精品解析：安徽省马鞍山市第二中学雏鹰班2024-2025学年九年级上学期第一次素养考核数学试卷

2024年马鞍山市第二中学初三雏鹰班素养考核 数学试题卷 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（　　） A. 2＜α＜3≤β B. α≤2且β≥3 C. α≤2＜β＜3 D. α＜2且β＞3 【答案】B 【解析】 【分析】当p＝0，易得α＝2，β＝3，当p≠0，对于（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0有两不等根，看作二次函数y＝（x﹣2）（x﹣3）与直线y＝p2有两个公共点，利用y＝（x﹣2）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0）得到α＜2，β＞3． 【详解】当p＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得α＝2，β＝3， 当p≠0，（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0，看作二次函数y＝（x﹣2）（x﹣3）与直线y＝p2有两个公共点，而y＝（x﹣2）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），直线y＝p2在x轴上方，所以α＜2，β＞3， 综上所述，α≤2且β≥3． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解问题，利用二次函数与直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系是解题的关键 2. 如图，在等腰梯形中，，，，E是底边上一点，且，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰梯形的知识，相似三角形的判断与性质，取中点，连接，即可证明是平行四边形，得到是等边三角形，推出，设，则，，再证明，得到，可用表示出及的长， 进而得出答案． 【详解】解：如图，取中点，连接，则， ∵等腰梯形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ． 故选：B． 3. 若，则的个位数字是（ ）. A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得，从而可知，继而可知. 【详解】∵，∴+1=13x ∵x，∴x+=13 ∴=167 ∴.=27887 ∴的个位数字是7 故选D 【点睛】本题考查了分式的运算以及完全平方公式，熟练掌握相关的知识是解题的关键 4. 四边形中，，平分，O为对角线的交点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，根据平行线的性质，结合等腰三角形的性质与判定可得，进而可求解，，利用可求解． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ∴， 设，则，， ∵， ，解得， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 故选：B． 5. 一个三角形的边长分别为，，，另一个三角形的边长分别为，，，其中，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理及等腰三角形的定义，在中，，，在中．，，过点作于点，于点，设，利用勾股定理求出再根据，推出，构建关系式，可得结论，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图，在中，，，在中．，， ， 过点作于点，于点， 设， ∵， ∴， 即，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即，令， 则， 故， 整理得， 解得：（舍）， 故， 故选：． 6. 如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于，如图1，可证可得，再证可得，可证，可得是以为直径的圆上一点，取中点，连接，，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得长度的最小值．本题考查圆周角定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点是以为直径的圆上一点． 【详解】解：延长交于，如图1 ∵四边形是正方形， ，，， ，，， ， 且，， ， 且， 且，， ， ， ， ，即， 点是以为直径的圆上一点． 如图2，取中点，连接，， ，是中点， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 二次函数第一象限的图象上有两点，关于二次函数（m为任意实数）与x轴交点个数判断正确的是（ ） A. 若，则与x轴可能没有交点 B. 若则与x轴必有2个交点 C. 若，则与x轴必有2个交点 D. 若则与x轴必有2个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式．熟练掌握二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，，，则，令，则，可得，然后分别将各选项中的值代入计算，然后判断作答即可． 【详解】解：∵二次函数第一象限的图象上有两点， ∴，，， ∴， 令，则， ∴， 当时，，可取负值， ∴与x轴可能没有交点，A正确，故符合要求； 当时，，与x轴可能有2个交点，B错误，故不符合要求； 当时，，与x轴必有2个交点，C正确，故符合要求； 当时，，与x轴必有2个交点，D正确，故符合要求； 故选：ACD． 8. 已知x，y为整数，且满足，则的可能的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，利用平方差公式进行因式分解，分式有意义的条件等知识．熟练掌握解分式方程，利用平方差公式进行因式分解，分式有意义的条件是解题的关键． 由x，y为整数，且满足，可得，，，则或，可求，则，当时，；此时方程的解满足要求；当时，；此时方程的解满足要求；然后作答即可． 【详解】解：∵x，y为整数，且满足， ∴，， ∵， ∴， 两边同时乘以得，， ， ， ∴或， 解得，， ∴， 当时，；此时方程的解满足要求； 当时，；此时方程的解满足要求； 当时，此时满足题意； ∴的可能的值可能为0或或1，故A、B、C符合要求；D不符合要求； 故选：ABC． 9. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. 点O到各边的距离相等 D. 设，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由角平分线以及平行可得，，，，则，可求，由，可判断A的正误；由题意知，，可判断B的正误；由题意知，是角平分线的交点，则点O到各边的距离相等，可判断C的正误；如图，连接，作于， 则，由，可判断D的正误． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O，， ∴，，，， ∴，， ∴，A错误，故不符合要求； 由题意知，，B正确，故符合要求； 由题意知，是角平分线的交点， ∴点O到各边的距离相等，C正确，故符合要求； 如图，连接，作于， ∴， ∴，D正确，故符合要求； 故选：BCD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理等知识．熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理是解题的关键． 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 10. 已知中，点D，E分别在，边上，点P在线段上，且，，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，先由等边对等角得，，再由外角得到，，，最后由，结合三角形内角和定理得出的度数即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 已知四边形的周长为2024，设该四边形最长边为a，则a的长度的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，两点之间线段最短，理解题意是解题的关键．由于是四边形，则，根据两点之间线段最短得，即可求解． 【详解】解：由题意得， 由两点之间线段最短得， ∴， 故答案为：． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式和平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 13. 将481个盒子从左至右排成一排，这些盒子中总共放了2024颗小球，如果任意相邻的12个盒子中共有50颗小球，则最左端的盒子与最右端的盒子中所放的小球数分别为___． 【答案】24，24 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法计算，从左边开始，每12个盒子为一组，一共可以分成40组，然后最右边的盒子单独剩下，求出这40组中小球的总数，即可求出最右边的盒子中的小球数，同理可得最左边的盒子中的小球数． 【详解】解：∵， ∴从左边开始，每12个盒子为一组，一共可以分成40组，然后最右边的盒子单独剩下， ∵任意相邻的12个盒子中共有50颗小球， ∴分成的40组的所有盒子中的小球个数之和为颗， ∵一共有2024颗小球， ∴最右边的盒子中有24颗小球， 同理可求出最左边的盒子中有24颗小球， 故答案为：24，24． 14. 已知，，．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】对已知等式变形求出，，，，即可把所求的式子的分母进行转化，然后整理计算即可求解． 【详解】解：∵x＋y＋z＝2， ∴， 即 ∴， ∵， 同理可得，，， ∴原式＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确对分母进行变形是解决本题的关键． 四、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线C：交于两点A，B． （1）若且求实数b的值； （2）设直线l与x，y轴分别交于点D，E，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：当直线与第一象限的反比例函数相交时，且点分别靠近点，如图，过点A作轴于点M，轴于点N，连接， 则轴，轴 ∴， 同理， 由反比例函数k的几何意义得到， ∴， ∵共底， ∴等高， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图：当点分别靠近点时， 同理可得：， ∴； 当直线与第三象限的反比例函数相交时，同理可证明； 当直线与双曲线在第三象限相交时，如图，同理可证明． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，涉及反比例函数k的几何意义，一次函数与反比例函数图象的交点问题，平行四边形的判定与性质，难度较大． （1）设，联立一次函数和反比例函数解析式得到，根据根与系数的关系得到，再得到“弦长公式”即可求解； （2）当直线与第一象限的反比例函数相交时，且点分别靠近点，如图，过点A作轴于点M，轴于点N，连接，则，同理，由反比例函数k的几何意义得到，故，则，及时四边形和四边形是平行四边形，则，继而可求证，对于别的情况证法类似． 【小问1详解】 解：设 ∵， ∴直线， 则联立得： ∴， ∴， ∵， ∵， ∴, ∴， 解得： 【小问2详解】 略 16. 如图，正方形中，F在延长线上且，M在上，N为中点，E在上（不与点C重合）且． （1）求的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质， （1）延长交的延长线于点，连接、，过作，交于点，先利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，从而得到，然后求出，根据同角的余角相等求出，再求出是等腰直角三角形，求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得； （2）求出，再利用等腰直角三角形的性质求出、的比值即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交的延长线于点，连接、，过作交于点， 四边形是正方形， ∴， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ∴，， ∵， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴是等腰直角三角形， ， 又， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ∵是等腰直角三角形， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年马鞍山市第二中学初三雏鹰班素养考核 数学试题卷 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（　　） A. 2＜α＜3≤β B. α≤2且β≥3 C. α≤2＜β＜3 D. α＜2且β＞3 2. 如图，在等腰梯形中，，，，E是底边上一点，且，．则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的个位数字是（ ）. A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 4. 四边形中，，平分，O为对角线的交点，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 一个三角形的边长分别为，，，另一个三角形的边长分别为，，，其中，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 二次函数第一象限的图象上有两点，关于二次函数（m为任意实数）与x轴交点个数判断正确的是（ ） A. 若，则与x轴可能没有交点 B. 若则与x轴必有2个交点 C. 若，则与x轴必有2个交点 D. 若则与x轴必有2个交点 8. 已知x，y为整数，且满足，则的可能的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 9. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. 点O到各边的距离相等 D. 设，则 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 10. 已知中，点D，E分别在，边上，点P在线段上，且，，若，则____． 11. 已知四边形的周长为2024，设该四边形最长边为a，则a的长度的取值范围是____． 12. 因式分解：_____． 13. 将481个盒子从左至右排成一排，这些盒子中总共放了2024颗小球，如果任意相邻的12个盒子中共有50颗小球，则最左端的盒子与最右端的盒子中所放的小球数分别为___． 14. 已知，，．则__________． 四、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线C：交于两点A，B． （1）若且求实数b的值； （2）设直线l与x，y轴分别交于点D，E，求证：． 16. 如图，正方形中，F在延长线上且，M在上，N为中点，E在上（不与点C重合）且． （1）求的大小； （2）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $