精品解析：重庆市朝阳中2024-2025学年九年级上学期半期数学测试卷

朝阳教育集团2024-2025学年度上期半期调研抽测 初中九年级 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 温馨提示： 亲爱的同学，欢迎你参加这次九年级（上）的数学学习回溯之旅.在这半学期的学习中，你肯定又有着许多新奇的发现和独特的体验。这一次考试又是你大显身手的好机会哟！我们相信，在这紧张而又愉快的时间里，你一定会有更好的表现！ 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应该在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. “链状烷烃”是一种无环的饱和烃类化合物，它们的分子结构是一个直线状的碳原子链，每个碳原子与两个氢原子和两个相邻碳原子相连.“链状烷烃”的分子式如、可分别按如图对应展开，则中的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（   ） A. B. C. D. 10. 有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：________． 12. 若 ，则 _____． 13. 《周髀算经》中记载：“偃矩以望高”，是指把“矩”（图中）的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为_____． 14. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 15. 如图，和均为直角三角形，点为中点，若，，，则的长为_____ 16. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 17. 已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是_____． 18. 如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴ 2335是“会意数”．则．那么“会意数”，则_____；已知四位自然数是“会意数”，（，，且a、b、c、d均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是______． 三、解答题（本题共8小题，19小题8分，其余各题10分，共78分） 19. 计算： （1）. （2）解方程： 20. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 同学们在学习了《相似三角形》之后，张老师给出了下面的问题： 如图，与中，斜边与相交于点，过点作于点．探究、、之间的数量关系，并证明． 下面是小李的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． （1）请在答题卡上完成尺规作图：过点作垂足为点． （2）请将①②③④⑤⑥补充完整并填写在答题卡上． ， ① ② ， ③ ④ ⑤ 小李进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：，请你帮他写出、、这三条线段之间的数量关系 ⑥ ． 22. 已知关于的一元二次方程， （1）若方程有实数根，求的取值范围. （2）如果是满足（1）问的最大的整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求的值及这个方程的另一个根. 23. 如图在中，，，过点作于点．动点，同时从点出发，点以每秒个单位的速度沿折线运动．点以每秒1个单位的速度沿线段运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，线段和线段的长度和记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出线段和线段的长度和不大于7时的取值范围． 24. 在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． （1）如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为3.5米，落在地面上的影长为6米，求树的高度． （2）如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为6米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少米？（结果保留根号） 25. 八月，某文具店购进甲、乙两种文创笔记本共500个，总共花费3300元，甲笔记本售价6元，乙笔记本售价9元． （1）求文具店分别购进多少个甲笔记本和乙笔记本； （2）第一次购进的笔记本很快销售一空．临近开学，文具店又购进了相同总量的甲、乙笔记本，并推出了促销活动，每个甲笔记本的售价降低了，每个乙笔记本的售价便宜了元．为了尽可能多购入乙笔记本，文具店在（1）的基础上购买乙笔记本的数量增加了个，最终的总费用比第一次减少了元，求的值． 26. 如图，在矩形中，点为线段上一个动点，过点E作交线段CD于点F． （1）若，，，求的长； （2）如图，若，，，连接交于点，求的长； （3）如图，连接，若平分，延长至点，使得，连接交线段于点，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 朝阳教育集团2024-2025学年度上期半期调研抽测 初中九年级 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 温馨提示： 亲爱的同学，欢迎你参加这次九年级（上）的数学学习回溯之旅.在这半学期的学习中，你肯定又有着许多新奇的发现和独特的体验。这一次考试又是你大显身手的好机会哟！我们相信，在这紧张而又愉快的时间里，你一定会有更好的表现！ 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 2. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，牢记被开方数不含开得尽方的因数或因式，且不含分母是解决本题的关键．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：由，， ， 可知A、C、D选项中的二次根式均不是最简二次根式， 而的被开方数不含开得尽方的因数，且不含分母， ∴是最简二次根式， 故选：B． 3. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故，，，是成比例线段，符合题意； B、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； C、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； D、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质，位似图形的面积比等于相似比的平方即得答案． 【详解】解：， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ． 故选：D． 5. 估计的值应该在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值应在3和4之间， 故选C． 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程----配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配方即可． 【详解】解：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 ， 配方得， 故选：A ． 7. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干为1、枝干为x和小分支的数量之和是68个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：主干为1，枝干为，x个枝干又长出个小分支， 根据题意有：， 故选：C． 8. “链状烷烃”是一种无环的饱和烃类化合物，它们的分子结构是一个直线状的碳原子链，每个碳原子与两个氢原子和两个相邻碳原子相连.“链状烷烃”的分子式如、可分别按如图对应展开，则中的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现字母“”和“”个数变化的规律是解题的关键．先根据已知图形得出第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为，然后将代入求出m的值即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中字母“”的个数为：1，字母“”的个数为：； 第2个图形中字母“”的个数为：2，字母“”的个数为：； 第3个图形中字母“”的个数为：3，字母“”的个数为：； ， 所以第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为， 当时，（个， 即中的值是． 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连接，交于点，先证明，，进而可得，由，求出，，再由，得，即可求出的长． 【详解】解：在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接，交于点； ，， 在直角三角形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：A． 10. 有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误；，可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式为； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，将被开方数分解为完全平方数与剩余因数的乘积，即可完成化简． 【详解】解：= ． 12. 若 ，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用比例性质求代数式值，由，设，代入分式求解即可得到答案，熟记比例性质求代数式值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设， ， 故答案为：． 13. 《周髀算经》中记载：“偃矩以望高”，是指把“矩”（图中）的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵和均为直角， ∴， ∴， ∵长，长，长， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解：， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 15. 如图，和均为直角三角形，点为中点，若，，，则的长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意可证，由相似三角形的性质可得，根据点为中点，设，则，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴设，则，而，， ∴，则， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 16. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．由根与系数的关系可求得，，代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 17. 已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根数的性质，二次根式有意义的条件，一元二次方程的解法，先求解结合m是整数，可得，再分类计算确定m的值，后求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得； ∵ m是整数， 故， 当时，即，方程变形为， 解得，是整数解，符合题意， 故； 当时， ∵， ∴， 解得，， ∵ 方程的根都是整数，， ∴， 综上所述，符合题意的m值为， ∴， 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴ 2335是“会意数”．则．那么“会意数”，则_____；已知四位自然数是“会意数”，（，，且a、b、c、d均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是______． 【答案】 ①. 21 ②. 4117 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，涉及有理数的四则运算、整式的加减运算，理解新定义是解答的关键．根据新定义先求得，进而求得；根据新定义得到S各个数位上的数字，表示出S和，计算出，根据b、d的取值范围即可找到满足条件的S的最大值． 【详解】解：由“会意数”得， ∴； ∵四位自然数是“会意数”， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵恰好能被8整除， ∴是整数， ∴是8的倍数， ∵，，且b、d均为正整数， ∴要使S取最大值，则千位上的数字a取最大，则b取最小，则，， ∴满足是8的倍数，此时， ∴满足条件的数S的最大值是4117， 故答案为：21，4117． 三、解答题（本题共8小题，19小题8分，其余各题10分，共78分） 19. 计算： （1）. （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别运用完全平方公式以及平方差公式展开，再运算加减，即可作答． （2）先移项，再配方得，最后开方，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及等角的补角相等，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． （1）根据题意得和，进一步可得即可； （2）由得，结合平行四边形的性质可得即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 21. 同学们在学习了《相似三角形》之后，张老师给出了下面的问题： 如图，与中，斜边与相交于点，过点作于点．探究、、之间的数量关系，并证明． 下面是小李的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． （1）请在答题卡上完成尺规作图：过点作垂足为点． （2）请将①②③④⑤⑥补充完整并填写在答题卡上． ， ① ② ， ③ ④ ⑤ 小李进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：，请你帮他写出、、这三条线段之间的数量关系 ⑥ ． 【答案】（1） 解：如图所示，过点作垂足为点． （2），，，，， 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，相似三角形的性质与判定； （1）根据题意，过点作垂足为点； （2）根据相似三角形的性质与判定，完成填空，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 如果把题设中的三个垂直关系改为：， ， ，， ∴ 故答案为：，，，，，． 22. 已知关于的一元二次方程， （1）若方程有实数根，求的取值范围. （2）如果是满足（1）问的最大的整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求的值及这个方程的另一个根. 【答案】（1） （2），这个方程的另一个根为0 【解析】 【分析】（1）由题意，构建不等式即可解决问题； （2）先求出第一个方程的根，再求出的值即可解决问题； 本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵是满足（1）问的最大的整数， ∴， 依题意，当时，则整理原方程为， ∴， 则此方程的解为， 方程的一个根为2， ， ， ∴， ∴ 即 或0， 方程的另一个根为0． 23. 如图在中，，，过点作于点．动点，同时从点出发，点以每秒个单位的速度沿折线运动．点以每秒1个单位的速度沿线段运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，线段和线段的长度和记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出线段和线段的长度和不大于7时的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象是轴对称图形，对称轴是直线  （3）或 【解析】 【分析】（1）分两种情况，当时，点E在上，证明，得出，求出，则可求出函数关系式，当时，点E在上，同理可得，求出和可得出答案； （2）由题意先列表，再描点画出图象，写出函数的性质即可； （3）求解当时的值，再结合图象可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，点E在上， ∵， ∴， ∴； 由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，点E在上， 如图， 同理可得：， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴； ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 当时， 或， 解得：或， 当线段和线段的长度和不大于7时，即时， ∴或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，根据解析式画一次函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 24. 在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． （1）如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为3.5米，落在地面上的影长为6米，求树的高度． （2）如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为6米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少米？（结果保留根号） 【答案】（1）树的高度是6.5米 （2） 【解析】 【分析】（1）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高； （2）延长交延长线于点，然后根据物长和影长的比值计算即可． 【小问1详解】 延长、交于点， 根据物高与影长成正比得：， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 答：树的高度是6.5米． 【小问2详解】 延长交延长线于点，则，作于， 在中，，， ∴，， 在中， ∵同一时刻，长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 答：树的高度是米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线得到 的影长. 25. 八月，某文具店购进甲、乙两种文创笔记本共500个，总共花费3300元，甲笔记本售价6元，乙笔记本售价9元． （1）求文具店分别购进多少个甲笔记本和乙笔记本； （2）第一次购进的笔记本很快销售一空．临近开学，文具店又购进了相同总量的甲、乙笔记本，并推出了促销活动，每个甲笔记本的售价降低了，每个乙笔记本的售价便宜了元．为了尽可能多购入乙笔记本，文具店在（1）的基础上购买乙笔记本的数量增加了个，最终的总费用比第一次减少了元，求的值． 【答案】（1）购买400个甲种笔记本，则购买100个乙种笔记本． （2）m的值为20 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元二次方程的应用等知识点，正确列出一元二次方程、一元一次方程成为解题的关键． （1）设购买x个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，根据“总共花费3300元”，列出方程求解即可； （2）先求出现在每个甲、乙种笔记本的售价，再根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设购买x个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 根据题意得：，解得：，则． 答：购买400个甲种笔记本，则购买100个乙种笔记本． 【小问2详解】 解：根据题意得：现在每个甲种笔记本的售价为元， 每个乙种笔记本的售价为元， ， 整理得：，解得：． 因为尽可能多购入乙笔记本， ∴． 答：m的值为20． 26. 如图，在矩形中，点为线段上一个动点，过点E作交线段CD于点F． （1）若，，，求的长； （2）如图，若，，，连接交于点，求的长； （3）如图，连接，若平分，延长至点，使得，连接交线段于点，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据进行计算即可求解； （2）由（1）得出，过点作交于点，根据平行线分线段成比例得出，证明，得出比例式，代入数据即可求解． （3）根据已知条件证明，根据，证明，延长至，至，使得，补形为正方形，证明是菱形，由，设,则，设,则,在中，根据勾股定理得出的关系，进而求得，由（1）得，进而根据，等量代换得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， 则， ∴ ∴， ∴ ∵，，， ∴ 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 如图，过点作交于点， ∴， ∴， ， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 ∵平分， ∴, ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，,， ∴， 如图，延长至，至，使得， ∴四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 在中，， 在中，， 又， ∴， ∴， ∴，即是菱形， ∵， 又， 设,则， ∴， 设,则, ∵， ∴， 在中，，,, ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $