第十一章 立体几何初步 单元测试-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

第十一章 立体几何初步 单元测试 一、单选题 1．据《九章算术》记载，“鳖臑（biēnào）”为四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一个“鳖臑”如图，底面ABC，，且，则异面直线PB与AC所成角的大小为（     ） A． B． C． D． 2．在长方体中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（　　） A． B． C． D． 3．已知三棱锥，底面，，设和的外接圆半径分别为，．若三棱锥外接球的体积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，线段，的中点分别为．现将沿对角线翻折，使二面角的在大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 5．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，， 二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 8．如图，在直三棱柱中，，，，点是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的是(    ) A． B．的最小值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．存在点，使得异面直线与所成角为30° 三、填空题 9．如图，正方体中，有以下结论：①平面；②；③平面；④直线与BC所成的角为，其中正确的结论为 . 10．已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 11．正方体中，直线与所成的角为 . 12．已知正的边长为4，那么的直观图的面积为 ． 四、解答题 13．如图，在三棱锥中，为的中点，，，，，，. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 14．将正方形沿对角线折叠，使平面平面.若直线平面，. （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积. 15．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点，求证：PC // 平面BDE. 16．在如图所示的直三棱柱中，分别是线段上的动点． (1)若平面，求证：; (2)若为正三角形，E是的中点，求二面角余弦值的最小值． 参考答案 1．C 【分析】根据的结构，将其补形为正方体，作出异面直线所成角，由此求得异面直线PB与AC所成角的大小. 【详解】依题意可知底面ABC，，且，故可将几何体补形为正方体如下图所示，由于所以是异面直线PB与AC所成角，而三角形是等边三角形，所以. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，考查中国古代数学文化，属于基础题. 2．B 【分析】取的中点，连接、、、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，可求得的值，即可得解. 【详解】取的中点，连接、、、，如下图所示： 因为且，、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，且， 因为且，且， 故四边形为平行四边形，所以，， 所以，异面直线与所成角为或其补角， 由勾股定理可得，， ，，则， 所以，，因为，故. 因此，异面直线与所成角的大小是. 故选：B. 3．C 【分析】设三棱锥外接球的球心为，和的外接圆圆心分别为，，则底面，有，得，通过基本不等式可求的最大值. 【详解】设和的外接圆圆心分别为和．因为底面，底面，所以，则为直角三角形，即为的中点，所以．又因为，所以． 设三棱锥外接球的球心为，连接，如图所示， 则底面，底面，所以，，所以． 因为三棱锥外接球的体积为，所以，解得， 所以． ，，当且仅当时，等号成立，即的最大值为. 故选：C． 4．C 【分析】取中点连接，，设菱形的边长为，可得（或补角）为与所成角．在中，由余弦定理，即可求出结果. 【详解】取中点连接，，设菱形的边长为， 因为，∴，，则（或补角）为与所成角． ∴， 在中，，可得， 在中，． 在中，． 在中，． 因此异面直线与所成角的余弦值为. 故选C 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，只需在几何体中作出异面直线所成的角，解对应三角形即可，属于常考题型． 5．C 【分析】如图所示，连接，分析得到就是异面直线与所成角或其补角，解即得解. 【详解】 如图所示，连接. 由题得, 所以就是异面直线与所成角或其补角， 因为是等边三角形， 所以， 所以异面直线与所成角为. 故选：C. 6．B 【分析】根据球心到三棱锥各顶点的距离相等， 作出辅助线，找到球心，求出外接球半径，结合二面角的平面角的定义，求出三棱锥的高、底面积，得到三棱锥的体积. 【详解】取的中点，连接， 因为， 所以到的距离相等， 故即为球心． 由球的表面积等于，设外接球半径为，故， 解得，过作垂直于于点， 因为，，所以，同理， 过点作，且，则，是二面角的平面角，，过点作，垂足为点. 因为，，且两直线在平面内，所以平面， 又平面，所以，,且两直线在平面内，所以平面， 则为三棱锥的高， 故三棱锥的高为， 其中， 所以三棱锥的体积． 故选：B. 7．AC 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A，若，，则或，又，所以，故A正确； 对于B，若，，则或，又，则与斜交、垂直、平行及均有可能，故B错误； 对于C，若，，则，又，则，故C正确； 对于D，若，，则或，又，则或，故D错误． 故选：AC． 8．AC 【分析】A：证明平面即可判断；B：将矩形沿翻折到与矩形在同一个平面，由即可求；C：易知为直线与平面所成角，在Rt△中即可求直线与平面所成角的正弦值；D：设BE=x，0≤x≤2，易知∠CAE为异面直线与所成角或其补角，在△ACE中，由余弦定理可判断是否存在E． 【详解】对于A，由题可知平面，平面，， 又∵，，∴平面， 平面，，故A正确； 对于B，将矩形沿翻折到与矩形在同一个平面，如图， 则，故B错误； 对于C，由A项可知平面，同理可知平面，∴为直线与平面所成角，∴，故C正确； 对于D，∵∥AC，∴∠CAE为异面直线与所成角或其补角， 设BE=x，0≤x≤2，则，， 则若∠CAE=30°或150°时，在△ACE中，由余弦定理得， ，经验证，无论∠CAE=30°还是150°，x均无解，故不存在E使得异面直线与所成角为30°，故D错误； 故选：AC． 9．①②③④ 【解析】在①中，由，推导出平面；在②中，推导出，由三垂线定理知，；在③中，推导出，，，从而得到平面；在④中，异面直线与所成的角就是直线与所成的角，故为异面直线与所成的角，由此求出直线与所成的角为． 【详解】在①中，由正方体的性质得，， 平面，故①正确； 在②中，由正方体的性质得，而是在底面内的射影， 由三垂线定理知，，故②正确； 在③中，由正方体的性质得，由②知，，， 同理可证，故平面内的两条相交直线， 平面，故③正确； 在④中，异面直线与所成的角就是直线与所成的角， 故为异面直线与所成的角， 在等腰直角中，，故直线与所成的角为，故④正确． 故答案为： ①②③④ 10． 【分析】计算球的半径和截面圆的半径，确定圆锥的轴与平面的夹角为，截面为等腰三角形，计算边长得到面积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 设球的截面半径为，则，故， 故球心到平面的距离， 球心在圆锥的轴上，圆锥的轴与平面的夹角为. 圆锥的高为，故球心到圆锥底面圆的距离为， 圆锥的底面半径为， 如图所示：截面为等腰三角形，，，， ，故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了球与圆锥的截面问题，意在考查学生的转化能力，空间想象能力和综合应用能力，其中，确定圆锥的轴与平面的夹角为，再确定截面形状得到面积是解题的关键. 11．90° 【详解】解析过程略 12． 【分析】根据斜二测法的原理进行求解即可. 【详解】如图所示：   在正中，显然， 因此在中，， 过作，垂足为， 因此， 所以的面积为， 故答案为： 13．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由等腰三角形、直角三角形的性质，根据线面垂直的判定证明BM⊥平面PAC； （2）由于平面，故，计算即得解 【详解】（1）证明：∵AB⊥BC，AB＝BC， ∴ 为等腰直角三角形，又M为AC的中点，AC＝2， ∴MB＝AC＝1，且BM⊥AC， 又∵PA⊥PC，∠PAC＝30°， ∴MP＝AC＝1， 综上有：MB＝MP＝1，又PB＝，即MP2＋MB2＝BP2， ∴MP⊥MB，又AC∩MP＝M，AC，MP平面PAC ∴BM⊥平面PAC. （2）由（1）平面 故 故三棱锥的体积 14．（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）取中点为，连结，，则，从而平面，进而直线直线，由此能证明直线平面． （2）推导出，平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，从而．由此能求出三棱锥的体积． 【详解】（1）证明：取中点，连结，， ，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 直线平面，直线直线， 又平面，平面， 直线平面． （2）解：原四边形为正方形，为中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面． 由于为等腰直角三角形，所以， 又，， 由（1）可知，点到平面的距离等于点到平面的距离， ． 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 15．证明见解析. 【分析】连结，交BD于O，连结OE，得，从而得证线面平行． 【详解】证明: 连结，交BD于O，连结OE. 因为ABCD是平行四边形，所以O是AC中点. 因为E为侧棱PA的中点所以. 因为平面，平面，所以PC // 平面BDE. 【点睛】本题考查证明线面平行，掌握线面平行的判定定理是解题关键． 16．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据面面平行的性质定理得出线线平行即可得证； （2）作出二面角的平面角，根据D与C重合时二面角的余弦值最小求值即可. 【详解】（1）过点E作，交于M，连接，如图， 由平面，平面， 则平面且． 又平面，且平面， 故平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，从而． 故，所以． （2）过D作，垂足为G，则平面， 再过G作，垂足为N，连接， 则即为二面角的平面角． 在中，当点D从B向C运动时，增加，而减小，从而增加， 故D与C重合时二面角的余弦值最小． 此时， 故． 故二面角余弦值的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$