精品解析：江苏省扬州市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

扬州市第一中学2024－2025学年度第一学期 高二数学期中考试试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知直线，则该直线倾斜角的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆,圆,则两圆的位置关系为 A. 相离 B. 相外切 C. 相交 D. 相内切 4. 若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设、为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A、B两点，则△的周长是（ ）． A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 6. 下列说法正确的是（ ） A. 方程表示过点且斜率为k的直线 B. 直线与y轴的交点为，其中截距 C. 在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为 D. 方程表示过任意不同两点，的直线 7. 设双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点，若点关于的对称点恰好在双曲线右支上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线C为椭圆 B. 若，则曲线C为双曲线 C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，，则直线不通过第二象限 B. 直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则此直线方程为 C. 无论取任何实数，直线必过定点 D. 的一条内角平分线的方程为，，，则顶点的坐标为 11. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 三、填空题：（每小题5分，共15分） 12. 已知，方程表示圆，则______． 13. 双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______ 14. 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若，求之间的距离． 16. 已知圆C经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）直线l经过，并且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 17. 设椭圆经过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求的值. 18. 已知圆过三点，直线． （1）求圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程； （3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 19. 已知抛物线经过点. （1）求抛物线E的方程； （2）设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市第一中学2024－2025学年度第一学期 高二数学期中考试试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知直线，则该直线倾斜角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系直接转化即可. 【详解】已知直线斜率，令直线倾斜角为， 则，解得， 故选：B 2. 已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出线段的中点，再由，可得线段的垂直平分线的斜率为，利用点斜式即可求解. 【详解】由点，，则线段的中点为， 因为，所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 整理可得. 故选：B 3. 已知圆,圆,则两圆的位置关系为 A. 相离 B. 相外切 C. 相交 D. 相内切 【答案】A 【解析】 【分析】利用半径之和与圆心距的关系可得正确的选项. 【详解】圆,即，圆心为(0,3)，半径为1， 圆,即，圆心为(4,0)，半径为3. . 所以两圆相离， 故选：A. 4. 若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将圆化为标准方程，再将点代入圆列不等式即可. 【详解】化为标准方程为： 把原点坐标代入圆的方程得: , 解得：, 故选：D. 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，属于基础题. 5. 设、为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A、B两点，则△的周长是（ ）． A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆的定义可知 ，， 则△的周长为， 故选：. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 方程表示过点且斜率为k的直线 B. 直线与y轴的交点为，其中截距 C. 在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为 D. 方程表示过任意不同两点，的直线 【答案】D 【解析】 【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形逐一核对，即可求解. 【详解】对于A中，由表示过点且斜率存在，且不含点的直线，所以A不正确； 对于B中，直线与y轴交于一点，其中截距不是距离，截距为点的坐标，其值可正可负可为0，所以B不正确； 对于C中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是，不能表示为，所以C不正确； 对于D中，方程为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点，的直线，所以D正确. 故选：D. 7. 设双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点，若点关于的对称点恰好在双曲线右支上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知结合双曲线的定义可推得，.然后根据，可推得.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率. 【详解】 设， 由已知可得，， 根据双曲线的定义有. 又，所以. 在中，由余弦定理可得，， 即， 整理可得， 等式两边同时除以可得，， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 8. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可分割成上下两部分来求，于是只需求的纵坐标，设出直线方程，联立抛物线，结合题干条件进行求解. 【详解】显然直线的斜率非零，可设，联立抛物线可得， 设，且不妨设在轴上方，即， 由题知，，又，即， 故，根据韦达定理，，解得， 于是. 故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线C为椭圆 B. 若，则曲线C为双曲线 C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断AB选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断C选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确； 对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确； 对于C选项，当时，椭圆长轴长， 当时，椭圆长轴长，C正确； 对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得， 双曲线的离心率为， 且双曲线的离心率，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，，则直线不通过第二象限 B. 直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则此直线方程为 C. 无论取任何实数，直线必过定点 D. 的一条内角平分线的方程为，，，则顶点的坐标为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用给定条件结合一次函数性质判断A，利用截距式方程结合分类讨论判断B， 对给定直线化简，令含参部分和其他部分同时为求解定点判断C， 利用角平分线性质得到两个角相等，再利用平面向量的夹角公式建立方程，求解参数判断D即可. 【详解】对于A，易得，直线方程可化为， 因为，，所以与符号相反，与符号相同， 则与符号相反，故直线的斜率，在y轴上的截距， 则直线不经过第二象限，故A正确； 对于B，设直线方程在轴上的截距为， 因为它在轴上的截距是在轴上的截距的倍， 所以它在轴上的截距是， 当时，设直线方程为， 将代入直线方程，得到，解得， 故直线方程为，化简得， 当时，则直线方程必过原点，设直线方程为， 将代入直线方程，得到，解得， 故直线方程为，化简得， 综上，此直线方程为或，故B错误， 对于C，因为， 所以， 故得， 即有，， 解得， 故原直线必过定点，故C正确， 对于D，因为的一条内角平分线的方程为， 且设顶点的坐标为，由题意得，， 因为是的一条内角平分线，所以， 而，， 而的方程为，故设， 因为，所以， 所以， 故得， 解得，故顶点的坐标为，故D错误. 故选：AC 11. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 三、填空题：（每小题5分，共15分） 12. 已知，方程表示圆，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件，列式求解即得. 【详解】依题意，解得或2， 当时，方程为，即表示圆，符合题意； 当时，方程为，即， 得，不表示圆，不符合题意， 综上，. 故答案为：. 13. 双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______ 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再由焦点到渐近线的距离为可得，即可得答案； 【详解】由题意得：， 双曲线的方程为， 故答案为：. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为，考查运算求解能力，属于基础题. 14. 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 【解析】 【分析】直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB； 当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA，然后根据已知条件求出直线PB与PA的斜率即可 【详解】解：∵直线l与线段AB有公共点， ∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB； 当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA． ∵， ∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 故答案为：(－∞，－1]∪[3，＋∞) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若，求之间的距离． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）由两线垂直的判定列方程求参数即可； （2）由两线平行的判定列方程求参数，注意验证是否存在重合情况，再应用平行线距离公式求距离. 【小问1详解】 由，则，即， 所以，可得或. 【小问2详解】 由，则，可得，故或， 当，则，，此时满足平行，且之间的距离为； 当，则，，此时两线重合，舍； 综上，时之间的距离为. 16. 已知圆C经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）直线l经过，并且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，设圆C的方程为，根据题意列出关于的方程组，解出即可； （2）将圆的方程化为标准形式，求出圆心到直线的距离为1，当直线l的斜率不存在时符合题意，当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为，列出关于的方程解出即可. 【详解】解：（1）设圆C的方程为 依题意得 解之得 ∴圆C的方程为 （2）圆可化为， 所以圆心到直线的距离为 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l被圆C截得的弦长为，符合题意 当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为，即 由题意得 解得 ∴直线的方程为 综上所述，直线l的方程为或 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求圆的方程，已知直线截圆所得的弦长求直线的方程，属于中档题. 17. 设椭圆经过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由经过点，得，由离心率为得=，再根据联立解方程组即可； （2）联立直线方程与椭圆方程消y，得，易知判别式，设，弦长公式及点到直线的距离公式可表示出的面积，令其为，即可解出值，验证是否满足． 【小问1详解】 解：因为椭圆经过点，其离心率， 所以，，解得，， 所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：由得： 由得： 设，， 则， 所以 又到的距离为， 所以， 整理得：，解得：，符合， 所以，. 18. 已知圆过三点，直线． （1）求圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程； （3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知； （2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程； （3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值. 【小问1详解】 设圆的方程为，代入， 则，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 设， 由对称关系可知，解得，所以， 又因为对称圆的半径不变， 所以的方程为； 【小问3详解】 因为， 由（2）可知关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 19. 已知抛物线经过点. （1）求抛物线E的方程； （2）设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值. （2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成，可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，，所以 ， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）如图： 设，将直线的方程代入得： ，所以， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $