检测07 指数函数与对数函数（基础卷）- 2024-2025学年高一数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版2019专用）

检测07 指数函数与对数函数（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·吉林·期末）函数的零点一定位于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（    ）（参考数据：，） A．12 B．13 C．14 D．15 6．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意实数.当时，.则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 7．（23-24高一上·河南·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山东济南·开学考试）已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 10．（22-23高一下·河南·期中）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（    ） A．若地震震级增加2级，则最大振幅增加到原来的20倍 B．若地震震级增加2级，则放出的能量增加到原来的1000倍 C．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的1000倍 D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的100倍 11．（2023·湖南长沙·一模）已知函数与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习） . 13．（2024·湖北·一模）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 14．（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则函数的值域为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·浙江宁波·期中）（1）； （2）已知，，求的值. 16. (15分) （2023高三·全国·专题练习）计算： (1); (2) 17. (15分) （23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围． 18. (17分) （23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知函数是奇函数，且. (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 19. (17分) （22-23高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)求函数的值域； (2)解关于的不等式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D B A B AC BC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】利用指数运算及根式运算计算即得. 【详解】. 故选：C 2．D 【分析】根据题意，由奇函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则函数的定义域为， 即是定义在上的奇函数，则， 则，所以. 经检验，当时，为奇函数，满足题意. 故选：D. 3．B 【详解】因为 由于，则． 故选：B 4．B 【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可. 【详解】在上为单调递增函数， 又，故， 所以的零点一定在内. 故选：B. 5．D 【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得，由，解不等式即可求解. 【详解】由题意知，， 当时，，故，解得， 所以． 由，得，即， 得，又， 所以， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次． 故选：D 6．B 【分析】 利用函数的奇偶性以及，推出函数的周期，再结合时函数解析式，即可求得答案. 【详解】由已知为偶函数，所以，又， 所以，所以， 所以函数是周期为2的周期函数， 结合时，， 故， 故选：B. 7．A 【分析】首先由题意有，若是上的减函数，故只需当时，单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】当时，单调递减，，且最小值为， 当时，当时，单调递增，不符题意， 又注意到是上的减函数， 故只能抛物线的开口向下即，其对称轴为， 则由题意有，解得． 故选：A. 8．B 【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围. 【详解】因为函数 在 上单调递增， 所以在上单调递增，所以. 且在恒大于0，所以或. 综上可知：. 故选：B 9．AC 【分析】运用指数函数概念可解. 【详解】若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则满足， 解得或. 故选：AC． 10．BC 【分析】根据对数和指数的运算性质即可求解. 【详解】因为，所以．故A错误； 因为，所以B正确； 因为，所以，所以C正确，D错误． 故选：BC 11．ABD 【分析】根据，分别代入，即可判断A,B，根据， 关于直线的对称，因此可知对称，对称，即可根据对称性判断CD. 【详解】由题意可知是方程 的一个根，则，将 代入得，所以也是方程的一个根，所以，故，故A正确， 由题意可知是方程 的一个根，则，则，所以也是方程的一个根，所以，故，故B正确， 设点在函数上，则满足，即点关于直线的对称点为，将代入得，即可，因此可知在函数上， 即关于直线的对称，又 关于直线的对称，因此可知对称，对称， 故 和， 所以 ，，故D正确， 由于 ，故C错误， 故选：ABD 12． 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为： 13． 【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果. 【详解】当时，得， 当时，，得，所以， 综上：的解集为， 故答案为：. 14． 【分析】设，则，此时，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】设，则，此时， 当时，即 ，函数取得最小值，此时最小值为； 当时，即 ，函数取得最大值，此时最大值为． 故答案为：. 15．（1）；（2） 【分析】(1)根据分数指数幂的运算进行化简即可； (2)根据完全平方分别求出分子、分母即可求解. 【详解】（1）原式 （2）因为，， 所以，， 所以. 16．(1)2 (2) 【分析】（1）根据对数的运算法则，注意利用； （2）根据对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式＝. （2）原式 . 17．(1) (2) 【分析】（1）利用可求时的解析式，当时，利用奇偶性可求得时的的解析式，由此可得结果； （2）作出图象，将问题转化为与有个交点，数形结合可得结果. 【详解】（1）由图象知：，即，解得：，当时，； 当时，，， 为上的偶函数，当时，； 综上所述：； （2）为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示， 有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点， 由图象可知：，即实数的取值范围为. 18．(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数满足，再代入求解即可； （2）化简可得恒成立，令，再根据指数函数值域与对勾函数性质求解最大值即可. 【详解】（1）是奇函数， 经检验当时，是奇函数符合题意， 又或（舍）， ； （2）， 即， 又，故恒成立， 令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减， . 19．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据对数的运算性质可化简由换元法结合二次函数的性质即可求解， （2）由一元二次不等式以及对数不等式即可求解， （3）分离参数，结合基本不等式求解最值即可求解. 【详解】（1）因为定义域为， 则 设，则， 所以值域为. （2）不等式可化为，即解得或 即或，解得或 所以不等式的解集为或 （3）因为， 所以， 设，则， 原问题化为对任意， 即， 因为（当且仅当即时，取等号）， 即的最小值为0， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测07 指数函数与对数函数（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·吉林·期末）函数的零点一定位于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（    ）（参考数据：，） A．12 B．13 C．14 D．15 6．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意实数.当时，.则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 7．（23-24高一上·河南·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山东济南·开学考试）已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 10．（22-23高一下·河南·期中）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（    ） A．若地震震级增加2级，则最大振幅增加到原来的20倍 B．若地震震级增加2级，则放出的能量增加到原来的1000倍 C．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的1000倍 D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的100倍 11．（2023·湖南长沙·一模）已知函数与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习） . 13．（2024·湖北·一模）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 14．（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则函数的值域为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·浙江宁波·期中）（1）； （2）已知，，求的值. 16. (15分) （2023高三·全国·专题练习）计算： (1); (2) 17. (15分) （23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围． 18. (17分) （23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知函数是奇函数，且. (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 19. (17分) （22-23高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)求函数的值域； (2)解关于的不等式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$