精品解析：重庆市求精中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

重庆市求精中学校高2024级高一上期期中考试 数学试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据无理不等式的解法列出不等式组解之可得答案. 【详解】由题意得 ，解得， 故选：C. 【点睛】本题考查无理不等式的解法，对于型，可以转化为去解，考查了学生的计算能力. 4. 下列各组函数中f（x）和表示相同函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数相等：对应关系相同，定义域相同，逐项分析判断. 【详解】对A：的定义域为R，的定义域为，则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，A错误； 对B：∵，解得或，则的定义域为， 又∵，解得，则的定义域为， 则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，B错误； 对C：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系不相同，定义域相同，C错误； 对D：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系相同，定义域相同，D正确； 故选：D. 5. 已知实数，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解. 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 随的增大而增大，要使在上单调递增， 只需在上单调递增，则有，所以． 故选：A. 7. 求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（ ）人 A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 8. 设是偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的单调性，由可得，分、两种情况讨论，结合函数的单调性可得出原不等式的解集. 【详解】对任意的、，有， 不妨设，则，，则， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，则该函数在上为减函数， 因为，则， 由知， 当时，，可得； 当时，，可得， 所以，不等式的解集为. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意实数，，，，下列四个命题中为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、D，根据不等式的性质判断B、C. 【详解】对于A ，当时，满足条件，，但是，所以A为假命题； 对于B，因为，所以，所以，所以成立，所以B为真命题； 对于C，因为，所以且，所以，所以C为真命题； 对于D，当，，，时，满足条件，，但是，所以D为假命题． 故选：AD． 10. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项. 【详解】解：设幂函数，则，解得，所以， 所以的定义域为，在上单调递增，故A正确， 因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误， 当时，，故C正确， 当时，， 又，所以，D正确． 故选：ACD. 11. 某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（ ） A. 等式对恒成立； B. 若，则一定有； C. 若，方程有两个不等实数根； D. 函数在R上有三个零点． 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性进行判断，对于B，通过判断函数的单调性分析判断，对于C，由的奇偶性和单调性，结合函数的值域分析判断，对于D，由的奇偶性和单调性分析判断. 【详解】对于A，因为， 所以是奇函数，故对恒成立，所以A正确； 对于B，当时，，因为在上递减， 所以在上递增， 因为是奇函数，所以在上也是增函数， 而，的图象连续，所以在上为单调递增函数， 所以，则一定有成立，所以B正确； 对于C，因为，所以为偶函数， 当时，，因为在为单调递增函数， 所以在上单调递减， 当时，， 因为，所以，所以，则， 因为，为偶函数，所以， 所以当时有两个不相等的实数根，当时不可能有两个不等的实数根，所以C错误； 对于D，因为，所以为奇函数， 当时，， 因为为奇函数，所以当时，， 因为，所以函数在R上有一个零点，所以D错误； 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，考查函数与方程，解题的关键是对函数奇偶性和单调性的正确判断，然后利用奇偶性和单调性的性质求解，考查计算能力，属于较难题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】; 故答案为： 13. 已知，则的解析式________． 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，联立求解. 【详解】解：因为， 所以， 两式联立解得：， 故答案为： 14. 设函数的定义域为，，当时，.若存在，使得有解，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，可知，可得函数解析式并画出函数图象，由图象可得实数的取值范围. 【详解】根据，可知， 当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 此时恒成立. 画出局部函数图象如图所示： 当时，，解得：或， 要存在，使得有解，只需， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 函数，则， 所以. 【小问2详解】 函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 16. 集合. （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求的范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合A，B，再求两集合的交集即可； （2）求出集合A的补集，由是的充分不必要条件，可得，从而得，解不等式组可得答案 【详解】（1）由得即，解得或， 所以或； 当时，，由得，即， 所以， 所以或. （2）∵或，∴， 由，得，∴ 是的充分不必要条件 ∴， ∴，解得， ∴的范围为 17. 设，函数. （1）若函数是奇函数，求的值； （2）若，求函数的定义域和值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可得，建立方程，解之可得，验证即可； （2）由题意可得，根据指数函数的性质即可求解. 【小问1详解】 若为奇函数，则， 得，整理得，解得. 经检验，当时，符合题意. 所以. 【小问2详解】 当时，， 由，得，即的定义域为； ， 又，所以， 令，则，得， 解得或， 即的值域为. 18. 已知. （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）若，解不等式. 【答案】（1） （2）当，的解集为或；当，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为. 【解析】 【分析】（1）转化为解集为R，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出实数a的取值范围； （2），分，，，得到不等式的解集. 【小问1详解】 对一切实数x恒成立， 则，所以不等式的解集为R， 当时，不等式为，解集为R；符合题意； 当时，则，解得 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 ，即， 若，则，解集为， 若，则，解集为或 若，所以，因为， 所以，当时，，解集为， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 综上：当，的解集为或； 当，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 19. 已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”. （1）将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标； （2）求函数图象对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题.（不必证明） 【答案】（1）， （2） （3） 此命题是假命题． 举反例说明：函数的图象关于直线成轴对称图象， 但是对任意实数，函数，即总不是偶函数． 修改后的真命题：“函数的图象关于直线成轴对称图象”的充要条件是“函数是偶函数”． 【解析】 【分析】（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为，整理得，为奇函数，利用题设即可下结论． （2）设的对称中心为，由题设知是奇函数，从而求出的值，即可得出图象对称中心的坐标． （3）此命题是假命题．举反例说明：函数的图象关于直线成轴对称图象，但是对任意实数，函数总不是偶函数．修改后的真命题：“函数的图象关于直线成轴对称图象”的充要条件是“函数是偶函数”． 【小问1详解】 平移后图象对应的函数解析式为， 整理得，为奇函数， 由题设真命题知，函数图象对称中心的坐标是． 【小问2详解】 设的对称中心为，由题设知函数是奇函数． 设， 则， 由不等式的定义域为，关于原点对称，则，得． 此时（）． 任取，由，即， 解得， 所以函数图象对称中心的坐标是． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市求精中学校高2024级高一上期期中考试 数学试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组函数中f（x）和表示相同函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知实数，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（ ）人 A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 8. 设是偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意实数，，，，下列四个命题中为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 当时， D. 当时， 11. 某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（ ） A. 等式对恒成立； B. 若，则一定有； C. 若，方程有两个不等实数根； D. 函数在R上有三个零点． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______. 13. 已知，则的解析式________． 14. 设函数的定义域为，，当时，.若存在，使得有解，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求； （2）若，求a的取值范围. 16. 集合. （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求的范围. 17. 设，函数. （1）若函数是奇函数，求的值； （2）若，求函数的定义域和值域. 18. 已知. （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）若，解不等式. 19. 已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”. （1）将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标； （2）求函数图象对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题.（不必证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $