精品解析：江苏省扬州市朱自清中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

江苏省扬州市朱自清中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 一.选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、的最高次数是，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、是一元二次方程，故选项符合题意； D、的最高次数是1，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：C 2. 已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入方程可得，解一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵1为关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， 故选：A． 3. 已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例的性质，根据线段成比例的性质，由此即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴； 故选：B ． 4. 已知的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据点到直线的距离与半径之间的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：∵的直径为，点到直线的距离为， ∴的半径为， ∵， ∴与的位置关系是相离； 故选A． 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，得出，，再由进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故选：C． 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7. 下列说法中正确的说法有（ ）个 ①同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，逐项分析判断即可求解．本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 【详解】解：①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确； ②同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故②错误， ③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故③错误； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，故④正确； 故正确的是①④，只有两个， 故选：B． 8. 直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r 四者之间的关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．切于E，切于F，切于D，得出正方形推出，根据切线长定理结合三角形的周长求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，切于E，切于F，切于D，连接， 则，， ∴四边形是正方形， ∴， 由切线长定理得：， ∵直角三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r， ∴， 即的周长是 ， ∴， 故选：A． 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9. 已知，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形． 由，根据比例的性质，即可求得的值． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 10. 已知点为线段的黄金分割点，线段，则为_____．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】直接根据黄金比值为进行计算即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，线段， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 11. 如图，是直径，，，的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为______． 【答案】2米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故答案为：2米． 13. 如图，已知是的直径，P为外延长线上一点，PC切于C．若则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，求出半径的长，求出长，根据切线的性质求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵切于C， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理和切线的性质，能熟记切线的性质的内容是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径． 14. 小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔，已知小明的身高是，他的影长是．则塔高______． 【答案】 【解析】 【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似； 【详解】∵， ∴. ∵， ∴ ∴ 依题意 ∴ ∴, 解得：, 故答案为：16． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 15. 已知，且相似比为．若的周长为，则的周长为______ ． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据，且相似比为，得出他们的周长比为，因为的周长为，所以的周长为，即可作答． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴他们的周长比为， ∴的周长为， ∴， ∴的周长为， 故答案为：20． 16. 如图，在中，，已知与的面积分别为和，则________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是清楚相似三角形的面积之比等于相似比的平方．由可得，由得 ，再由，得的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：25． 17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质， 首先直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长； 然后根据相似三角形的判定定理得出，结合相似三角形的对应边成比例得到比例式，进而得出的长，由此即可得出点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键； 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 18. 如图，在以为直径半圆上，，，点是上的一动点，，连接，则的长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，点在以为圆心，为半径的圆上运动，进而解求得，即可求解． 【详解】解：取中点，连接，，，如图， ，， ， 即点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， ， ， 在中，， 的长最小是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，求到圆上一点的最小距离，斜边上的中线等于斜边的一半，三角函数，勾股定理，求得点的轨迹是解题的关键． 三.解答题（共10小题，共96分） 19. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法解方程，即可作答． （2）运用因式分解法来解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则，或， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若等腰的腰长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， 无论取什么实数值，， ， 无论取什么实数值，方程总有实数根； （2）10 【解析】 【分析】（1）先计算，化简得到，易得，然后根据的意义即可得到结论； （2）利用求根公式计算出方程的两根，，根据，恰好是这个方程的两个实数根，腰长，得另一腰的长为，底边为，从而得三角形的周长； 本题考查了三角形的三边关系，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ，， ，恰好是这个方程的两个实数根，腰长， 另一腰的长为，底边为， ，此时三角形的周长； 综上所述，△的周长为10． 21. 如图，在中，平分交于点D，． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分 ， （2）3． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可证明三角形相似； （2）根据三角形相似的性质得到，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 即 22. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； （2）根据（1）中的条件填空： ①的半径为______；（结果保留根号） ②点在______；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则的度数为______. 【答案】（1） （2）①；②外；③ 【解析】 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）①利用勾股定理求出的长即可得到答案；②利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系；③利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即即可得到答案． 【小问1详解】 解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示： 【小问2详解】 解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； ③如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 故答案为；. 【点睛】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． 23. 如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接． （1）求证：． （2）若的度数为，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图：连接， 是的直径， ， 又， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）根据的度数为可得到，根据且即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的度数为， ， 又，， ． 24. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ （2）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 【答案】（1）应降价20元 （2） 不能，理由∶设每件衬衫应降价x元 ， 化简得， ， ∴方程无实根， ∴1400元的利润不能达到． 【解析】 【分析】主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． （1）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． （2）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【小问1详解】 解∶ 设每件衬衫应降价x元，根据题意，得 ， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； 【小问2详解】 略 25. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴． 26. 如图，为了测量山峰AB的高度，在D处和户处竖立标杆DC和FE，标杆的高度都是4m，两杆相隔50m，并且A，B，C，D和EF都在同一平面内，从标杆DC退后2m到G处，可看到山峰和标杆顶点C在同一直线上，标杆EF退后4m到H处可看到山峰A和标杆顶点E在同一直线上，求山峰AB的高度. 【答案】104m 【解析】 【分析】根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴AB∥CD∥EF， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴， ∵CD=EF=4m，DG=2m，FH=4m， ∴，， ∴， ∴BD=50m， ∴ 解得AB=104m， 即山峰AB的高度为104m. 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 27. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，则______，______：若2，3是方程的两根，则______，______； （2）已知m，n满足，，若，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，若，求的最小值． 【答案】（1），，，6． （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，，即可得到、的值； （2）讨论：当时，易得原式；当时，把、看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，，再通分化简原式，然后利用整体代入计算即可解答； （3）利用已知条件变形得到，根据根与系数的关系，则、为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定的最小整数值． 本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，是解答本题关键． 【小问1详解】 解： ，是方程的两根， ，； ，3是方程的两根， ，， 解得，． 故答案为：，，，6． 【小问2详解】 解：，满足，（）， ∴、可看作方程的两根， ，， 原式． ∴的值为． 【小问3详解】 解：，， ， 、为一元二次方程的两根， ∴， ∴ 而， ， 经检验：当时，有意义 的最小整数为9． 故答案为：9． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． （1）当时，求证：． （2）探究线段之间的数量关系，并说明理由． （3）在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：由知，， 则， 则点、的坐标分别为：， 当时，，则， 即点， ； （2） （3）时，时，时， 【解析】 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 同理（1）可得，点， ， ， ； 【小问3详解】 解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， AI ， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④的情况不存在， 综上，时，时，时，． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点，分类求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州市朱自清中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 （试卷总分：150分，考试时间：120分钟） 一.选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中正确的说法有（ ）个 ①同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r 四者之间的关系是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9. 已知，则的值为______． 10. 已知点为线段的黄金分割点，线段，则为_____．（结果保留根号） 11. 如图，是直径，，，的度数是______． 12. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为______． 13. 如图，已知是的直径，P为外延长线上一点，PC切于C．若则的值为_______． 14. 小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔，已知小明的身高是，他的影长是．则塔高______． 15. 已知，且相似比为．若的周长为，则的周长为______ ． 16. 如图，在中，，已知与的面积分别为和，则________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ________． 18. 如图，在以为直径半圆上，，，点是上的一动点，，连接，则的长的最小值是______． 三.解答题（共10小题，共96分） 19. 解下列方程： （1）． （2）． 20. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若等腰的腰长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 21. 如图，在中，平分交于点D，． （1）求证： （2）若，，求的长． 22. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； （2）根据（1）中的条件填空： ①的半径为______；（结果保留根号） ②点在______；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则的度数为______. 23. 如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接． （1）求证：． （2）若的度数为，求的度数． 24. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ （2）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 25. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 26. 如图，为了测量山峰AB的高度，在D处和户处竖立标杆DC和FE，标杆的高度都是4m，两杆相隔50m，并且A，B，C，D和EF都在同一平面内，从标杆DC退后2m到G处，可看到山峰和标杆顶点C在同一直线上，标杆EF退后4m到H处可看到山峰A和标杆顶点E在同一直线上，求山峰AB的高度. 27. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，则______，______：若2，3是方程的两根，则______，______； （2）已知m，n满足，，若，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，若，求的最小值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． （1）当时，求证：． （2）探究线段之间的数量关系，并说明理由． （3）在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $