3.9弧长及扇形的面积同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

3.9弧长及扇形的面积 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的母线长13，圆锥的高12，则这个圆锥的侧面积是（    ）． A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ABC=120°，则劣弧AC的长为（　　） A．2π B．4π C．5π D．6π 4．如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积是（　　） A．1 B． C．2 D． 5．用一个半径为3，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．1 B．2 C．π D．2π 6．如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为1，以点O为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以点O为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 8．若一个圆锥的底面圆的周长是6π，母线长是6，则圆锥的侧面积是（  ） A．36π B．18π C．12π D．6π 9．如图，BC为直径，若，，则图中灰色区域的面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知、、为上三点，连接、、、，若，，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 11．如图，将绕点C按顺时针旋转60°得到，已知，，则线段AB扫过的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 12．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，AB是半径为3半圆O的直径．CD是圆中可移动的弦，且CD=3，连接 AD、BC相交于点P，弦CD从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转120°，则交点P运动的路径长是 ． 14．扇形的圆心角为，为圆心，是弧上的一点，连接，交半径于点．若，，则扇形的面积为 （结果保留）． 15．一个扇形的半径为4，圆心角是，该扇形的弧长是 ． 16．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，点A，B，C，D均在同一段圆弧上，若，则的长为 ． 17．在数学课上，某同学用一张如图1所示的长方形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为120°，圆锥的底面半径为6，则此圆锥的高为 . 三、解答题 18．求阴影部分面积．（单位：厘米） 19．在如图①所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，a，b，c均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫做格点）． (1)在图①中，a经过一次 变换（填“平移”“旋转”或“轴对称”）可以得到b； (2)在图①中，c是可以由b经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点 （填“A”“B”或“C”）； (3)在图②中画出a绕点A顺时针旋转90°后得到的d，并求出线段EF所扫过的面积． 20．洛阳是十三朝古都，有“千年帝都、牡丹花城”的美誉，每到牡丹花开的季节，都会吸引无数游客前来观赏，下图是其中一处美景的俯视图，雍容华贵的牡丹花（扇形中的阴影部分）花开灿烂，上有一座供游人休息的亭子（矩形），点，分别在，上，在上，为的中点，连接交于点，延长交弧于点，已知，． (1)求扇形的半径； (2)若，求阴影部分的面积． 21．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面（点A）时开始计算时间．            (1)求盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程； (2)求浮出水面秒时，盛水筒P到水面的距离； (3)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，，直接写出盛水筒P从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线上．（参考数据：，，） 22．综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 23．如图，点是内一点，，垂足为点，将线段绕点顺时针旋转得到扇形，过点作交于点，连接，与弧交于点，过点作交于点．    (1)求证：； (2)已知，． ①通过计算比较线段和弧哪个长度更长； ②计算图中阴影部分的面积（结果保留）．（参考数据：） 24．如图，在中，为的直径，为的弦，点是的中点，过点作的垂线，交于点，交于点，分别连接． （1）与的数量关系是_______； （2）求证：； （3）若，求阴影部分图形的面积． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A A B C B C B 题号 11 12 答案 D B 1．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．B 【分析】可设圆锥底面半径长为，利用勾股定理求出，再根据圆锥侧面展开图的面积，即可求解． 【详解】可设圆锥底面半径长为， ∵，， 由勾股定理得， 圆锥侧面展开图的面积， 所以圆锥的侧面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=×底面圆周长×母线长． 3．B 【分析】连接OA、OC，然后根据圆内接四边形的性质及圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：连接OA、OC， ∵∠ABC=120°， ∴∠ADC=60°， ∴∠AOC=2∠ADC=120°， 则劣弧AC的长为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理、圆内接四边形的性质，解答本题的关键是掌握弧长公式． 4．A 【分析】设AT交⊙O于C，连接BC，如图，利用切线的性质得到∠ABT＝90°，则可判断△ABT为等腰直角三角形，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，所以BC＝AC＝TC，则S弓形AC＝S弓形BC，然后利用阴影部分的面积＝S△BTC＝S△ABT进行计算． 【详解】解：设AT交⊙O于C，连接BC，如图， ∵BT是⊙O的切线， ∴BT⊥AB， ∴∠ABT＝90°， ∵∠ATB＝45°， ∴△ABT为等腰直角三角形， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AT， ∴BC＝AC＝TC， ∴S弓形AC＝S弓形BC， ∴阴影部分的面积＝S△BTC＝S△ABT＝××2×2＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，解决问题的关键是把不规则图形转化为规则图形，本题是利用割补法把不规则图形转化为规则图形. 5．A 【分析】设该圆锥底面圆的半径为rcm，则可根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=，然后解方程即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为r， 根据题意得2πr=， 解得r=1， 即该圆锥底面圆的半径为1． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 6．B 【分析】连接，，，先由圆周角定理得到点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上，进而得到当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长；根据勾股定理和锐角三角函数求得，，则所对的圆心角的度数为，利用弧长公式求得的长即可求解． 【详解】解：连接，，，    ∵， ∴， ∴点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上， 当点E在点B处时，，点F与O重合； 当点E在点D处时，∵以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点， ∴即，点F与A重合， ∴当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长； ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，则所对的圆心角的度数为， ∴的长为，即点F所经过的路径长为， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、弧长公式、坐标与图形等知识，正确得到点F的运动轨迹以及点F所经过的路径长为的长是解答的关键． 7．C 【分析】分别求出和，找到阴影部分面积的变化规律，即可得到． 【详解】解：正方形的边长为1， 则正方形的面积为1， ，以O为圆心，为半径作扇形，得到， 以为对角线作正方形，又以O为圆心，为半径作扇形，得到， 以此类推得到﹣， 故． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质、扇形面积公式等知识，找到图形面积的规律是解题的关键． 8．B 【分析】根据圆锥侧面面积公式求解即可． 【详解】解：S圆锥侧面积=． 故选择B． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积公式是解题关键． 9．C 【分析】由，则∠B+∠C=100°，从而得出∠ODB+∠OEC=100°，根据三角形的内角和定理得∠BOD+∠COE=160°，再由扇形的面积公式得出答案． 【详解】解：如图： ∵∠A=80°， ∴∠B+∠C=100°， ∵BC=6， ∴OB=OC=OD=OE=3， ∴∠ODB+∠OEC=100°， 即（180°∠BOD）+（180°∠COE）=100°， 整理可得：∠BOD+∠COE=160°， ∴图中灰色区域的面积为； 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算和三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握． 10．B 【分析】根据圆周角定理你求出∠AOB，带入扇形的面积公式运算即可. 【详解】解：∵∠ACB=50°， ∴∠AOB=2∠ACB=100°， ∴扇形AOB的面积，故选：B. 【点睛】本题考查了圆周角定理求面积公式，熟悉掌握公式是解决本题的关键. 11．D 【分析】根据图形可以得出扫过的图形的面积，由旋转的性质就可以得出，从而得出扫过的图形的面积求出其值即可． 【详解】解：∵绕点C旋转60°得到， ∴， ∴，． ∵扫过的图形的面积， ∴扫过的图形的面积， ∴扫过的图形的面积． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键． 12．B 【分析】先利用v形架与圆的关系求出∠C+∠AOB=180°，由∠C=60°，可求∠AOB=120°，由OB=24cm，利用弧长公式求即可． 【详解】解：∵AC与BC是圆的切线， ∴OA⊥AC，OB⊥CB， ∴∠OAC=∠OBC=90°， ∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°， ∵∠C=60°， ∴∠AOB=180°-60°=120°， ∵OB=24cm, ∴=cm． 故选择B． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式，掌握直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式是解题关键． 13． 【分析】根据题意找到不变的量可作下图，求得点P的轨迹也是圆，圆心角度数为120度，再根据AB的长求出⊙O’的半径即可求出点P运动的路径长 【详解】连接AC,BD,OC,OD，∵AB是半径为3半圆O的直径 ∴CO=DO=CD=3, ∴△COD为等边三角形， ∠COD=60°， 则∠DAC=∠DBC=30°， 又AB为直径得∠APB=180°-∠DAB-∠CBA=120° 由定径对定角，得出P轨迹为圆， 以AB为底作顶角为120°的等腰△ABO’， ∵AB=6,求得AO’=2 故P的运动轨迹为120°的圆弧， 【点睛】此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知圆周角定理与弧长公式. 14． 【分析】过作于，交于，则，根据勾股定理和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于，交于， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 扇形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 15． 【分析】本题考查了弧长．熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 根据弧长的计算公式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，扇形的弧长为， 故答案为：． 16． 【分析】取的中点，连接，，，，先证明是等腰直角三角形，从而得到，，进而得到是的直径，半径，由三角形内角和定理可得，从而得到，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，，， 小正方形的边长为1， ，， 由勾股定理可得：， ， 是等腰直角三角形， ，， 是的直径，半径， ， ，， ， ， 的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、求弧长，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 17． 【分析】设此圆锥的母线长为R，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到 ，求解即可确定R的值，然后由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：设此圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得R=18，即在中，， ∴由勾股定理，可得， 即此圆锥的高为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的相关知识、弧长的计算以及勾股定理等知识，熟练掌握圆锥的相关知识是解题关键． 18．阴影部分的面积为平方厘米 【分析】本题主要考查不规则图形面积的计算，根据图示，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴, （平方厘米）， 答：阴影部分的面积为平方厘米． 19．(1)平移 (2)A (3)见解析， 【分析】（1）根据平移变换的性质即可判断． （2）根据旋转变换的性质即可判断． （3）利用旋转变换的性质即可画出图形，其面积为半径为2的的扇形的面积减去半径为1的的扇形的面积即可得到． 【详解】（1）解：在图①中，a先向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到b， 则a经过一次平移变换得到b， 故答案为：平移． （2）在图①中，b绕着A点旋转后可以得到c，则c是可以由b经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是A点， 故答案为：A． （3）在图②中，图形d即为所求， EF扫过的面积． 【点睛】本题考查了作图——平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的性质． 20．(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理、勾股定理列方程求解即可； （2）求出扇形的圆心角度数，矩形的长以及等腰三角形的高，再根据各个部分面积之间的和差关系，利用扇形面积、矩形面积、三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， 设半径，则， 由垂径定理可知，， ， 为直角三角形， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， 即扇形的半径； （2）解：在中，，， ， ， ， 根据垂径定理可知：，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，即， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 根据垂径定理可知：， 且， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，扇形面积的计算，矩形面积的计算，三角形面积的计算，勾股定理，垂径定理，解一元一次方程，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，垂线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形的边角关系，扇形面积的计算方法以及矩形的性质与判定是解题的关键． 21．(1)盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程为 (2)盛水筒P到水面的距离为 (3)盛水筒P从最高点开始，至少经过秒恰好在直线MN上 【分析】本题考查解直角三角形的应用，切线的性质等知识 （1）如图1中，连接．求出的度数，再利用弧长公式即可解决问题． （2）如图2中，盛水筒浮出水面秒后，此时，过点作于，解直角三角形求出即可． （3）如图3中，连接，解直角三角形求出，，可得的度数即可解决问题． 【详解】（1）解：由筒每分钟转圈的可得筒每秒钟转． 如图1中，连接．                   图1 在中，，，， ， ， 当盛水筒P运动到延长线上时到达最高点， ∴盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程为． （2）解：如图，盛水筒浮出水面秒后，此时， ， 过点作于， 在中，， ∴， ∴浮出水面秒后，盛水筒距离水面； （3）如图3中，                   图3 延长交于，则为最高点， 点在上，且与相切， 当点在直线上时，此时点是切点， 连接，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 需要的时间为（秒， 答：盛水筒从最高点开始，至少经过秒恰好在直线上． 22． 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 23．(1)见解析 (2)①更长；② 【分析】（1）先求证，，利用“”即可证明； （2）①利用勾股定理计算出的长度，利用正切值求出，利用弧长公式计算弧的长度，比较大小，即可得出答案；②利用，进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：证明：， ， 将线段绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：① ， ， 在中，， ， ， ， 弧长度， ； 更长； ②， ，， ． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧长的计算公式，扇形面积的计算公式是解决问题的关键． 24．（1）BE=；（2）见详解；（3） 【分析】（1）由为的直径，点是的中点，可得∠ABE=，从而得是等腰直角三角形，进而即可得到结论； （2）连接BC、BN，先证明EN∥BC，再利用圆周角定理，即可求证； （3）连接AE，ON，先求出∠EAM=30°，再证明是等边三角形，利用扇形的面积公式，即可求解． 【详解】解：为的直径，点是的中点， ∴∠ABE=， ∵EN⊥AB， ∴∠MEB=45°，即是等腰直角三角形， ∴BE=， 故答案是：BE=； （2）连接BC、BN， ∵为的直径， ∴∠ABC=90°，即：AB⊥BC， ∵EN⊥AB， ∴EN∥BC， ∴∠NBC=∠BNE， ∴； （3）连接AE，ON， ∵，是等腰直角三角形， ∴EM=MB=1，BE=， ∵EN⊥AB， ∴tan∠EAM=，即∠EAM=30°， ∵， ∴∠CON=60°，NC=BE=， ∵OC=ON， ∴是等边三角形， ∴OC=NC=， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握圆周角定理，扇形的面积公式，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$