4.1成比例线段同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

4.1成比例线段 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如果，那么下列各式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．在下列各组线段中，不成比例的是（　　） A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝1，b＝，c＝，d＝ 3．已知，则的值为（    ） A．1 B．–1 C．2 D．–2 4．若点是线段的黄金分割点，且，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．以上都不对 5．若x：（x+y）＝3：5，则x：y＝（　　） A． B． C． D． 6．已知：，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 7．在比例尺为的图纸上画出的某个零件的长是，这个零件的实际长是（     ） A． B． C． D． 8．下列各组中的四条线段，是成比例线段的是（   ） A．3cm，6cm，12cm，18cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．cm，cm，cm，5cm D．5cm，2cm，3cm，6cm 9．已知,则下列式子中正确的是（      ） A．a∶b=c2∶d2 B．a∶b=c∶b C．a∶b=（a+c）∶（b+d） D．a∶b=（a－d）∶（b－d） 10．已知，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 11．下面四条线段中，不能成比例的是（    ） A．3，6，2，4 B．1，，，， C．4，6，5，10 D．2，，， 12．若＝，则下列各式不成立的是（    ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 二、填空题 13．在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 千米． 14．设，则= ． 15．在比例尺为1：10 000 000的地图上，量得A，B两地的距离是50cm，则A，B两地的实际距离为　 km． 16．已知，则的值是 ． 17．已知，则 ． 三、解答题 18．（1）解方程：x2﹣4x﹣2＝0 （2）计算：若，且3a＋2b﹣4c＝9，求a＋b﹣c的值． 19．小华的父亲计划修建一个矩形草坪，按的比例尺画出了草坪图（如图），他准备在草坪内栽种面积为平方米的小矩形草皮，在草坪四周每隔厘米种一株小杜鹃，你能帮助小华的父亲算算他需购买多少块小矩形草皮与多少株杜鹃吗？    20．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 21．如图：小明想测量一棵树的高度，在阳光下，小明测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则树高为多少米． 22．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 23．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点． 任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点． （2）若BD＝1，则BC的长为 ． 24．已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A A D C C C D 题号 11 12 答案 C D 1．B 【分析】本题主要考查比例，解题的关键是利用比例的性质分别判断． 【详解】解：A．由，得，那么A正确，不符合题意． B．由，得，那么B不正确，符合题意． C．由，得，那么C正确，不符合题意． D．由，得，那么D正确，不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】根据成比例线段的性质，即可求得答案．注意排除法的应用． 【详解】解：A、∵a＝3，b＝6，c＝2，d＝4，∴， 故本选项正确，不符合题意； B、∵a＝1，b＝2，c＝2，d＝4，∴， 故本选项正确，不符合题意； C、∵a＝4，b＝6，c＝5，d＝10，∴，， ，故本选项错误，符合题意； D、∵a＝1，b＝，c＝，d＝，∴， 故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了比例线段的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记定理． 3．B 【分析】根据已知条件，利用比例的性质求得，的关系式，进而代入化简即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确得出，的关系式是解题的关键． 4．A 【详解】由，知是较长的线段，根据黄金分割点的定义，知． 5．A 【分析】由比例的基本性质，把比例式转换为等积式后，能用其中一个字母表示另一个字母，达到约分的目的即可． 【详解】解：由得5x＝3x+3y，即2x＝3y， 所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积． 6．D 【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数”是解本题的关键．由可得，再代入要求值的分式中，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．C 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离列比例式即可解题. 【详解】解：设零件的实际长度为x,由题可得： 1:20=32：x, 解得：x=640, 640mm=64cm, 故选C. 【点睛】本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,列比例式是解题关键. 8．C 【分析】本题主要考查了比例线段．根据比例线段的概念，利用“最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等”逐项判断即可解答． 【详解】解：A、∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； B、∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C、∵，∴四条线段成比例，符合题意； D、∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； 故选：C． 9．C 【分析】分别利用等比性质、合比性质以及分式的基本性质对原式进行变形即可得出结果． 【详解】解：A、是等式的右边同时平方，不符合等式的性质，故A选项错误； B、转化为等积式是ab=cd，而原比例式转化为等积式是ad=bc，两者不一致，故B选项错误； C、运用了比例的等比性质，故C选项正确； D、是左边的分子和分母都减去d，不符合分式的基本性质，故D选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查的是比例的性质，能够根据比例性质灵活进行比例式的变形． 10．D 【分析】本题考查比例性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴不成立， 故选：D． 11．C 【分析】若a、b 、c、d成比例，则有a：b=c：d，据此将各选项代入求解即可. 【详解】A. 3：6=2：4    ，四条线段成比例，故不符合题意； B. 1：=：，四条线段成比例，故不符合题意； C. 4：6≠5：10，四条线段不成比例，故符合题意； D. 2：=：，四条线段成比例，故不符合题意， 故选C. 【点睛】本题考查了成比例线段，注意叙述成比例线段时，各个线段的顺序. 12．D 【分析】根据比例设x＝2k，y＝3k，然后代入比例式对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：∵， ∴设x＝2k，y＝3k， A．，正确，故本选项错误； B．，正确，故本选项错误； C．，正确，故本选项错误； D．，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解更加简便． 13．250 【分析】要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可． 【详解】解：（厘米） 厘米=千米 答：两地间的实际距离是km． 故答案为：． 【点睛】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论． 14．10 【详解】解：设，得：，．∴==10，故答案为10． 【点睛】本题考查了比例的性质，正确的计算是解题的关键． 15．5000． 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离．根据比例尺关系可直接得出两地的实际距离． 【详解】解：根据比例尺=图上距离：实际距离． 得A，B两地的实际距离为50×10000000=500000000（cm）=5000（km）， 故答案为5000． 【点睛】能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 16． 【分析】直接利用，的关系，代入化简即可． 【详解】解：，且， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是正确代入化简． 17． 【分析】首先设，即可得，，，然后代入，即可求得答案． 【详解】解：设， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了比例的性质．注意设，得到，，，是解此题的关键． 18．（1）（2）-6． 【分析】（1）用公式法求解即可； （2）设=k，则a=3k，b=4k，c=5k，代入计算k值，后计算即可． 【详解】（1）∵﹣4x﹣2＝0， ∴a=1，b=-4，c=-2，△==24＞0， ∴﹣4x﹣2＝0的两个不同实数根为x=, ∴； （2）设=k，则a=3k，b=4k，c=5k， ∵3a＋2b﹣4c＝9， ∴9k+8k-20k=9， 解得k=-3， ∴a＋b﹣c=3k+4k-5k =2k=-6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，比例的基本性质，熟练掌握公式法解方程，灵活运用等比的性质是解题的关键． 19．共需块小矩形草皮，株杜鹃． 【分析】根据比例尺求出草坪的长和宽，进而求出面积周长，继而利用除法运算即可求出小草皮的块数与杜鹃的株数. 【详解】由于比例尺为1：100，根据图纸可知草坪的长为：5×100=500cm=5m，宽为：3×100=300cm=3m , 所以草坪的面积为：5×3=15m2，共需要草皮15÷0.02=750（块）， 周长为：（5+3）×2=16m，需要杜鹃16÷0.5=32（株）， 答：共需要小矩形草皮750块，32株杜鹃. 【点睛】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺求出草坪的长和宽是解决此题的关键. 20．(1) (2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析 (3)点D到线段AE的距离为 【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）先求出，再求出的值，即可得出结论； （3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：矩形为黄金矩形，理由是： 由（1）知， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形； （3）解：连接，，过D作于点G ∵，， ∴， 在中， ， 即， 则， 解得， ∴点D到线段的距离为． 21．米 【分析】本题考查矩形的性质、比例线段． 连接，作，得到四边形为矩形，三角形为直角三角形，设米，利用同一时刻，物体的影长与物高成比例得出方程，然后解方程即可解决问题． 【详解】解：连接，作， 由题意得：， 设米，则 解得：．    ∴树高是（米） 答：树高为5.25米． 22．这双高跟鞋合适，理由见解析． 【分析】本题考查了黄金分割，以及比例的性质，根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：这双高跟鞋合适，理由如下： （）， ， 答：这双高跟鞋合适，穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比． 23．（1）见解析；（2） 【分析】（1）在直角三角形△ABD中设则 ，利用勾股定理求出，再求出，即，则，即可得出结论； （2）若BD＝1，则 ，把AB代入到即可求出AC，进而可求出BC． 【详解】解：（1）∵BD⊥AB， ∴△ABD是直角三角形， ∵BD＝AB， ∴设则 ， ∴ ， ∵DE＝DB，AC＝AE， ∴ ， ∴ ∴， ∴ ， 故C是线段AB的黄金分割点． （2）若BD＝1，则 ， 由（1）知， ∴， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义． 24．见解析 【分析】先求得，即可得到，结论得证． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴点A是的黄金分割点． 【点睛】解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的． 学科网（北京）股份有限公司 $$