第5章三角函数章末检测卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第5章三角函数章末检测卷-2024-2025学年高一数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（   ） A． B． C． D． 2．的值是（    ） A． B． C．1 D． 3．下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 8．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 二、多选题 9．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，其中，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 11．函数（）的图象的一个对称中心为 ，则下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．函数在上单调递减 C．函数的图象向右平移个单位可得到的图象 D．函数在上的最大值为 三、填空题 12．函数的最小值为1，则 ． 13．已知函数在区间恰有2025个零点，则的一个可能取值是 ． 14．已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，则的最大值为 ． 四、解答题 15．设函数图象的一条对称轴是直线. (1)求的值； (2)求函数的单调增区间. 16．已知（为常数）. (1)求的递增区间； (2)求的最大值及取得最大值时的集合； (3)若时，的最大值为4，求的值. 17．如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 18．已知函数的部分图象如图所示，图象与x轴正半轴的第一个交点（从左至右）为，图象与y轴的交点为．    (1)求的解析式及对称中心； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的单调递减区间． 19．对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若与具有关系，求的取值范围； (3)已知，为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有. 判断与是否具有关系，并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C C B B B BC BD 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】用半径表示出面积，结合函数知识得结论. 【详解】设扇形半径为，则扇形面积为 ， 所以时，取得最大值. 故选：C 2．A 【分析】由，结合两角差的正弦展开化简即可. 【详解】原式. 故选：A 3．A 【分析】先根据诱导公式得到和，再结合正弦函数的单调性可得到从而可确定答案． 【详解】因为，， 由正弦函数的单调性得，即. 故选：A 4．C 【分析】令，解得或，结合正、余弦函数即可得结果. 【详解】由题意可得：， 令，解得或， 又因为时，由正、余弦函数可知、分别有两解． 综上所述：函数在上的零点个数为 故选：C. 5．C 【分析】利用正弦函数图象变换规律，即可得出结论. 【详解】要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度; 故选：C 6．B 【分析】用二倍角公式、商数关系结合已知求得，再由两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以且， 即，且，解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 7．B 【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】将的图象向左平移个单位得, ， 所以， 对于A，的最小正周期为，所以A错误， 对于B，因为， 所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以不是的零点，所以C错误， 对于D，由，得，得， 因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误. 故选：B 8．B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是准确求出函数解析式，D选项容易理解为函数值相同，实际只需函数值的绝对值相同即可. 9．BC 【分析】根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；然后利用对称方法即可求解. 【详解】第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下： ，由反射的性质，得关于对称，关于对称， 即为的三等分点，因此， C正确； 第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下： ，由反射的性质，得关于对称，关于对称， 即为的三等分点，因此，B正确. 故选：BC 10．BD 【分析】A.利用平方关系和两角和的余弦公式求解判断；B.利用二倍角的余弦公式求解判断；C.利用平方关系和二倍角的正弦公式求解判断；D. 利用两角和与差的正弦公式求解判断. 【详解】A.由平方关系和两角和的余弦公式得： ，故错误； B. ，故正确； C.若，则，故错误； D. ， ，故正确； 故选：BD 11．AC 【分析】根据两角和的余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得，再根据三角函数性质分别判断各选项. 【详解】由， 由是函数图象的一个对称中心， 即，， 解得，， 又，所以， 所以， 对于A选项：令，，解得，，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故A选项正确； 对于B选项：令，，解得，， 即函数的单调递减区间为，，当时，函数在单调递减，所以函数在上单调递增，B选项错误； 对于C选项：函数的图象向右平移个单位可得，C选项正确； 对于D选项：当时，，所以函数，即最大值为，D选项错误； 故选：AC. 12． 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求解即可. 【详解】显然，当时，，，解得； 当时，，，解得， 所以. 故答案为： 13．2024．（答案不唯一） 【分析】由题意可得的范围，进而求出的范围，求出其中的一个可得值． 【详解】令， 可得，要使函数在区间恰有2025个零点，即有2025个根， 因为,，，所以,， 则，可得． 故答案为：2024．（答案不唯一） 14． 【分析】设,用表示出的长度,进而用三角函数表示出,结合辅助角公式即可求得最大值. 【详解】设，扇形的半径为1， 则，， ，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时, 取得最大值. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用三角函数表示线段长，利用三角恒等变换求得最值是常用方法. 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦函数的对称轴结合题意解出，再求出即可； （2）由正弦函数的递增区间解不等式即可； 【详解】（1）由题意可得正弦函数的对称轴方程为， 因为是函数图象的一条对称轴， 所以， 又，所以， （2）因为， 所以， 解得， 函数的单调增区间为. 16．(1) (2)，有最大值为 (3) 【分析】（1）根据求解即可. （2）根据时取得最大值，再解方程即可. （3）根据题意得到，即可得到，即可得到答案. 【详解】（1），解得. 所以的递增区间. （2）由正弦函数性质知，当时，即，取得最大值为. （3）因为，所以， 所以，即，解得. 17．(1)米 (2)元 【分析】（1）利用弧长计算公式计算即可； （2）设，米，利用扇形环面的展台周长，表示出与的关系，代入面积公式求出扇形环面展台的面积，最后计算可得. 【详解】（1）弧的长度，弧的长度， 所以扇形环面展台周长为：米； （2）设，米， 则弧的长度，弧的长度， 因为该扇形环面的周长为米，所以，即， 整理得， 则该扇形环面展台的面积：平方米， 所以布置该扇形环面展台的总费用为：元. 18．(1)；，. (2) 【分析】（1）先求出函数的解析式，再求函数的对称中心； （2）先求出函数的解析式，再求函数在区间上的单调递减区间. 【详解】（1）∵过，∴，由，∴，∴， 又过，∴，∴ ∴，∵，∴ ∴，∴， 令， ∴的对称中心为，. （2）函数的图象上各点的的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到； 再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，所以， ， ∴， ∵，∴， ∴在上单调递减区间为. 19．(1)与具有关系，理由见解析 (2)； (3)不具有关系，理由见解析 【分析】（1）根据三角函数的性质可得，结合新定义即可下结论； （2）根据三角函数与二次函数的性质可得、，则，结合新定义即可求解； （3）根据函数的对称性和周期性求出、、的值域. 当、时，有；当、时，有，进而，结合新定义即可下结论. 【详解】（1）与具有关系，理由如下： 当时，，， 当，，当时，， 此时， 则与具有关系； （2）， ， 因为，则当时，，则， 所以， 则； （3）不具有关系，理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1； 又为定义在上的奇函数， 故在上，当且仅当时，取得最小值-1， 由对任意，有， 所以关于点对称， 又， 所以的周期为，故的值域为，，， 当时，，； 时，，， 若，则，， 此时有； 当时，，； 时，，， 若，则，时， 有； 由于， 所以， 故不存在，，使得， 所以与不具有关系. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的图象与性质. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$