精品解析：江苏省南京东南实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期高一期中考试 数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加.第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，且，则（ ） A. ，， B. ，， C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，不分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数在上是单调减函数 B. 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 C. 已知，，则的取值范围是 D. 函数的值域是 10. 已知，为正实数，满足，则下列判断中正确的是（ ） A. 的最大值是. B. 的最小值为1 C. 有最大值 D. 有最小值 11. 已知定义在上的函数同时满足：①偶函数；②当时，；③当，时，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象如图所示，则______. 13. 函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是_______，进而求值_______． 14. 已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中是整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简求值：； （2）已知，求. 16. 已知全集，集合，，集合是非空集合. （1）分别求和； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 17. 两县城和相距，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为.对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为. （1）将表示成的函数； （2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，求的零点； （3）求当时，函数的值域. 19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. （1）判断函数在上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高一期中考试 数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求解再判断即可. 【详解】，故，共3个元素. 故选：C 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：B 3. 下列函数与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数三要素对选项逐一进行判断即可得出结论. 【详解】易知函数的定义域为，值域为, 对于A，函数的定义域为，不合题意； 对于B，函数的定义域为，值域为,符合题意， 对于C，函数的定义域为，不合题意； 对于D，函数，对应法则不同，不合题意. 故选：B 4. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出复合过程，根据复合函数单调性同增异减得出结论. 【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为. 故选：C 5. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式解集的性质求出，再由分式不等式的解法求出解集即可； 【详解】由题意可得，即， 所以即，等价于， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 6. 某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加.第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为，由题意列方程求解即可； 【详解】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为， 则，解得或（舍去）， 所以该厂这两个季度生产总值的平均增长率为， 故选：D. 7. 已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到在定义域上单调递减，再利用分段函数、一次函数、反比例函数的性质，即可求解. 【详解】因为，且， 不妨设，则，， 所以在定义域上单调递减， 当时，在区间上单调递减，所以， 当时，，，为减函数， 又，解得， 综上： 故选：A. 8. 已知函数，，且，则（ ） A. ，， B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先作出函数的图象，再逐一分析每一个选项即得解. 【详解】由题得，解得， 所以函数的图象如下图所示： 对于A、B：由图可知若，且， 则，的值可正，可负，也可以为零，故A、B错误； 对于C：当时，， 满足， ，故C错误； 对于D：， 由可得，即，故D正确； 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，不分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数在上是单调减函数 B. 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 C. 已知，，则的取值范围是 D. 函数的值域是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由单调性定义判断A，由图象变换判断B，由不等式的性质判断C，利用二次函数性质判断D． 【详解】对于A， ，满足，，，，与减函数定义矛盾，A错； 对于B，由图象的平移变换知B正确； 对于C，因为，，所以，所以，C正确； 对于D，，，设，则， ， 在时递增，在时递减， 时，，所以值域为，D正确． 故选：BCD． 10. 已知，为正实数，满足，则下列判断中正确的是（ ） A. 的最大值是. B. 的最小值为1 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件等式利用基本不等式计算可得A正确，由对勾函数性质可得B错误，将平方可得C正确，利用指数运算计算可得D正确. 【详解】对于A，由可得，当且仅当时，等号成立，即A正确； 对于B，易知，所以可得，其中， 利用对勾函数性质可得，可知B错误； 对于C，易知， 当且仅当时，等号成立，即有最大值，C正确； 对于D，易知， 当且仅当时，等号成立，即有最小值，D正确； 故选：ACD 11. 已知定义在上的函数同时满足：①偶函数；②当时，；③当，时，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】由条件③令，再结合条件②可得A正确；由偶函数的性质再结合条件②③可得B错误；由单调性的定义再结合条件②和③可得C正确；不等式等价于，再结合单调性和奇偶性可得D错误； 【详解】A：由当，时，，可令， 可得，又由条件②当时，，即， 所以，故A正确； B：由条件①偶函数，所以， 由条件③，令可得， 又由条件②当时，，即，所以，故B错误； C：取，且， 则， 因为，所以，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增，故C正确； D：因为， 所以不等式等价于， 又在上单调递增，且由条件①得为偶函数， 所以，即解集为，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象如图所示，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象，先求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得，则. 故答案为：. 13. 函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是_______，进而求值_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用函数图象平移可得出函数的对称中心，结合对称性可得出，再利用倒序相加法可得出所求代数式的值. 【详解】因为函数， 所以，函数的图象可由反比例函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为函数为奇函数，其对称中心为原点， 故函数对称中心，故， 记， 则 ， 故. 故答案为：；. 14. 已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中是整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据开口方向的不同分为三种情况讨论，运用基本不等式对集合进行分析. 【详解】当时，原不等式为，解得，此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意； 当时，，则不等式的解为或， 此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意； 当时，，则不等式的解为，而， 则集合至少含有共个元素. 综上所述：集合中元素最少为个，此时且，解得. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简求值：； （2）已知，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则直接化简求解即可； （2）根据指数幂运算的性质可求得和，代入即可求得结果. 【详解】（1） ； （2）， ， . 16. 已知全集，集合，，集合是非空集合. （1）分别求和； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解出集合，再由集合的运算求解即可； （2）由条件得出是的真子集，再列不等式组求解即可； 【小问1详解】 ， 所以， ， . 【小问2详解】 若是的必要不充分条件，所以是的真子集， 由非空集合可得，，解得， 所以. 17. 两县城和相距，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为.对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为. （1）将表示成的函数； （2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在；出该点到城的距离为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，再由当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为求出即可； （2）由（1）得，令，换元后由基本不等式求解即可； 【小问1详解】 由为直径，得，所以， 由已知可得， 又当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为， 即当时，， 代入上式可得，解得， 所以. 【小问2详解】 存在， ， 令， 则， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，此时. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，求的零点； （3）求当时，函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求解； （2）根据函数零点，对数运算求解； （3）将函数转化为二次函数求解值域； 【小问1详解】 由题意知，代入得； 解得：， 经检验，时，， 故为奇函数. 【小问2详解】 ， 令得：， 综上的零点为. 【小问3详解】 , 设，， 结合二次函数性质，对称轴，图象开口向上， 当，；当时，， 综上函数值域为. 19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. （1）判断函数在上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求实数的值. 【答案】（1） 指数函数在上不具有性质. 理由如下：指数函数的定义域为， 对于，易知不存在满足题意， 因此对于，不存在满足， 即函数在上不具有性质. （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）根据指数函数值域可得对于，不存在满足，可得结论； （2）利用一次函数性质以及性质，由集合间的包含关系解不等式即可得实数的取值范围； （3）对的取值分类讨论，得出函数在上的值域，再根据性质的定义得出集合间的包含关系，得出不等式的解集，再由存在唯一的实数得出等量关系即可求得实数的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数在区间上具有性质， 所以对任意，都存在使得，即， 可得， 因为，所以，又，所以, 即，解得， 因此实数的取值范围为. 【小问3详解】 若函数在上具有性质， 则对任意，都存在使得，即； 因为，所以； 若，易知函数关于对称， 当时，即，此时在上单调递减，此时； 因此可得，即， 解得，若存在唯一的实数可得， 解得，符合题意； 当时，可得，此时在的最小值为， 最大值为，即； 所以，即， 解得，若存在唯一的实数可得， 解得（舍）或（舍）； 当时，可得，此时在的最小值为， 最大值为，即； 所以，即， 解得，若存在唯一的实数可得， 解得或（舍），即符合题意； 综上可知，实数的值为或. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次函数单调性对的取值分类讨论得出其在上的值域，再由性质定义得出集合间的包含关系解不等式可得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $