第15章轴对称图形和单元三角形 单元模拟测试卷2024-2025学年沪科版八年级数学上册

沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形和单元三角形 单元模拟测试卷 一、单选题(共10题；共40分) 1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列说法正确的有（　　）①角的大小与所画边的长短无关；②两点之间线段最短；③如果，那么是的平分线；④连接两点的线段叫做这两点之间的距离；⑤点在线段上，若，则点是线段的中点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（4分）点P在的角平分线上，点P到边的距离等于12，点Q是边上的任意一点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）如图，用尺规作图作的平分线，第一步是以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；第二步是分别以E，F为圆心，以大于长为半径画弧，两圆弧在内部交于D点，作射线，那么为所作，则根据作图说明的依据是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图，已知在 中， ， 的垂直平分线 交 于点E， 的垂直平分线正好经过点B，与 相交于点F，则 的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．35° 6．（4分）如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．（4分）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 D和E ；②作直线，分别交线段和于点 F 和G．连接．若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 8．（4分）如图，把一张长方形纸片 沿 折叠， ，则 （　　） A． B． C． D． 9．（4分）如图，和都是等腰三角形，且，，是的中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，的最小值为（　　） A． B． C． D．2 10．（4分）如图，△ABD和△AEC都是等边三角形，连接CD、BE相交于点M，连接BC、AM． ①△ABE≌△ADC； ②AE∥BC； ③∠BMC＝120°； ④AM平分∠DME． 其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(共4题；共20分) 11．（5分）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为　 　度． 12．（5分）等腰三角形的一个内角是，则它底角的度数是　 　． 13．（5分）如图，在中，，，分别以、两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于、两点，直线交于点，若，则的长度为_________________． 14．（5分）如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为　 　． 三、解答题(共6题；共52分) 15．（8分）如图①，点P、Q分别是边长为的等边边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，设运动时间为． （1）（2分）当______s时，是等边三角形； （2）（2分）连接，交于点M，则在P、Q运动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出它的度数； （3）（2分）求t为何值时，是直角三角形； （4）（2分）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上向前运动，直线交于点M，请直接写出的度数． 16．（8分）如图，已知，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于点H，D，E分别在CA，BA的延长线上，DBAH，∠D＝∠E． （1）（4分）求证：DBEC； （2）（4分）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大12°，求∠D的度数． 17．（8分）如图，在中，平分，交于点，，，求的度数． 18．（8分）已知是直线上的一点，是直角，平分． （1）（4分）如图1，与在直线的同侧． ①若∠，则的度数为______________； ②若，求的度数． （2）（4分）如图2，与在直线的异侧，直接写出和之间的数量关系，不必说明理由． 19．（10分）在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F． （1）（5分）如图①，连接AE， ①AE与AC的数量关系是 ； ②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小； （2）（5分）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明． 20．（10分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上. （1）（5分）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'； （2）（5分）在直线 l上找一点Q，使得 BQ = AQ. 四、综合题(共3题；共38分) 21．（12分）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）（4分）求证：AB∥CD； （2）（4分）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）（4分）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 22．（12分）如图，E，F分别是等边△ABC边AB，AC上的点，且AE＝CF，CE，BF交于点P． （1）（6分）证明：CE＝BF； （2）（6分）求∠BPC的度数． 23．（14分）如图1，已知直线与轴、轴分别交于、两点，以为直角顶点在第二象限作等腰． （1）（4分）求点的坐标，并求出直线的关系式； （2）（4分）如图2，直线交轴于，在直线上取一点，连接，若，求证：； （3）（6分）如图3，在（1）的条件下，直线交轴于，是直线上一点，在线段上是否存在一点，使直线平分的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项符合题意； B、图形是轴对称图形，此选项不符合题意； C、图形是轴对称图形，此选项不符合题意； D、图形是轴对称图形，此选项不符合题意． 故答案为：A． 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形“并结合图形即可判断求解. 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，连接BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∵DE⊥AB， ∴∠BED=∠AED=90°-∠A， ∵BF是CE的垂直平分线， ∴BC=BE， ∴∠BEF=∠C， ∵∠AED+∠BED+∠BEF=180°， ∴2(90°-∠A)+∠C=180°， ∴∠C=2∠A， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠A+∠C+∠ABC=180°， ∴∠A+∠C+∠C=∠A+2∠C=180°， ∴∠A+2×2∠A=180°， ∴∠A=36°， 故答案为：B. 【分析】先利用垂直平分线的性质和平角的意义得出∠C=2∠A，再利用等腰三角形ABC的内角和定理建立方程即可得出结论. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：连接，， 由作图得：是的垂直平分线， ， ， ，为的中点， ， 的面积为，， ， 故选：B． 【分析】根据垂直平分线性质及三角形面积即可求出答案。 7．【答案】C 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠1=55°， 由翻折性质得∠DEF=∠GEF=55°， ∴∠2=180°-55°-55°=70°. 故答案为：B. 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质得出∠DEF=∠GEF=55°，再利用平角的定义求出∠2=70°，即可得出答案. 9．【答案】D 10．【答案】C 【解析】【解答】解：设AB交CD于点G，如图： ∵△ABD和△AEC都是等边三角形， ∴ ∴ 在和中， ∴ 故③正确， 过点A作AF⊥DC，AN⊥BE，如图： ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴AM平分∠DME 故④正确， 根据题意无法证明则②错误， 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故答案为：C. 【分析】根据等边三角形的性质得到即可得到进而利用"SAS"证明，即可判断①；过点A作AF⊥DC，AN⊥BE，根据垂直的定义和全等的性质得到利用"AAS"即可证明，得到进而根据角平分线的性质即可判断④ 11．【答案】55 【解析】【解答】解：由题意得AD为∠BAC的角平分线， ∴， 故答案为：55 【分析】根据题意即可得到AD为∠BAC的角平分线，进而根据角平分线的性质即可求解。 12．【答案】55°或70° 【解析】【解答】解：当底角为70°时； 当顶角为70°时，它的底角为（180°-70°）÷2=55°， 故答案为：55°或70°. 【分析】分情况讨论：当底角为70°时；当顶角为70°时，利用三角形的内角和定理求出底角的度数. 13．【答案】18cm 14．【答案】2 15．【答案】（1）2 （2）； （3）当t为或时，为直角三角形； （4）． 16．【答案】（1）证明：∵DB∥AH， ∴∠D＝∠CAH， ∵AH平分∠BAC， ∴∠BAH＝∠CAH， ∵∠D＝∠E， ∴∠BAH＝∠E， ∴DB∥EC； （2）解：设∠ABC＝x，则∠ABD＝2x， 则∠BAH＝2x，则∠DAB＝180°－4x， 则∠AHC＝168°－4x， 依题意有168°－4x＝3x， 解得x＝24°， 则∠D＝180°－2x－（180°－4x）＝2x＝48°． 【解析】【分析】本题考查平行线的判定和角平分的性质及角度计算。（1）根据 DB∥AH和AH平分∠BAC及∠D＝∠E可得DB∥EC；（2） 设∠ABC＝x，根据∠ABD＝2∠ABC，得∠ABD＝∠BAH＝2x，根据AH平分∠BAC得∠BAC=4x，则∠DAB＝180°－4x，根据∠DAB比∠AHC大12°得∠AHC＝168°－4x，可得∠D的度数。 17．【答案】解：∵，， ∴， 平分， ， 又∵， ∴ ． 【解析】【分析】利用三角形内角和求出∠DBC=35°，由角平分线的性质求出 ∠ABD=35°，由平行线的性质可得∠BED=110°。 18．【答案】（1）①，②； （2）． 19．【答案】（1）解：①∵点B关于射线AD的对称点为E， ∴AE＝AB， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC， ∴AE＝AC． 故答案为：AE＝AC． ②解：∵∠BAF＝∠EAF＝α，△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝60°-2α，AE＝AC， ∴∠ACE＝ [180°-（60°-2α）]＝60°+α， ∴∠BCF＝∠ACE-∠ACB＝60°+α-60°＝α． （2）解：结论：AF＝EF+CF． 证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF． ∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF， ∴∠ABC＝∠AFC＝60°， ∴△FCG是等边三角形， ∴GF＝FC， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°， ∴∠ACG＝∠BCF＝α， 在△ACG和△BCF中， ， ∴△ACG≌△BCF（SAS）． ∴AG＝BF， ∵点B关于射线AD的对称点为E， ∴BF＝EF， ∴AF-AG＝GF， ∴AF＝EF+CF． 【解析】【分析】（1）①根据轴对称性质可得AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AB=AC，进而得到AE=AC； ②首先根据轴对称性质得出∠BAF＝∠EAF＝α，根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠BCA=60°，从而得出∠EAC=60°-2α，由①知AE=AC，从而得出∠ACE=∠AEC=60°+α，故而得出∠BCF＝∠ACE-∠AC＝α； （2）如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF，由（1）②知∠BAF＝∠BCF＝α，故而得出∠ABC＝∠AFC＝60°，从而可判定△CFG是等边三角形，故而GF＝FC，然后再根据SAS证得△ACG≌△BCF，由全等三角形性质得出AG=BF，又根据对称性可知EF=BF，故而AG=EF，即可得出AF=GF+AG=EF+CF. 20．【答案】（1）解：如图①，A'B'C’即为所求 （2）解：如图②，点Q即为所求 【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可； （2）作出线段AB的垂直平分线，与直线l的交点即是点Q. 21．【答案】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F， ∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB＝∠CED， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠A＝∠D， ∴∠DFB＝∠D， ∴AB∥CD； （2）解：如图2，作EM∥CD，HN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥HN∥CD， ∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABG＝ABE， ∵AB∥HN， ∴∠2＝∠ABG， ∵CF∥HN， ∴∠2+∠β＝∠3， ∴ABE+∠β＝∠3， ∵DH平分∠EDF， ∴∠3＝EDF， ∴ABE+∠β＝EDF， ∴∠β＝（∠EDF-∠ABE）， ∴∠EDF-∠ABE＝2∠β， 设∠DEB＝∠α， ∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°-∠EDF+∠ABE＝180°-（∠EDF-∠ABE）＝180°-2∠β， ∵∠DEB比∠DHB大60°， ∴∠α-60°＝∠β， ∴∠α＝180°-2（∠α-60°）， 解得∠α＝100°， ∴∠DEB的度数为100°； （3）解：∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G， ∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE， ∴∠EBM＝∠MBK＝EBK， ∠CDN＝∠EDN＝CDE， ∵ES∥CD，AB∥CD， ∴ES∥AB∥CD， ∴∠DES＝∠CDE， ∠BES＝∠ABE＝180°-∠EBK， ∠G＝∠PBK， 由（2）可知：∠DEB＝100°， ∴∠CDE+180°-∠EBK＝100°， ∴∠EBK-∠CDE＝80°， ∵BP∥DN， ∴∠CDN＝∠G， ∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE， ∴∠PBM＝∠MBK-∠PBK ＝∠EBK-CDE ＝（∠EBK-∠CDE） ＝80° ＝40°． 【解析】【分析】（1） 延长DE交AB于点F， 根据内错角相等，两直线平行性质可判定 AC∥DF ，根据直线平行性质即可求出答案； （2） 作EM∥CD，HN∥CD， 根据直线平行性质可得：∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，根据角平分线性质进行角之间的转换得出：∠EDF-∠ABE＝2∠β，设∠DEB＝∠α，进行角之间的转换即可求出答案； （3）过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G， 根据角平分线性质，直线平行性质可得∠G＝∠PBK，由（2）可知∠CDE+180°-∠EBK＝100°，根据BP∥DN，∠PBK＝∠G＝∠CDN＝∠CDE，可得：∠PBM＝∠MBK-∠PBK即可求出答案。 22．【答案】（1）证明∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°， ∴在△BCE与△ABF中， ， ∴△BCE≌△ABF（SAS）， ∴CE＝BF （2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF， ∴∠BCE＝∠ABF， ∴∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°， ∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°． 即：∠BPC＝120° 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°，根据SAS可证△BCE≌△ABF，利用全等三角形的对应边相等即证结论； （2）利用全等三角形的对应角相等，可得∠BCE＝∠ABF，从而可得∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，根据三角形的内角和可得∠BPC=180°- (∠PBC+∠PCB)，从而求出结论. 23．【答案】（1）解：过点作轴，垂足为，如下图， 对于直线， 令，可得，即， 令，可得，即， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （2）证明：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，，即， ∴， ∵点在直线上，且， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如下图， 设直线解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， ∵点是直线上一点， ∴将点代入直线解析式， 可得， ∴， 将代入直线的解析式， 可得，解得， ∴， ∴， ∴， 设点坐标为， 则有， 解得， ∴， ∴， ∴在线段上是否存在一点，使直线平分的面积，此时点的坐标为． 【解析】【分析】（1） 过点作轴，垂足为 ，先求出A、B的坐标，根据AAS证明△CBH≌△BAO，从而求出OH、CH的长，可得点C坐标，利用待定系数法求出直线AC解析式即可； （2） 过点作轴于点，过点作轴于点， 根据AAS先证明△CAG≌△ADF，再证△OBE≌△FDE，可得BE=DE； （3） 先求直线解析式为， 从而求出，再求出M坐标，即得BM值，利用三角形面积公式求出，设点坐标为，利用△BPN的面积求出BN的长，从而求出ON的长，即得N的坐标. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$