精品解析：江苏省天一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

江苏省天一中学2024-2025学年第一学期期中考试 高一数学 命题人 曹慧敏 审阅人 沈爱莉 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，，则集合 A. B. C. D. 2. 命题，的否定（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数为幂函数，则该函数为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，.则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应，这个法则可以是公式、图象、表格等形式，例如狄利克雷函数，当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0，以下关于狄利克雷函数的性质：①；②的值域为；③为奇函数；④，其中表述正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在三对“隐对称点”，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. “”是“”的既不充分又不必要条件 B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C. “关于的方程有实数根”的充要条件是“” D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 10. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________ 13. 已知函数是偶函数，当时，，则当时，________ 14. 已知，，若，则的最小值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，.求： （1）； （2）； （3）. 16. 已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2），解关于的不等式：； （3）当时，恒成立，试确定实数的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数.且. （1）求实数，的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求的取值范围. 18. 如图，已知中，，点从点沿线段运动到点，过作的垂线，与折线交于点，记直线右侧阴影部分的多边形为.设，的面积为，的周长为. （1）和的解析式； （2）记，求的最大值. 19. 我们知道，函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数，且，求的值. （2）已知函数. （Ⅰ）求的图象的对称中心； （Ⅱ）若与的图象有四个公共点，，，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省天一中学2024-2025学年第一学期期中考试 高一数学 命题人 曹慧敏 审阅人 沈爱莉 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，，则集合 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察集合，算出，再算其补集，即可得答案； 【详解】全集，，， ，， 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交、并、补运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2. 命题，的否定（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“，是特称命题， 所以其否定是全称命题，即，， 故选：B. 3. 函数为幂函数，则该函数为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数定义可得，求得解析式即可得出该函数为偶函数； 【详解】由题意知，即， 则该函数为，此时函数定义域为全体实数集， 该函数在定义域内有增有减，不是单调函数； 函数满足，为偶函数. 故选：D 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，.则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法可判断A；举反例可判断B，C，D. 【详解】对A，根据不等式的性质，若，则， 即，故A正确； 对于B，当时，由，故B错误； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，取，则，故D错误； 故选：A. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性即可求解. 【详解】因为， 所以为奇函数， 当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确. 故选：B. 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法和二次函数的性质即可求解. 【详解】，由，得， 所以函数的定义域为， 令，则，， 所以，， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时函数取得最大值，最大值为， 则由二次函数的图象与性质知，函数的值域为， 即函数的值域为. 故选：D. 7. 德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应，这个法则可以是公式、图象、表格等形式，例如狄利克雷函数，当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0，以下关于狄利克雷函数的性质：①；②的值域为；③为奇函数；④，其中表述正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①②可以直接根据定义得到，③④可以利用定义进行推导出. 【详解】因为是无理数，所以，故①正确； 的函数值是或，所以的值域为，故②错误； 若是有理数，则是有理数，则，若是无理数，则是无理数，则， 综上：是偶函数，故③错误； 若是有理数，则是有理数，则，若是无理数，则是无理数，，故④正确， 所以表述正确个数为. 故选：B. 8. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在三对“隐对称点”，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，函数的图象上存在点关于原点对称，设函数的图象与函数的图象关于原点对称，求出，则问题转化为方程有解，参变分离结合基本不等式的性质计算即可. 【详解】由“隐对称点”的定义可知， 函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与图象关于原点对称， 设，则，即 ， 所以， 故函数的图象与的图象有3个交点， 如图①所示，， 当时，，即有两个交点，如图②所示， 且，当且仅当时取等号， 所以， 当时，，即有一个交点， 因为函数在单调递增，即, 综上所示，. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. “”是“”的既不充分又不必要条件 B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C. “关于的方程有实数根”的充要条件是“” D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，由于与互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，所以D正确. 故选：AD. 10. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误. 【详解】对于A，，所以，化简得， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，根据基本不等式， ， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 又因为，， 所以，，，，， 所以，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以，， 同理，，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选ABD. 11. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用配方法求出函数值域可判断A；利用的解集为可判断B；利用韦达定理可判断CD. 【详解】函数， 因为函数的值域为， 所以，即，故A正确； 对于B，由得， 因为的解集为，即的两根为， 所以，故B错误； 对于C，由，得，即，故C正确； 对于D，由得， 因为的解集为，所以， 得， 所以，整理得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：将关于的不等式的解集为，转化为方程的两根为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________ 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则化简计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 13. 已知函数是偶函数，当时，，则当时，________ 【答案】 【解析】 【分析】设，则，把代入已知解析式后利用偶函数的概念求解即可. 【详解】设，则， 所以， 又因为为偶函数， 所以， 所以当时，. 故答案为：. 14. 已知，，若，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再结合基本不等式计算即可得. 【详解】， 由，，故，， 故， 即，当且仅当， 即，时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，.求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】根据集合的交并补的运算依次求解即可. 【小问1详解】 由交集的运算性质得. 【小问2详解】 由并集的运算性质得. 【小问3详解】 由题意，或， 即或. 16. 已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2），解关于的不等式：； （3）当时，恒成立，试确定实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式； （2）原不等式等价于，进一步确定的范围即可得解. （3）依题意可得不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 由题意，函数是二次函数，且，可得函数的对称轴为， 又由最小值为，可设， 又，即，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 ， 因为，所以或， 所以若，则关于的不等式：的解集为. 【小问3详解】 因为当时，恒成立， 即当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设函数，， 则在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为， ∴， 故实数的取值范围为：. 17. 已知函数是定义在上的奇函数.且. （1）求实数，的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） ，函数在上单调递增， 证明：任取． ， 因为，所以， 则， 所以，即， 故函数在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及的值求得； （2）利用函数单调性的定义证得的单调性； （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数． 所以，解得， 则． 又因为，则，解得， 经检验时，， 则是奇函数． 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数是定义在上的奇函数，且． 则， 因为函数在上单调递增． 所以，解得， 所以的取值范围是． 18. 如图，已知中，，点从点沿线段运动到点，过作的垂线，与折线交于点，记直线右侧阴影部分的多边形为.设，的面积为，的周长为. （1）和的解析式； （2）记，求的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分，两种情况讨论，分别求出阴影部分的面积和周长； （2）求出，分，两种情况，求出每种情况下的最大值，看谁更大即可. 【小问1详解】 作的高， 由，，则， ， 当，即时，， 则， ， 当，即时， ，则， 则， ， ， 【小问2详解】 当时，， 当且仅当，即时等号成立； 即此时的最大值． 当时，， 当且仅当时等号成立； 故最大值为. 【点睛】关键点点睛：分，两种情况讨论，分别求出阴影部分的面积和周长，再利用基本不等式和函数的性质求的最大值. 19. 我们知道，函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数，且，求的值. （2）已知函数. （Ⅰ）求的图象的对称中心； （Ⅱ）若与的图象有四个公共点，，，，求的值. 【答案】（1） （2）（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用，即可求解； （2）（Ⅰ）设对称中心坐标为，根据题意得到为奇函数，得到，解得答案； （Ⅱ）首先通过平移变化得到的图象的对称中心也为，从而确定函数与图象个公共点也关于对称. 【小问1详解】 由， 则， 又，则. 【小问2详解】 （Ⅰ）设对称中心坐标为，由题意可知，为奇函数， 对任意恒成立， 即， 所以恒成立， 则，解得. 故函数图象的对称中心为. （Ⅱ）由， 又的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的图象， 则的图象的对称中心也为. 则函数与图象个公共点也关于对称，所以. 【点睛】关键点点睛：函数的图象关于点对称，等价于，也等价于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $