精品解析：山东省威海市文登区第二中学（五四制）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024～2025学年第一学期初四年级数学期中质量检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在中，，若的三边都扩大3倍，则的值（　　） A. 放大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 无法确定 2. 已知，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一架飞机在空中处检测到正下方地平面目标，此时飞机的飞行高度米，从飞机上看地平面指挥台的俯角，此时长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 关于反比例函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象关于直线对称 C. 当时，随的增大而减小 D. 当，则 5. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. C. 42 D. 8. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 函数y=的自变量x的取值范围是____. 12. 矩形的边在x轴上，点C在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，若，，则_____． 13. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m. 14. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为_________元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大． 15. 点，都在二次函数的图象上，若，则m的取值范围是____________． 16. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 三、解答题（共72分） 17. 已知是锐角，且． 求的值． 18. 如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔．游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上，求处与灯塔相距多少海里？（结果保留根号） 19. 已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． （1）求关于的函数表达式和自变量t的取值范围； （2）若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 20. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接，点，的刻度分别为，，直尺的宽度为，，设直线的解析式为． （1）不等式的解集为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，求的值． 21. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面的距离； （2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，．    （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线第一象限上一动点，求点运动到什么位置时四边形的面积最大，最大面积为多少？ 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 24. 如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到l的距离为d米． （1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期初四年级数学期中质量检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在中，，若的三边都扩大3倍，则的值（　　） A. 放大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知变化后的三角形与原三角形相似即可解答． 【详解】解：在中，，的三边都扩大3倍， 变化后的三角形与原三角形相似， 相似三角形的对应角相等， 的大小没有发生变化， 的值不变． 故选：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及相似三角形的性质．根据题意得到变化后的三角形与原三角形相似是解题的关键． 2. 已知，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知，一般先按键“2ndF”，再按键“tan”，输入“0.85”，再按键“=”即可得到结果． 【详解】解：已知，用计算器求锐角A的大小，按键顺序“2ndF”，“tan”，“0.85”，“=”． 故选：A 【点睛】本题主要考查计算器的使用，掌握计算器上三角函数的计算方法是解题的关键． 3. 如图，一架飞机在空中处检测到正下方地平面目标，此时飞机的飞行高度米，从飞机上看地平面指挥台的俯角，此时长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】在中，，则的正弦值是的对边与斜边的比值，即可得出的长度． 【详解】解：由题意得，米， 在中，， ∴， ∴（米）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，需结合三角函数的定义进行求解． 4. 关于反比例函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象关于直线对称 C. 当时，随的增大而减小 D. 当，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，则图象经过点，本选项不符合题意； B、图象关于直线对称，本选项不符合题意； C、当时，随的增大而减小，本选项不符合题意； D、当，，又当时，随的增大而减小，所以当，则，本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解． 【详解】解：如图，作BD⊥AC于D， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键． 6. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据k的取值范围，分为当k > 0时和当k < 0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当k > 0时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象的对称轴在y轴右侧，并且二次函数的图象与y轴交于负半轴，则A选项不符合题意，C选项符合题意； 当k < 0时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象的对称轴在y轴左侧，并且二次函数的图象与y轴交于正半轴，则B、D选项均不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对k的取值进行分类讨论(当k > 0时和当k < 0时)，注意运用数形结合的思想方法，充分寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解． 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. C. 42 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可； 【详解】解：∵当x=0时，，∴A(0，4)， ∴OA=4； ∵当y=0时，，∴x=-3，∴B(-3，0)， ∴OB=3； 过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC， ∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠CBE =∠BAO． 在△AOB和△BEC中， ， ∴△AOB≌△BEC， ∴BE=AO=4，CE=OB=3， ∴OE=3+4=7， ∴C点坐标为（-7，3）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴k=-7×3=-21． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用． 8. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 9. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，确定当时，，即有，再证明，即可作答． 【详解】解：根据函数图象有：当时，， 此时：， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 函数y=的自变量x的取值范围是____. 【答案】x≥-1且x≠2 【解析】 【详解】根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得x２-４≠0，解不等式即可． 解：根据题意得：x２-４≠0，x＋１≥0， 解得：x≥-1且x≠2； 故答案为x≥-1且x≠2． “点睛”函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 12. 矩形的边在x轴上，点C在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，则，，即，代入得，，，利用锐角三角函数求得，再利用勾股定理求得，可得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则，， ∴， 把点代入得，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数、待定系数法求反比例函数解析式、勾股定理、矩形的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 13. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m. 【答案】2 【解析】 【详解】试题解析：如图，建立平面直角坐标系， 设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为米． 14. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为_________元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键． 设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元，根据题意表示出，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元， 根据题意得， 抛物线的对称轴为：． ，， 当时，有最大值． 故答案为：52． 15. 点，都在二次函数的图象上，若，则m的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、解一元一次不等式，根据列出关于m的不等式求解即可． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 18. 如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔．游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上，求处与灯塔相距多少海里？（结果保留根号） 【答案】海里 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题关键．直接过点作求出，的长，再利用锐角三角三角函数关系得出的长即可得出答案． 【详解】解：过点作，垂足为， 在中，，则， ， 由勾股定理得：， 解得：， ， ， ， 在中，，即， ， 海里， 答：处与灯塔相距海里． 19. 已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． （1）求关于的函数表达式和自变量t的取值范围； （2）若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数在行程问题中的应用： （1）根据时间、速度、路程之间的关系可列函数表达式，根据限速情况求t的取值范围； （2）先计算出上午到以及到的时长，再将它们分别代入关于的函数表达式，即可得汽车行驶的速度范围． 【小问1详解】 解：由题意知， 关于的函数表达式为：， 速度限定为不超过120千米/时， ， ， ； 【小问2详解】 解：到用时小时，到用时小时， 将代入，得：， 将代入，得：， 汽车行驶速度的范围为． 20. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接，点，的刻度分别为，，直尺的宽度为，，设直线的解析式为． （1）不等式的解集为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，求的值． 【答案】（1）； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（）根据题意得出点，然后由图象即可求解； （）由图可知点的横坐标为，然后再根据图象即可求解； （）先求出反比例函数解析式为，直线的解析式为，当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则，然后解方程即可； 本题考查了反比例函数与一次函数的关系，待定系数法求解析式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点，的刻度分别为，，， ∴点， 根据图象可知，不等式的解集为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得，点，由图可知点的横坐标为， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：由（）得，点， ∵反比例函数的图象交于点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由图可知点的横坐标为，且在反比例函数解析式为， ∴纵坐标为 ∴点， ∵直线的解析式为过点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴的值为或． 21. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面的距离； （2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）点到地面的距离为； （2）顶部线段的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中 答：点到地面的距离为 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在中 答：顶部线段的长为 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，．    （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线第一象限上一动点，求点运动到什么位置时四边形的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由可求出的长，进而可求得点坐标，设二次函数解析式为，将、、三点坐标代入，建立三元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）过点作轴于点，设点坐标为（），利用各点坐标可分别求出、、、、的长，根据及三角形的面积公式，即可将四边形的面积用表示出来，将该二次函数化成顶点式，即可求得四边形面积的最大值以及此时的点坐标． 【小问1详解】 解：， ， 又， ， ， 设二次函数解析式为， 二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点， 将上述三点坐标代入，可得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点， 点为抛物线第一象限上一动点， 设点坐标为（）， ， ， ， ， ， ， ， 函数图象开口向下， 当时，取得其最大值，最大值为， ， ， 答：点运动到时四边形的面积最大，最大面积为． 【点睛】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，已知正切值求边长，等式的性质，待定系数法求二次函数解析式，解三元一次方程组，三角形的面积公式，整式的混合运算，将二次函数化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，代数式求值等知识点，利用待定系数法正确求解二次函数解析式是解题的关键． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 24. 如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到l的距离为d米． （1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围． 【答案】（1），6米 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可，再求出时，的值，由此即可得； （2）法一：根据对称性求出平移方式，再根据平移方式即可求出点的坐标；法二：先根据二次函数平移的特点求出下边缘的解析式，进而求出B的坐标即可； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过点，下边缘抛物线，计算即可． 【小问1详解】 解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，则设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为6米． 【小问2详解】 法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴将点C向左平移得到点B的坐标为 法二：∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移t个单位长度得到的， ∴可设， 将点代入得，（舍去） ∴下边缘抛物线的关系式为， ∴当时，， 解得，（舍去）， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为． 当抛物线恰好经过点时，． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使，则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $