精品解析：安徽省合肥市合肥一六八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024－2025学年一六八中学期中考试试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可. 【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误； 选项B：表示有理数集，所以，说法错误； 选项C：表示整数集，所以，说法正确； 选项D：表示自然数集，所以，说法错误； 故选：C 2. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性比较大小关系，通过指数幂运算比较大小关系，由此结果可知. 【详解】因为，，， 因为幂函数在上单调递增，所以， 又因为，所以， 由上可知， 故选：B. 3. 若命题，则的准确表述是（ ） A. ， B. ， C. ，或 D. ，或 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，否定结论的时候，注意不等式的解集是否互为补集关系. 【详解】由特称命题的否定是全称命题，另外，等价于，其否定为，即或， 所以或. 故选：D. 4. 若命题，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，命题，是真命题，分、两种情况讨论，时直接检验即可；当时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为命题，是假命题， 则命题，是真命题， 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，. 故选：B. 5. 已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 6. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由图可知图中阴影部分表示的集合为，从而可求得答案. 【详解】由，得，解得， 所以， 由，所以， 图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 7. 已知函数则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 当时，函数的值域为 C. 若方程没有实数根，则 D. 若函数在上单调递增，则 【答案】B 【解析】 【分析】对A，判断的奇偶性可判断；对B，时，判断的单调性求出的范围，结合指数函数的单调性求出值域；对C，将方程转化，再换元，利用一元二次方程根的判别式及根与系数关系求解判断；对D，利用复合函数单调性分析求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，且， 所以函数是偶函数，其图象不关于原点对称，故A错误； 对于B，当时，，令，令， 则在单调递增，时，，时，， 所以的值域为R，即，所以的值域为，故B正确； 对于C，由，得，要使原方程无实数根即方程无实数根， 令，则方程无正实数根， 所以或，即或，解得，故C错误； 对于D，要使函数在上单调递增，需在上单调递增， 即函数在上单调递增，所以，故D错误. 故选：B. 8. 已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数、的图象都关于点对称，结合对称性可得出结果. 【详解】因为函数、的定义域均为， 因为， 所以，， 故函数的图象关于点对称， 因为 ， 故，则函数的图象也关于点对称， 不妨设，由题意可知，这两个函数的交点也关于对称，且， 则点与点关于点对称，则， 因此，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点和问题，分析两个函数的对称性是解题的关键，进而根据对称性求和. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的有（） A. 若则 B. “集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 C. 设a，则“”是“”的必要不充分条件 D. 若则的最小值是2 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断A；由二次方程的解法和充分必要条件的定义可判断B；由充分必要条件的定义和性质可判断C；由基本不等式可得最小值，可判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，故A错误； 对于B，集合中只有一个元素，则方程有一个根， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，，解得； 综上所述：若中只有一个元素,则或， 所以"集合中只有一个元素"是""的必要不充分条件，故B正确; 对于C,设"推不出""，比如，反之成立, 所以""是""的必要不充分条件，故C正确; 对于D，若，则,但是等号不成立， 因为,即无实数解，所以的最小值不是2,故D错误. 故选:BC. 10. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论、、、四种情况下，的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】①当时，， 当时，是定义在R上的奇函数，当时，，， 函数在上递减，在上递增， 因此在上递增，在上递减，A可能； 当时，是定义在上的奇函数， 当时，，，函数在上递增， 则在上递增，当时，，同理在上递增，B可能； ②当时，的定义域为，，为偶函数， 若时，当时，（注意）， 当时，，则C不可能； 若时，当时，，当时，，则D可能. 故选：ABD 11. 已知、均为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用基本不等式即可解得； 对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案； 对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案； 对D，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 所以，的最小值为，C对； 对于D选项， ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，D对. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域可得出关于满足函数有意义时， 满足的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先由已知条件求出幂函数的解析式，再由幂函数的单调性解不等式即可 【详解】设，则，解得， ， 因为在和上单调递减，， 或或， 解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，可知，从而将不等式的解集为空集，转化为在区间上的解集为空集，从得出而在区间上恒成立，根据二次函数的图象与性质，得出，开口向上，对称轴为，且，分类讨论和两种情况，进而根据一元二次不等式恒成立问题，即可求出的取值范围. 【详解】解：根据题意，可知， 设，则， 因为不等式的解集为空集， 即在区间上的解集为空集， 即在区间上无解， 所以在区间上恒成立， 对于二次函数，开口向上，对称轴为， ， 当，即时，则， 所以在区间上恒成立，符合题意； 当，即时， 令，解得：或， 要使得在区间上恒成立， 只需满足且， 即且，解得：（舍去）或， 又因为，故解得：， 综上得，实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，________________________. （1）当时，求，； （2）若求实数的取值范围. 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答. ①函数的定义域为集合； ②不等式的解集为. 【答案】（1）选①或②，，或. （2） 【解析】 【分析】（1）选①或②，求出集合，当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）选①或②，分析可得，分、两种情况讨论，根据题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 选条件①： 当时，，， 则， 则或，或， 所以，或. 选条件②：由可得，则， 当时，， 则， 则或，或， 所以，或. 【小问2详解】 选①或②，若，则， 当时，，解得； 当时，由可得，解得. 综上，实数的取值范围为 16. 已知二次函数，且. （1）求函数的解析式； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）结合条件，用待定系数法求解即可； （2）将问题转化为，讨论参数的范围求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由，可得，即， 当，即时，不等式解集为， 当，即时，不等式解集为， 当，即时，不等式解集为， 综上，当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 17. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为y万元. （1）写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，） 【答案】（1），，从第3年开始盈利； （2） , 当且仅当，即时等号成立， 故第7年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利万元； 由，当时，， 故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短，故方案①比较合理. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到函数关系化简，列出不等关系，解不等式得到结果，向上取整即可. （2）①先表示出年平均盈利额，利用基本不等式求出去年平均盈利额最大年份，求出总获利；②由二次函数的性质求出盈利额最大年份，求出总获利；比较获利金额，金额相同比较时间，即可得到合理方案. 【小问1详解】 由题意可得，，（） 令，解得， 因为，所以，故从第3年开始盈利. 【小问2详解】 略 18. 定义在上的函数是单调函数，，且，. （1）求，判断函数的奇偶性并说明理由； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）存在使得成立，求参数的取值范围. 【答案】（1），函数为奇函数，理由如下： 在等式中， 令可得，解得， 因为函数的定义域为， 令可得，所以， 因此，函数为奇函数. （2） 函数为上的减函数，理由见解析： 任取、，且，则，所以， 因为，所以， 所以，函数在上为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）令，可求得的值；令，结合函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性； （2）判断出函数为上的减函数，然后任取、，且，可得出，利用题中等式以及函数单调性的定义即可证得结论成立； （3）将所求不等式变形为，可得出，令，可得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在使得， 可得， 因为函数在上为减函数，则， 令，其中，则，即函数为偶函数， 任取、且， 则 ， 因为，则，，则， 所以，，则， 所以，函数在上单调递增，则当时，， 即， 所以，当时，， 令，则，则， 所以，，可得， 令，其中，由题意可得， 因为函数在上单调递减，则， 则，因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19. 已知函数、、的定义域均为定义：①若存在个互不相同的实数、、、，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”. （1）判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由； （2）设，，若存在二次函数，使得与关于“任意交换”，求的解析式； （3）设，若与关于“维交换”，求实数的取值范围. 【答案】（1） 函数与关于“维交换”，理由如下： 显然，， 令，即，即，， 即方程无解. 所以，与不是关于“维交换”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由“维交换”的定义，列出方程并求解即可判断. （2）由与关于“任意交换”的定义，列出关系等式，由等式的特征设出，借助恒等式求解即得. （3）根据给定条件可得，再按、讨论分段函数零点即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，对任意，恒有成立， 即对任意，存在二次函数，， 显然等式左边是关于的次多项式，则设， 于是， 由奇次项系数得，又，则，，解得， 因此存在，使得与关于“任意交换”，所以. 【小问3详解】 令，依题意，函数在上有个零点， 显然，即是函数的零点， 当时，若，则，，，即函数在时无零点， 若，则在上单调递增， ，，函数在时只有个零点，不符合题意， 因此，①当时，， 显然函数的图象恒过点、， 则当时，函数的图象开口向上，在时仅只一个零点， 当时，，在时没有零点， ②当时，， 显然函数的图象恒过点、， ，当，即时，在时仅只一个零点， 当，即时，在时有个零点， 当，即时，在时没有零点， ③当时，， 显然函数的图象恒过点、， 当时，在时无零点，当时，在时有个零点， 综上所述，当时，有个零点， 所以当与关于“维交换”时，. 故实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年一六八中学期中考试试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若命题，则的准确表述是（ ） A. ， B. ， C. ，或 D. ，或 4. 若命题，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 6. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 当时，函数的值域为 C. 若方程没有实数根，则 D. 若函数在上单调递增，则 8. 已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的有（） A. 若则 B. “集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 C. 设a，则“”是“”的必要不充分条件 D. 若则的最小值是2 10. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知、均为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 13. 已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是________. 14. 设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，________________________. （1）当时，求，； （2）若求实数的取值范围. 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答. ①函数的定义域为集合； ②不等式的解集为. 16. 已知二次函数，且. （1）求函数的解析式； （2）解关于x的不等式. 17. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为y万元. （1）写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，） 18. 定义在上的函数是单调函数，，且，. （1）求，判断函数的奇偶性并说明理由； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）存在使得成立，求参数的取值范围. 19. 已知函数、、的定义域均为定义：①若存在个互不相同的实数、、、，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”. （1）判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由； （2）设，，若存在二次函数，使得与关于“任意交换”，求的解析式； （3）设，若与关于“维交换”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $