精品解析：福建省厦门外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

厦门外国语学校2024—2025学年第一学期高一期中考 数学学科 试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：在试卷上作答无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第I卷 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数的图象关于原点对称，又在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数与表示同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 7. 函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中至少有两项符合题目要求，有错选不得分，部分选对得部分分，全部选对得6分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，或”； B. 已知集合，若，则实数或； C. 函数的定义域为，则函数的定义域为； D. 若，，则. 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在单调递减 第II卷 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. ______. 13. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数_____． 14. 已知函数．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 已知 （1）当时，求； （2）在①是的必要条件；②；③这三个条件中任选一个，求实数a的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 16. 已知函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若对任意的，都有，求的取值范围. 17. 某企业为生产某种产品，每月需投入固定成本万元，每生产万件该产品，需另投入流动成本万元，且，每件产品的售价为元，且该企业生产的产品当月能全部售完. （1）写出月利润（单位：万元）关于月产量（单位：万件）的函数关系式； （2）试问当月产量为多少万件时，企业所获月利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值并判断的单调性（无需证明）； （2）若，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 若函数满足：对于任意正数m，n，都有，，且，则称函数为“速增函数”. （1）试判断函数与是否是“速增函数”； （2）若函数为“速增函数”，求的取值范围； （3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校2024—2025学年第一学期高一期中考 数学学科 试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：在试卷上作答无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第I卷 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，求得集合A.根据函数的定义域，求得集合B.即可求得交集. 【详解】解：因为集合， 集合，所以． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，函数定义域的求解，集合的交集运算.属于基础题. 2. 下列函数的图象关于原点对称，又在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A. 判断的奇偶性，再利用特殊值判断单调性；B. 判断的奇偶性，再根据函数极小值判断单调性；C.判断的奇偶性；D. 根据函数的定义域判断. 【详解】A. 定义域为，且， 所以是奇函数，图象关于原点对称，又 ， 所以在定义域内不单调递增，故错误； B. 定义域为R，且， 所以是奇函数，图象关于原点对称，又 在定义域上都是增函数， 所以在定义域内单调递增，故正确； C. 定义域为R，且， 所以是偶函数，图象不关于原点对称，故错误； D. 因为，即，解得，所以定义域为，不关于原点对称，故错误； 故选：B 3. 下列函数与表示同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的判断条件定义域相同、解析式相同、值域相同，逐项进行判断即可. 【详解】对A，，定义域为， 定义域为，故不是同一函数，故错误； 对B，定义域为， ，定义域为，故不是同一函数，故错误； 对C，， 由，解析式不同，故不是同一函数，故错误； 对D，定义域为， 定义域为，故是同一函数，故正确； 故选：D 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为，，由，可得， 所以，“”“”；但“”“”. 所以，已知，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性定义推得为奇函数，排除AB；再由排除C，从而得解. 【详解】因为，， 所以的定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数，则的图像关于原点对称，排除AB； 又，排除C； 因为排除了选项ABC，而选项D的图像满足上述的性质，故D正确. 故选：D. 6. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将化成指数一样，将化成底数一样，即可得答案； 【详解】， 又为增函数，； ， 又，，，即； . 故选：A. 7. 函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，且，所以，，即，， 对任意的正数、都有，即，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值是. 故选：D. 8. 已知的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对进行分类，分，和，利用指数函数和分段函数的性质，直接求出函数的值域，再结合条件，即可求解. 【详解】①若， 当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域满足， 所以，解得， ②若， 当时，在上单调递增，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域满足，不合题意， ③当时，， 当时，， 当且仅当时，等号成立，符合题意； 综上所述：的取值范围是. 故选：C. 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中至少有两项符合题目要求，有错选不得分，部分选对得部分分，全部选对得6分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，或”； B. 已知集合，若，则实数或； C. 函数的定义域为，则函数的定义域为； D. 若，，则. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义可判断A选项，再根据集合中元素的性质可判断B选项，根据抽象函数定义域求法可判断C选项，利用作差法可判断D选项. 【详解】A选项：命题“，”的否定是“，或”，A选项正确； B选项：已知集合，若， 则①，，此时，不满足集合中元素的互异性； ②，解得或，已知不成立，当时，，满足题意；所以B选项错误； C选项：函数的定义域为，即，， 函数需满足，， 即函数的定义域为，C选项正确； D选项：由，，则， 即，D选项错误； 故选：AC. 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可得，然后再利用基本不等式逐项判断即可对AB判断求解；由由，可得，再利用单位“”即可对C判断求解；由，再结合，即可对D判断求解. 【详解】A：由，可得，因为， 所以，即，得，当时取等号，故A正确； B：由，当时取等号，又因为，当时取等号， 所以，故B错误； C：由，可得， 所以， 当，即时取等号，故C正确； D：， 因为，所以，所以， 当时取等号，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】令即可判断A；令，求出，再令，即可判断B；令即可判断C；由，得，再根据函数单调性定义即可判断D. 【详解】因为， 令，得，所以，故A正确； 令，得， 所以，令，得，又， 所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确； 令，得， 又，所以，故C错误； 当时，由， 可得，又， ，在上任取，不妨设， ， ， 故在单调递减，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简. 第II卷 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. ______. 【答案】15 【解析】 【分析】根据指数幂以及对数运算法则求解. 【详解】 故答案为：15 【点睛】本题考查指数幂以及对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得，运算求解，并结合单调性检验即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则，即，解得或， 若，则在上单调递减，符合题意； 若，则在上单调递增，不符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 14. 已知函数．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】设， 对任意的，， 故对任意的，，故函数的定义域为， 因为 ， 所以，，函数为奇函数， 令，则函数在上为增函数， 函数为增函数，所以，函数在上为增函数， 由， 可得， 所以， 所以，即， 令， 当时，则有，显然成立； 当时，则， 所以，函数在、上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，则，解得，此时，； 当时，则， 所以，函数在上单调递减，在、上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 已知 （1）当时，求； （2）在①是的必要条件；②；③这三个条件中任选一个，求实数a的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分式不等式可化为，求解即可化简B，再求即可； （2）条件①②③均等价于，可得，求解即可 【小问1详解】 由分式不等式可化为，则不等式解集为，即有B=, ，，故； 【小问2详解】 条件①②③均等价于，则有，解得，实数a的取值范围为； 16. 已知函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若对任意的，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， ，，，， 在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用配凑法直接求解即可； （2）任取，由可得结论； （3）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知：在上单调递增，， ，解得：，的取值范围为. 17. 某企业为生产某种产品，每月需投入固定成本万元，每生产万件该产品，需另投入流动成本万元，且，每件产品的售价为元，且该企业生产的产品当月能全部售完. （1）写出月利润（单位：万元）关于月产量（单位：万件）的函数关系式； （2）试问当月产量为多少万件时，企业所获月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当月产量为万件时，企业所获最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）利用销售收入减去投入流动成本再减去固定成本万元即可求解； （2）根据二次函数的性质和基本不等式分别求分段函数两段的最大值，取最大的即可求解. 【小问1详解】 因为每件产品的售价为元，所以万件产品的销售收入为万元. 当时，； 当时，， 所以 【小问2详解】 当时，， 此时当时，取得最大值（万元）. 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值（万元）. 因为，所以当月产量为万件时，企业所获月利润最大，最大利润为万元. 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值并判断的单调性（无需证明）； （2）若，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），在和上单调递减； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求实数的值，根据复合函数的单调性及奇偶性判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性，利用分类讨论的方法求解； （3）将双变量双函数相等关系的问题转化为两函数值域的包含关系. 【小问1详解】 函数中，， 因为为奇函数，所以，即， 整理得，所以，即， 其定义域为， 由复合函数的单调性可知，在和上单调递减； 因为，在和上单调递增， 所以在在和上单调递减， 所以在和上单调递减； 【小问2详解】 因为在和上单调递减，并且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 画出函数图像 由图像可知： 当时，，解得； 当，，无解； 当，，此时解得； 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 ， 当时，，故， 所以在上值域为， 又 ，， 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 若函数满足：对于任意正数m，n，都有，，且，则称函数为“速增函数”. （1）试判断函数与是否是“速增函数”； （2）若函数为“速增函数”，求的取值范围； （3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有. 【答案】（1）是，不是 （2） （3）证明：由函数为“速增函数”，可知对于任意正数，， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于正整数与正数，都有， 对任意,，可得，又， 所以， 同理， 故． 【解析】 【分析】（1）根据定义进行判断即可，利用特殊值，举出反例； （2）根据定义可知，即对一切正数恒成立，可得，由，可得 得出，最后求出的范围； （3）根据定义，令，可知，即，故对于正整数与正数，都有，进而得出结论． 【小问1详解】 对于函数，当，时，， 又， 所以， 故是“速增函数”. 对于函数，当时，， 故不是“速增函数”. 【小问2详解】 当，时，由是“速增函数”， 可知，即对一切正数恒成立， 又，可得对一切正数恒成立，所以. 由，可得， 即 ， 故，又，故， 由对一切正数，恒成立，可得，即． 综上可知，的取值范围是． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题为自定义信息题，关键是读懂题目意思.根据题目所提供的信息，要严格遵循“速增函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“速增函数”的定义，说明是“速增函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数是“速增函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.本题考查新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合性强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $