28.2.1解直角三角形 课时作业2024-2025学年人教版数学九年级下册

人教版九年级下册数学28.2.1解直角三角形 课时作业 一、单选题 1．如图，是的直径，点在线段上，交于点，连接．设，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，，分别与相切于点，点，若，，则的长为(   ) A．1 B．2 C． D． 3．如图，的半径为，为的直径，为的弦．为上一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.若，AC=3，则CD的长为 A．6 B． C． D．3 5．如图，码头A在码头B的正西方向，甲，乙两船分别从A，B两个码头同时出发，且甲的速度是乙的速度的2倍，乙的航向是正北方向，为了使甲乙两船能够相遇，则甲的航向应该是　　 A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏西 6．第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽如图1所示，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（ ）． A． B． C． D． 8．如图，等腰中，，点D在线段上运动（不与A、B重合），将与分别沿直线翻折得到与，给出下列结论： ①； ②面积的最小值为； ③当点D在的中点时，是等边三角形； ④当时，的长为； 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，P为x轴上一点，，，则a的值为 ．    10．如图，在中，，是的中点，边点作的垂线交于点，，，则 ． 11．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为 ． 12．如图，在直角梯形中，，点在梯形内，点在梯形外，，若，且，则 ． 13．我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式，可得，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增加时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为 （结果保留根号）．    三、解答题 14．已知：是的外接圆，的平分线交于点D，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是的直径，过点A作，垂足为点E，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接分别交，于点G，H，若，，求线段的长． 15．如图，Rt△ABC中，，AB是的直径，BC与交于点D，连接AD，点F是圆上任意一点，连接AF，延长线交BC于点E，． (1)求证：； (2)若，，求EF的长． 16．若的三边长分别为,根据三角形面积公式（h为边a上的高）及正弦三角函数的定义，我们很容易得到； (1)根据上述想法，试证明正弦定理； (2)若外接圆的半径为R，试用含R的代数式表示出上述正弦定理的比值结果 (3)若上述问题中运用所得结论，求的面积 17．在直角坐标系中，(为坐标原点，点，点是中点，连接(将绕点顺时针旋转，得到,记旋转角为，点的对应点分别是,连接是中点，连接． （1）如图①，当时，求点的坐标；       （2）如图②，当时，求证，且； （3）当旋转至点共线时，求点的坐标(直接写出结果即可) ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B D B B D B 1．B 【分析】本题考查了解直角三角形．根据，，可得，，所以，，代入式子化简即可． 【详解】解：，， ，， ，， ． 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线长定理、切线的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，由切线长定理得出，结合推出是等边三角形，得到，，由切线的性质可得，从而得到，由圆周角定理可得，最后由余弦的定义可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，分别与相切于点，点， ， ， 是等边三角形， ，， 与相切于点， ， ， ， 是直径， ， ， ， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：连接，由圆周角定理可得， ∵为的直径， ∴， ∴在中，， 故选：． 4．D 【详解】解：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°,又⊙O的直径AB垂直于弦CD，，所以在Rt△AEC 中，∠A=30°,又AC=3，所以CE=AB=,所以CD=2CE=3， 故选D. 【点睛】本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大. 5．B 【分析】解直角三角形ABC可得∠CAB的度数，根据余角的定义，可得∠DAC的度数，根据方向角的表示方法，可得答案． 【详解】作AD∥BC，如图，设BC=t，则AC=2t，∴sin∠CAB==，∴∠CAB=30°，∴∠DAC=60°，甲的航向应该是北偏东60°． 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形和方向角，解直角三角形是解题的关键． 6．B 【分析】本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数．熟练掌握直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，正弦定义，是解决问题的关键． 在中，运用勾股定理求出，同理在中，求出，再根据正弦定义计算，即得． 【详解】∵中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 7．D 【分析】利用正方形的性质以及平行线的性质可分别得出D1E1、B2E2、B2C2的长，进而得出B3C3、WQ的长，最后根据30°的余弦函数求解即可. 【详解】解：过小正方形的一个顶点W作FQ⊥x轴于点Q，过点A3F⊥FQ于点F， ∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴∠B3C3E4=60°，∠D1C1E1=30°，∠E2B2C2=30°， ∴D1E1=D1C1=， ∴D1E1=B2E2=， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意得出：∠WC3Q=30°，∠C3WQ=60°，∠A3WF=30°， ∴， ， ∴点A3到x轴的距离是：． 故选D． 【点睛】本题综合性强，难度较大，是中考常见题，利用直角构造一线三垂直是解决问题的关键． 8．B 【分析】①由折叠直接得到结论； ②由折叠的性质求出，再用周角的意义求出；先作出的边上的高，用三角函数求出，得到，判断出面积最小时，点D的位置，据此求解即可； ③先判断出是等边三角形，是等边三角形，再求出，即可； ④当D，C，Q共线时，可以证明，求出此时的值即可． 【详解】解：①∵将与分别沿直线翻折得到与， ∴．故①正确； ②∵将与分别沿直线翻折得到与， ∴， ∴， ∴， 如图1中， 过点Q作交延长线于E， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵ ∴， ∴最短时，最小， 即：时，最短， 过点C作，此时就是最短的， ∵， ∴， ∴， 即：最短为2， ∴，故②错误， ③∵将与分别沿直线翻折得到与， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理：是等边三角形， ∴， ∴， ∵当点D在的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形．故③正确， ④如图2中， 当D，C，Q共线时，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点C作于F，则， ∵， ∴， ∴，故④正确， 综上，①③④正确， 故选：B． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，锐角三角函数，极值的确定，三角形的面积公式，解本题的难点是确定出面积最小时，点D的位置． 9．/ 【分析】过点P作，过C作轴，轴，过A作轴，过点B作轴，构造，利用求出,然后利用求出,即可得到答案． 【详解】如图，过点P作，过C作轴，轴，过A作轴，过点B作轴交于点G， ∵点 ∴ ∵, 在和中， ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴, ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：    【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形全等，三角形相似，三角函数等知识点，综合性质强，合理作出辅助线构造三角形相似是解决此题的关键 10． 【分析】根据在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，cosA=，cosA=，可得AB、BC的长，从而求得AD的长，由ED⊥AB，从而可以推得DE的长． 【详解】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,cosA=,cosA=， ∴AB=10,BC==6. ∴tanA== = . ∵D是AB的中点， ∴AD=AB=5. ∵ED⊥AB， ∴∠EDA=90°. ∵tanA==，AD=5， ∴DE=. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用三角函数. 11． 【分析】根据折叠的性质得到DE为的中位线，利用中位线定理求出DE的长度，再解求出AF的长度，即可求解． 【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合， ∴DE垂直平分AF，，，， ∵DE∥BC， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即D为AB的中点， ∴DE为的中位线， ∴， ∵AF＝EF， ∴是等边三角形， 在中，，， ∴， ∴， ∴四边形ADFE的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 12． 【分析】如图所示，过点A作于H，则四边形是矩形，可得，则，解得到，证明，得到，进而证明，则，可得，设，则，，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图所示，过点A作于H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 设，则， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形，从而证明是解题的关键． 13． 【分析】本题考查正多边形和圆，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用多边形圆心角公式得到，作于点，利用解直角三角形得到，进而得到，再根据进行计算，即可解题． 【详解】解：由题知，图中，， 作于点，    有， ， 的估计值为； 故答案为：． 14．(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）由角平分线得到两个圆周角相等，进而得到在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等； （2）连接，作于F，运用特殊角的三角函数得出结论． （3）作于N，连接并延长，交于P，作于Q，作于M，运用勾股定理求出关键线段的长，借助相似三角形的性质及判定即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ． （2）证明：连接，作于F， 是的直径， ， 平分， ， ， 都是等腰直角三角形，即，， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：作于N，连接并延长，交于P， 由（2）知，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ，即， ， ， ， 作于Q， ∵， ， ， ，， 作于M， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， ， 连接， ， ， 即， ． 【点睛】考查圆周角定理和推论，勾股定理以及直角三角形特殊的边角关系、相似三角形的性质和判定等知识，掌握定理和相关的知识是解决问题的前提，同时善于发现圆中的等角、等弦、直径等，联系相关定理推论得出结论． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明∠BAE＋∠CAE＝90°，∠EBF＋∠FEB＝90°，∠BAE＝∠FEB，从而得出AB＝BE； （2）先得出∠BAD＋∠ABD＝90°，∠ABC＋∠C＝90°，从而得出∠BAD＝∠C，设BD＝3x，AD＝4x，用勾股定理求出BD与AD的长，最后求出EF的长． 【详解】（1）证明：∵Rt△BAC中，∠BAC＝90°， ∴∠BAE＋∠CAE＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴∠EBF＋∠FEB＝90°， ∵∠CAE＝∠EBF， ∴∠BAE＝∠FEB， ∴AB＝BE； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＋∠ABD＝90°， ∵Rt△BAC中，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＋∠C＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∴， ∵， 设BD＝3x，AD＝4x， ∴， ∵AB＝5， ∴x＝1， ∴BD＝3，AD＝4， ∵BE＝AB＝5 ∴DE＝BE－BD＝2 ∴， ∵AB＝BE，∠AFB＝90°， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质及判定，关键是对知识的掌握和综合运用． 16．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查三角函数定义，圆周角定理和圆的性质： （1）根据三角函数定义得，，，联立等式后，再变形即可； （2）作直径，连接，如图，则，，由三角函数定义得，求得，同理可得，，于是可得到结论； （3）由，可得，代入计算即可 【详解】（1）证明：如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∴． 同理可得． 因此有． 每项都除以，得， 故 （2）作直径，连接，如图， 则，， ∴， ∴， 同理，，， ∴； （3）∵ ∴， ∵, , ∴, ∵ ∴． 17．（1）点；（2）见解析；（3）点或． 【分析】（1）过点作，垂足为，由旋转图形性质，得到AM的长，再应用解直角三角形的知识问题可解； （2）根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半可证OP=PN，再由三角形内角和知识，证明即可； （3）根据题意画出满足条件图形，过M做于点E，利用锐角三角函数和旋转的知识，求出，则问题可解. 【详解】（1）如图点，点 是中点 ， 且 即为等腰直角三角形 当时， 点落在上， 由旋转可知 过点作，垂足为 则 则 点 如图，当时， 点共线，点共线 ， 且是中点， ， 且 则 可得 即 即 当点B、M、N共线，M位于B、N之间时，如图 过M做于点E 由已知，， 在中， 在中， 则点M坐标为 当点B、M、N共线，N位于B、M之间时，如图 过M做于点E 由已知，， 在中， 在中， 则点M坐标为 综上，点或 【点睛】本题考查了旋转和锐角三角函数的知识，解答关键是根据题意画出图形，正确构造直角三角形解答问题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$