第三章 函数的概念与性质 总结提升讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一年数学校本作业（《函数的概念与性质》总结提升） 一、知识网络 二、知识梳理 1.一般函数定义域的求法 ①常见基本初等函数定义域的基本要求 （1）分式函数中分母不等于零． （2）偶次根式函数的被开方式大于或等于0. （3）y＝x0的定义域是{x|x≠0}． （4）对数的真数大于零. ②对于抽象函数定义域的求解 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 2．求函数值域常用的方法 （1）直接法； （2）换元法； （3）配方法； （4）判别式法； （5）分离常数法； （6）图象法； （7）不等式法； （8）函数单调性法． 3．如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数是同一函数，这是判断两函数是否为同一函数的依据． 4．函数解析式的求法 （1）待定系数法：已知函数类型，先设函数解析式，然后根据已知条件求解相关参数； （2）已知求或已知求，一般采用换元法或配凑法； （3）消去法：形如：已知与或满足的关系式，可采用方程组方法，解得； （4）赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式． 5．函数单调性的判定方法 （1）定义法，步骤：取值、作差、定号、判断（同增异减）； （2）图象法，根据函数图象的升降情况进行判断； （3）直接法，运用已知的结论，直接得到函数的单调性． 6．求复合函数单调性的步骤 （1）将复合函数分解成，； （2）分别确定这两个函数的定义域和单调区间； （3）若两个函数在对应的区间上单调性同增或同减，则为增函数；若一増一减，则为减函数． 7．函数奇偶性的判定方法 （1）定义法：首先确定函数的定义域，验证函数定义域是否关于原点对称．若否，函数是非奇 非偶函数，若是，继续判断． 若则为偶函数， 若则为奇函数， 若都不成立，则函数是非奇非偶函数， 若都成立，则函数既是奇函数，又是偶函数． 也可以利用等价命题判断，即（或）是奇函数；（或）是偶函数． （2）图象法：图像关于原点对称是奇函数；图像关于y轴对称是偶函数． （3）性质法：在定义域的公共部分内： 奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数； 奇函数偶函数=奇函数（注：取商时应使分母不为0）． 8．复合函数的奇偶性 对于复合函数， 若为偶函数，为偶函数，则为偶函数； 若为奇函数，为奇函数，则为奇函数； 若为奇函数，为偶函数，则为偶函数； 若为偶函数，为奇函数，则为偶函数． 9．奇、偶函数的重要结论 若是具有奇偶性的单调函数，则奇函数在正负对称的区间上单调性是相同的，偶函数在正负对称的区间上单调性是相反的，简称“奇同偶异”． 10．幂函数 （1）形如y＝xα(a∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数． （2）五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 单调性 增 x∈[0，＋∞) 时，增；x∈(－∞，0] 时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减； x∈(－∞，0)时，减 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 考点一　求函数的定义域 【例1】 (1)函数y＝＋log2(tan x－1)的定义域为________. (2)函数的定义域为（　　） A． B． C． D． (3)若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）。 A． B． C． D． 考点二　求函数的解析式 【例2】（1）已知，则＝________； （2）已知函数是一次函数，若，则＝________； （3）已知函数对于任意的都有，则＝________. （4）已知二次函数图象过点，且满足，则的解析式为______. 考点三　分段函数 角度1　分段函数求值 【例3－1】 已知函数则_____. 角度2　分段函数与方程、不等式问题 【例3－2】设函数则满足的的取值范围是_______________. 考点四　确定函数的单调性(区间) 【例4】函数在区间是减函数，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 考点五　求函数的最值　 【例5】 (1)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为(　　) A. B. C.2 D.4 (2)已知函数f(x)＝则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________. 【训练5】 1.定义max{a，b，c，}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 考点六　函数单调性的应用 角度1　利用单调性比较大小 【例6－1】 已知奇函数f(x)在R上是增函数，若a＝－f，b＝f(log2 4.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 角度2　求参数的值或取值范围 【例6－2】 已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有 >0成立，那么实数a的取值范围是________. 考点七　判断函数的奇偶性 【例7】 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　) A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cos x C.y＝2x＋ D.y＝x2＋sin x 考点八　函数的周期性及其应用 【例8】 (1)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A.－50 B.0 C.2 D.50 (2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________. 【训练8】 (1)设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f＝(　　) A.－ B.－ C. D. (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________. 考点九　函数性质的综合运用 角度1　函数单调性与奇偶性 【例9－1】 设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　) A.[－3，3] B.[－2，4] C.[－1，5] D.[0，6] 角度2　函数的奇偶性与周期性 【例9－2】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋5)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝x3－3x，则f(2 018)＝(　　) A.2 B.－18 C.18 D.－2 (2)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝(　　) A. B. C.π D. 【训练9】 (1)已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________. (2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________. 考点十　幂函数的图象和性质 【例10】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　) (2)若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 【训练10】 (1)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 (2)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$