2024-2025学年人教版九年级上册数学期中考试试卷

1 人教版九年级上册数学期中考试试题 一、单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．方程 2x x 的解是（ ） A． 1x  B． 0x  C． 1 1x  ， 2 0x  D． 1 1x   ， 2 0x  3．对于二次函数 y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是 x=-1 C．顶点坐标是(1，2) D．与 x轴有两个交点 4．已知点 A（2，﹣2），如果点 A关于 x轴的对称点是 B，点 B关于原点的对称点是 C， 那么 C点的坐标是（ ） A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2） 5．已知 x＝2是一元二次方程 x2+mx+2＝0的一个解，则 m的值是（ ） A．﹣3 B．3 C．0 D．0或 3 6．若关于 x的一元二次方程 2x 2x m 0   没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A． 1m  B． 1m   C． 1m > D． 1m   7．在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数 y=ax2+c的图象大致为（ ） A． B． C． D． 8．对于任意实数 x，多项式 x2-5x+8的值是一个（ ） A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定 9．已知关于 x的一元二次方程 x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根 都是整数，则符合条件的所有正整数 m的和为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 10．若 t是一元二次方程  2 0 0ax bx c a    的根，则判别式 2 4b ac  和完全平方式 2(2 )M at b  的关系是（ ） 2 A． M B．  M C． M D．大小关系不能确定 二、填空题 11．如果关于 x的方程（m﹣3） 2 7mx  ﹣x+3=0是一元二次方程，那么 m的值为_____ 12．把抛物线 y＝2x2向左平移 3个单位，再向下平移 2个单位，所得抛物线的解析式为_____． 13．如图，在 ABC 中， 20BAC  ∠ ，将 ABC 绕点 A按顺时针方向旋转 50°得到 AB C △ ， 则 C AB  的度数为______． 14．若 x=1是方程 2ax2+bx=3的根，当 x=2时，函数 y=ax2+bx的函数值为_____． 15．已知二次函数 y＝ax2+4ax+c的图象与 x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与 x轴的另一 个交点的坐标是_____． 16．二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②3a+c＜0；③b2﹣4ac ＞0；④16a+4b+c＞0．其中正确结论的个数是：___． 17．二次函数 y=x2－2x－3与 x轴交点交于 A、B两点，交 y轴于点 C，则△OAC的面积 为____ 三、解答题 18．解方程： 2(2 3) 5(2 3)x x   19．抛物线 2y ax 与直线 2 3y x  交于点 ( )1,A b ． （1）求 a，b的值； 3 （2）求抛物线 2y ax 与直线 2y   的两个交点 B，C的坐标（点 B在点C右侧）． 20．如图所示，在宽为 16m，长为 20m的矩形耕地上，修筑同样宽的两条道路（互相垂直）， 把耕地分成大小不等的四块试验田，要使试验田的面积为 285m2，道路应为多宽？ 21．如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c的图象过 A（2，0），D（﹣1，0）和 C（4，5）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）在同一坐标系中画出直线 y＝x+1，并写出当 x在什么范围内时，一次函数的值大于二 次函数的值． 22．已知：关于 x的方程 x2﹣（k＋2）x＋2k＝0 （1）求证：无论 k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 ABC的一边长 a＝1，另两边长 b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长． 23．如图，A， B，C，D为矩形的四个顶点， 16cmAB  ， 6cmAD  ，动点 P，Q分别 4 从点A，C同时出发，点 P以3cm / s的速度向点 B移动，点Q以2cm / s的速度向点D移动， 当点 P运动到点 B停止时，点Q也随之停止运动，问 P，Q两点从出发经过几秒时，点 P， Q间的距离是10cm ? 24．如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点 F，点 A为直线 DF上一动点，以 B为旋转中 心，把 BA顺时针方向旋转 60°至 BE，连接 EC． (1)当点 A在线段 DF的延长线上时， ①求证：DA=CE； ②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由； (2)当∠DEC=45°时，连接 AC，求∠BAC的度数． 25．已知一元二次方程 x2-4x+3=0的两根是 m，n且 m<n．如图，若抛物线 y=-x2+bx +c的图像经过点 A(m，0)、B(0，n)． (1)求抛物线的解析式． (2)若(1)中的抛物线与 x轴的另一个交点为 C．根据图像回答，当 x取何值时，抛物线的图 像在直线 BC的上方？ (3)点 P在线段 OC上，作 PE⊥x轴与抛物线交于点 E，若直线 BC将△CPE的面积分成相等 的两部分，求点 P的坐标． 5 参考答案 1．C 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．D 8．B 9．B 10．A 11．-3 【分析】 根据一元二次方程的定义解答即可. 【详解】 ∵关于 x的方程（m﹣3） 2 7mx  ﹣x+3=0是一元二次方程， ∴ 2 7=2m  ，m-3≠0， 6 解得 m=-3. 故答案为-3. 12．y＝2（x+3）2﹣2 【分析】 根据二次函数图象与几何变换的方法即可求解． 【详解】 解：y=2x2向左平移 3个单位，再向下平移 2个单位，所得抛物线的解析式为 y=2（x+3）2-2； 故答案是：y=2（x+3）2-2． 13．70° 【解析】 根据旋转可得 =50CAC ，再根据角之间的和差关系可得答案． 【详解】 解：∵将 ABC 绕点 A按顺时针方向旋转 50°得到 A B C  V ， ∴ =50CAC ， ∵ =20BCA ， ∴ + =50 +20 =70C AB CAC BCA       ， 故答案为；70°． 14．6 【分析】 由 x=1是方程 2ax2+bx=3的根，得到 2a+b=3，由 x=2时，得到函数 y=ax2+bx=4a+2b=2（2a+b）， 代入即可． 【详解】 ∵x=1是方程 2ax2+bx=3 的根， ∴2a+b=3， ∴当 x=2时，函数 y=ax2+bx=4a+2b=2（2a+b）=6， 故答案为 6． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握图象上的点的坐标适合解析式． 15．（﹣3，0） 【解析】 7 【分析】 先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称性求出与 x轴的另一个交点坐标，x轴的两个交点到 对称轴距离相等． 【详解】 解：二次函数 y=ax2+4ax+c的对称轴为：x= 4 2 a a  = 2 ∵二次函数 y=ax2+4ax+c的图象与 x轴的一个交点为（-1，0）， ∴它与 x轴的另一个交点坐标是（-3，0）． 【点睛】 本题主要考查抛物线与 x轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性,根据对称性找 到交点坐标． 16．3 【解析】 【分析】 根据二次函数图像的性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点以及特殊点的值），确定对应 代数值的符号即可． 【详解】 解：图像开口方向向上，所以 0a  ， 对称轴为 1 2 b a   ， 2 0b a   图像与 y轴交点在 x轴下方，∴ 0c  ∴ 0abc  ，①错误； 由图像可得，当 1x   时， 0y  ，即 0a b c   ，∴3 0a c  ，②正确； 图像与 x轴有两个交点，∴ 2 4 0b ac  ，③正确； 由图像可知，当 2x   时， 0y  ，又因为 ( 2, )y 关于 1x  对称的点为 (4, )y ∴当 4x  时， 0y  ，即16 4 0a b c   ，④正确 所以正确的个数为 3 故答案为 3 【点睛】 此题考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是根据函数图像确定出对应代数值的 符号． 8 17． 3 2 或 9 2 【解析】 【详解】 ∵在 2 2 3y x x   中，当 0x  时， 3y   ， ∴点 C的坐标为（0，-3）. ∵在 2 2 3y x x   中，当 0y  时，可得 2 2 3 0x x   ，解得 1 23 1x x  ， ， ∴点 A、B中，一个点的坐标为（3，0），另一个点的坐标为（-1，0）. 当点 A的坐标为（3，0）时，S△OAC= 1 93 3 2 2    ； 当点 A的坐标为（-1，0）时，S△OAC= 1 33 1 2 2    ； ∴△OAC的面积为 9 2 或 3 2 . 18． 1 3 2 x  或 2 4x  【解析】 【分析】 把原方程式移项可得 2(2 3) 5(2 3) 0x x    ，利用提公因式法求解即可． 【详解】 把原方程式变形为： 2(2 3) 5(2 3) 0x x    ， ∴ (2 3)(2 3 5) 0x x- - - = ， ∴ (2 3)(2 8) 0x x- - = 解得： 1 3 2 x  或 2 4x  ． 【点睛】 本题考查了提公因式法求解一元二次方程，掌握提公因式法解一元二次方程是解题的关键． 19．（1） 1a b   ；（2）点C坐标 ( 2, 2)  ，点 B坐标 ( 2, 2) ． 【解析】 【分析】 （1）将点A代入 2 3y x  求出b，再把点A代入抛物线 2y ax 求出 a即可． （2）解方程组即可求出交点坐标． 9 【详解】 解：（1）点 ( )1,A b 在直线 2 3y x  上， 1b   ， 点A坐标 (1, 1) ， 把点 (1, 1)A  代入 2y ax 得到 1a   ， 1a b    ． （2）由 2 2 y x y       解得 2 2 x y      或 2 2 x y       ， 点C坐标 ( 2 ， 2) ，点 B坐标 ( 2， 2) ． 【点睛】 本题考查二次函数性质，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用方程组求函数图象交 点坐标． 20．1m 【解析】 【分析】 设道路宽为 xm，根据试验田的面积=试验田的长×试验田的宽列出方程进行求解即可． 【详解】 设道路宽为 xm，则根据题意，得 （20－x）(16－x)=285， 解得：x1=35，x2=1， ∵16-x>0，即 x<16， ∴x=35舍去， ∴x=1， 答：道路宽为 1m． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 21．（1）y＝ 12 x 2﹣ 1 2 x﹣1；（2）图详见解析，﹣1＜x＜4． 【解析】 【分析】 10 （1）根据二次函数 y=ax2+bx+c的图象过 A（2，0），B（0，-1）和 C（4，5）三点，代入 得出关于 a，b，c的三元一次方程组，求得 a，b，c，从而得出二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与 x轴的另一个交点为 D，令 y=0，解一元二次方程，求得 x的值， 从而得出与 x轴的另一个交点坐标；画出图象，再根据图象直接得出答案． 【详解】 解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx+c的图象过 A（2，0），B（0，﹣1）和 C（4，5）三点， ∴ 4 2 0 1 16 4 5 a b c c a b c        ＝ ＝ ， ＝ ∴a＝， 1 2 b＝﹣ 1 2 ，c＝﹣1， ∴二次函数的解析式为 y＝ 1 2 x2﹣ 1 2 x﹣1； （2）当 y＝0时，得 1 2 x2﹣ 1 2 x﹣1＝0； 解得 x1＝2，x2＝﹣1， ∴点 D坐标为（﹣1，0）； ∴图象如图， ∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4． 【点睛】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与 x轴的交点问 题，是中档题，要熟练掌握． 22．（1）见解析；（2）5 【解析】 11 【分析】 （1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0，可得方程总有实数 根； （2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出 b、c的长，并根据三角形三边关系检验，综合 后求出△ABC的周长． 【详解】 （1）证明：由题意知：Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2， ∵（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当 b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则 k＝2， 方程化为 x2﹣4x+4＝0，解得 x1＝x2＝2， ∴△ABC的周长＝2+2+1＝5； 当 b＝a＝1或 c＝a＝1时， 把 x＝1代入方程得 1﹣（k+2）+2k＝0，解得 k＝1， 方程化为 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝1，x2＝2， 不符合三角形三边的关系，此情况舍去， ∴△ABC的周长为 5． 【点睛】 本题考查了根的判别式△＝b2－4ac：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝ 0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程没有实数根．也考查了等腰三角形的 性质以及三角形三边的关系． 23．1.6或 4.8秒 【解析】 【分析】 作 PE⊥CD，垂足为 E，设运动时间为 t秒，用 t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】 解：过点 P做 PE⊥CD交 CD于 E． 12 QE=DQ-AP=16-5t， 在 Rt△PQE中，PE2+QE2=PQ2， 可得：（16-5t）2+62=102， 解得 t1=4.8，t2=1.6． 答：P、Q两点从出发开始 1.6s或 4.8s时，点 P和点 Q的距离是 10cm． 24．（1）①证明见解析②∠DEC+∠EDC=90°；（2）150°或 30° 【解析】 （1）①证明△BAD≌△BEC，即可证明. ②分别求出 BCD 和 BCE 的度数，即可求出∠DEC和∠EDC的数量关系. （2）分三种情况进行讨论. 【详解】 解：（1）①证明：∵把 BA顺时针方向旋转 60°至 BE， ∴BA BE ABE  ， 60°， 在等边△BCD中， DB BC  ， 60DBC   60DBA DBC FBA FBA     ， 60CBE FBA   ， DBA CBE  ， ∴△BAD≌△BEC， ∴DA=CE； ②判断：∠DEC+∠EDC=90°． DB DCQ ，DA BC ， 1 30 2 BDA BDC    ， ∵△BAD≌△BEC， ∴∠BCE=∠BDA=30°， 13 在等边△BCD中，∠BCD=60°， ∴∠DCE=∠BCE+∠BCD＝90°， ∴∠DEC+∠EDC=90°． （2）分三种情况考虑： ①当点 A在线段 DF的延长线上时（如图 1）， 由（1）可得， DCE 是直角三角形， 90DCE   ， 当 45DEC  时， 90 45EDC DEC    ， EDC DEC  ， CD CE  ， 由（1）得 DA=CE， ∴CD=DA， 在等边 BDC 中， BD CD ， BD DA CD   ， 60BDC  ， DA BC ， 1 30 2 BDA CDA BDC      ， 在 BDAV 中，DB DA ， 180 - 75 2 BDABAD   ， 在 DCA△ 中，DA DC ， 180 - 75 2 ADCDAC   ， 75 75 150BAC BAD DAC         ． ②当点 A在线段 DF上时（如图 2）， 14 以 B为旋转中心，把 BA顺时针旋转60至 BE. 60BA BE ABE    ， ， 在等边 BDC 中， 60BD BC DBC   ， ， DBC ABE  ， - -DBC ABC ABE ABC    ， DBA EBC   ， DBA ≌ CBE ， DA CE  ， 在Rt DFC 90DFC  ， ， DF ＜DC， ∵DA＜DF，DA=CE， ∴CE＜DC， 由②可知 DCE 为直角三角形， ∴∠DEC≠45°． ③当点 A在线段 FD的延长线上时（如图 3）， 同第②种情况可得 DBA ≌ CBE ， DA CE ADB ECB   ， ， 在等边 BDC 中， 60BDC BCD    ， 15 DA BC ， 1 30 2 BDF CDF BDC      ， 180 150ADB BDF    ， 150ECB ADB    ， 90DCE ECB BCD     ， 当 45DEC  时， 90 45EDC DEC    ， EDC DEC  ， CD CE  ， ∴AD=CD=BD， ∵ 150ADB ADC    ， 180 - 15 2 ADBBAD   ， 180 - 15 2 CDACAD     ， 30BAC BAD CAD     ， 综上所述， BAC 的度数是150或30 . 25．(1)抛物线的解析式为 y=-x2-2x+3；(2)当-3<x<0时，抛物线的图像在直线 BC的上方； (3) P点的坐标是(-1，0) 【解析】 【分析】 (1)用待定系数法求解；(2)作直线 BC，求交点 C坐标，可得；(3)设直线 BC交 PE 于 F，P 点坐标为(a，0)，则 E点坐标为(a，-a2-2a+3)，再求得直线 BC的解析式为 y=x+3，点 F在直 线 BC上，所以点 F的坐标满足直线 BC的解析式，即 2 2 3 2 a a   =a+3． 【详解】 (1)∵x2-4x+3=0的两个根为 x1=1，x2=3 ∴A点的坐标为(1，0)，B点的坐标为(0，3) 又∵抛物线 y=-x2+bx+c的图像经过点 A(1，0)、B(0，3)两点 1 0 2 3 3 b c b c c            得 ∴抛物线的解析式为 y=-x2-2x+3； (2)作直线 BC 16 由(1)得，y=-x2-2x+3 ∵抛物线 y=-x2-2x+3与 x轴的另一个交点为 C令-x2-2x+3=0 解得：x1=1，x2=-3 ∴C点的坐标为(-3，0) 由图可知：当-3<x<0时，抛物线的图像在直线 BC的上方． (3)设直线 BC交 PE于 F，P点坐标为(a，0)，则 E点坐标为(a，-a2-2a+3)， ∵直线 BC将△CPE的面积分成相等的两部分． ∴F是线段 PE的中点． 即 F点的坐标是(a， 2 2 3 2 a a   )， ∵直线 BC过点 B(0，3)和 C(-3，0)， 易得直线 BC的解析式为 y=x+3， ∵点 F在直线 BC上，所以点 F的坐标满足直线 BC的解析式， 即 2 2 3 2 a a   =a+3， 解得 a1=-1，a2=-3(此时 P点与点 C重合，舍去)， ∴P点的坐标是(-1，0) ． 【点睛】 二次函数与一次函数应用．