐标为． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量的取值范围； （3）连接、，求的面积； 【答案】（1）； （2）或； （3）4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）运用待定系数法求出反比例函数解析式，即可得出点的坐标，再根据待定系数法求解即可得出一次函数的解析式； （2）根据函数图象即可得解； （3）先求出得到，再根据计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵轴，垂足为M，，， ∴， 把代入反比例函数，可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 令，则， ∴， 把，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可得：当时，自变量的取值范围为或； 【小问3详解】 解：在中，令，则，即， ∴， ∴． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B，设BD的长为x（0＜x＜8）． （1）求证：△DCE∽△ABD； （2）用含x的代数式表示CE的长；当CE=2时，求x的值； （3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形（直接写出结果）． 【答案】（1）证明：， ∵， ∴， ， ∴△DCE∽△ABD； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，可以证得∠B=∠C，然后根据三角形的外角的性质，证得∠2=∠3，根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得； （2）根据相似三角形的对应边的比相等，即可用列方程求得x的值； （3）分三种情况进行讨论，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）得△DCE∽△ABD， 当CE=2时，即 解得； （3）①当DA=DE时，△DCE≌△ABD， ∴DC=AB=6，即8-x=6．解得 x=2． ②当EA=ED时，∠DAE=∠1=∠B=∠C． ∴△DAC∽△ABC． ∴，即． 解得：． ③当AD=AE时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时x=0． （或当AD=AE时，∠1=∠AED＞∠C， ∵∠1=∠B=∠C， ∴AD=AE情况不成立． 综上所述，当或时，△ADE为等腰三角形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，正确证明△DCE∽△ABD是关键．注意运用分类讨论的思想进行解题． 23. 如图，和均是等腰直角三角形，，点E在线段上．、相交于点F，连结、，作，垂足为点H，交于点G． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵ 和均是等腰直角三角形， ，， ， ∵， ， ， ， ∴； （2） 证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∴，， ，， ， 由（1）知：， ， ， ∴是的垂直平分线， ， ， 由（1）知：， ， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质． （1）推导出，，进而得证； （2）过点作，交的延长线于点，借助，推导出，通过推导出，得到，进而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图1，抛物线的顶点C在x轴正半轴上，直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一点，若，求点P的坐标； （3）如图2，若点M是位于直线下方抛物线上一动点，以为邻边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，请直接写出平行四边形的面积S及点M的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3）， 【解析】 【分析】（1）由题意得出，，求解即可； （2）求出，联立，可得，从而得出，，求出，过点作轴交于，则，，求出，得出，作轴交于，设，则，，再根据，建立方程，求出的值即可得解； （3），作轴交于，设，则，从而可得，由二次函数的性质可得，当时，最大，为，由（2）可得，即可求出的面积的最大值，由题意可得当的面积的最大时，平行四边形的面积最大，最大为，即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点C在x轴正半轴上， ∴，， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 联立，可得， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作轴交于， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作轴交于， 设，则， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，作轴交于， 设，则， ∴， ∴当时，最大，为， 由（2）可得， ∴的面积的最大值为， ∵以为邻边作平行四边形， ∴当的面积的最大时，平行四边形的面积最大，最大为， ∴当时，平行四边形的面积最大，为，此时． 【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质、二次函数综合—面积问题、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $