检测08 指数函数与对数函数（能力卷）- 2024-2025学年高一数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版2019专用）

检测08 指数函数与对数函数（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·吉林长春·期中）设，且，则（    ） A． B．10 C．100 D．1000 3．（2023·北京西城·一模）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 5．（2024·四川·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·二模）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·辽宁·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D． 10．（22-23高一上·山东德州·阶段练习）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（    ） A．野生水葫芦的面积每月增长量相等 B．野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月 C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有 D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度 11．（22-23高一下·湖北·期中）已知函数,下列说法正确的是(    ) A．若定义域为R,则 B．若值域为R,则 C．若最小值为0,则 D．若最大值为2,则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·山东泰安·期中）计算： . 13．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数的图象关于轴对称，则 ． 14．（2023高一上·全国·专题练习）（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是 .（参考数据：，） 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 16. (15分) （23-24高一上·江苏南京·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 17. (15分) （22-23高一上·山东济宁·期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，） (1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式； (2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数） 18. (17分) （23-24高一上·河北唐山·期末）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数. (1)若，求在区间上的值域； (2)若方程有实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测08 指数函数与对数函数（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·吉林长春·期中）设，且，则（    ） A． B．10 C．100 D．1000 3．（2023·北京西城·一模）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 5．（2024·四川·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·二模）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·辽宁·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D． 10．（22-23高一上·山东德州·阶段练习）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（    ） A．野生水葫芦的面积每月增长量相等 B．野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月 C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有 D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度 11．（22-23高一下·湖北·期中）已知函数,下列说法正确的是(    ) A．若定义域为R,则 B．若值域为R,则 C．若最小值为0,则 D．若最大值为2,则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·山东泰安·期中）计算： . 13．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数的图象关于轴对称，则 ． 14．（2023高一上·全国·专题练习）（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是 .（参考数据：，） 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 16. (15分) （23-24高一上·江苏南京·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 17. (15分) （22-23高一上·山东济宁·期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，） (1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式； (2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数） 18. (17分) （23-24高一上·河北唐山·期末）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数. (1)若，求在区间上的值域； (2)若方程有实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D A B C B ABD BC 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】由题意结合指数幂的运算法则计算即可得. 【详解】由题意可得，视力4.9的视标边长约为： cm. 故选：A. 2．C 【分析】利用指数与对数运算法则可得，再由换底公式即可得，计算可得. 【详解】根据题意由可得， 所以， 即可得，即. 故选：C 3．D 【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移对参数进行分类讨论即可得出其取值范围. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是. 故选：D 4．D 【分析】由函数是上的偶函数与的图象关于点对称可得出函数的周期，根据时的表达式可求解出一个周期的函数值，从而解出本题. 【详解】解：因为函数是上的偶函数， 所以， 因为的图象关于点对称， 所以，即， 所以， 所以， 所以函数是上周期为4的函数， 当时，， 所以，， 又，， 所以， 所以. 故选：D. 5．A 【分析】根据函数奇偶性，先得，从而得，再根据函数单调性可判断大小. 【详解】因为是定义在上偶函数，所以， 因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 故选：A. 6．B 【分析】根据已知的浓度解析式，代入变量，结合对数的运算，化简求值. 【详解】由题意，， 所以）， 即．又，所以． 因为，所以． 故选：B． 7．C 【分析】首先由题意推出，然后由基本不等式即可求解. 【详解】一方面由题意有， 另一方面若有成立， 结合以上两方面有， 且注意到， 所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增， 若，则只能， 因此当且仅当； 又已知， 所以，即， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是发现当且仅当，从而得出，从而由基本不等式即可顺利求解. 8．B 【分析】由题意可得，，，即可得，，再比较与的大小关系，借助对数运算转化为比较与的大小关系，结合放缩计算即可得. 【详解】，，，故，， 要比较与的大小，即比较与的大小， 等价于比较与的大小，等价于比较与的大小， 又 ， 故，即，即， 故. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较与的大小关系，可借助对数运算转化为比较与的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得. 9．ABD 【分析】利用复合函数思想，结合二次函数和指数函数的性质来判断各选项. 【详解】令，则． 对于选项A，的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为，的值域为，所以函数的值域为,故B正确； 对于选项C，因为在上单调递增， 且在上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，故C不正确； 对于选项D，由于函数在上单调递减，则，故 D正确． 故选:ABD． 10．BC 【分析】根据图中数据可计算得出A、B、D选项；根据图像得到指数函数解析式，表示出，，，根据对数计算即可判断C选项. 【详解】由图可知野生水葫芦第一个月增长面积为，第二个月增长面积为，A错误； 由图可知野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月，B正确； 野生水葫芦的面积与时间的函数关系为，，， ，，所以，C正确； 野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为 野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为，D错误. 故选：BC 11．BCD 【分析】根据对数函数的单调性以及二次函数的性质逐项分析计算即可. 【详解】对于A，若函数定义域为R,则恒成立, 当时,恒成立,满足题意, 当时,则有,解得, 所以实数的取值范围为,故选项A错误； 对于B，若函数值域为R,则能取尽大于零的所有实数， 当时,,不满足题意， 当时,则有,解得， 所以若值域为R,则,故选项B正确； 对于C，若函数最小值为0,则有最小值1， 由二次函数的图象和性质得,解得,故选项C正确; 对于D，若函数最大值为2,则有最大值4, 由二次函数的图象和性质得,解得,故选项D正确. 故选:BCD. 12．/-0.25 【分析】直接由分数指数幂以及根式互化运算，以及整数指数幂运算即可求解. 【详解】由题意 . 故答案为：. 13．1 【分析】由函数图象关于轴对称可得，再结合对数的运算性质代入表达式求出即可. 【详解】因为， 且，即， 有， 所以． 故答案为：1. 14． 【分析】结合参考数据，观察图象找到交点坐标，结合图象即可得到结果． 【详解】因为当时，， 当时，， 所以与的交点坐标情况如图， 结合图象可知的x的取值范围是， 故答案为：. 15．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用指数运算法则化简即得. （3）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 16．（1）9；（2）1 【分析】（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解； （2）由求出，然后代入中化简计算即可. 【详解】（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ ． 17．(1)答案见解析； (2)至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过. 【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择，并求出解析式； （2）根据题意，，求出的取值范围，进而得出结果. 【详解】（1）因为（，）的增长速度越来越快， （）和（）的增长速度越来越慢， 所以应选函数模型（，）. 由题意得，解得， 所以该函数模型为（）； （2）由题意得，即， 所以， 又. 所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过. 18．（1）；（2）. 【解析】（1）由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式； （2）由复合函数的单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 所以， 所以， 可得，函数. （2）由（1）知 所以在上单调递减. 由，得， 因为函数是奇函数， 所以， 所以，整理得， 设，， 则， 当时，有最大值，最大值为. 所以，即. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. （2）由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. （3）由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，. 【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$