2023年第十六届中学生数理化生综合实践活动 九年级数学应用知识展示(A卷)

第十六届中学生数理化生综合实践活动 九年级数学应用知识展示(A卷 地区 学校 姓名。 信息卡号 测试说明: 1.必须在答题纸上答卷,否则成绩无效;选择题的答案涂到答题纸对应题目的标号上,非 选择题的答案书写在答题纸指定区域内. 2.请在答题纸和试卷上填写有效信息,考试时间为90分钟,满分100分, 3.成绩查询:2024年1月8日起,可通过指定网站(www.isuyang.cn)查询成绩 一、选择题(本大题共8小题,每题5分,共40分,每题只有1个选项是正确的) 1. 魔方又叫鲁比克方块,是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺 鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具,与华容道、独立钻石 棋一起被称为智力游戏界的三大不可思议,如图所示,三阶魔方可 以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的校三等分,然后沿 等分线把正方体切开所得,现将三阶魔方中1面有色的小正方体称 为中心方块,2面有色的小正方体称为边缘方块,3面有色的小正方体称为边角方块,若从所有 的小正方体中任取一个,恰好抽到中心方块的概率为( ). A.2B.8 C.D.# 2. A counting number is a perfect square if it can be expressed as the product of two equal counting numbers.For example,1,4,9 and 16 are perfect squares. Which of the following is a perfect square year in the 21st century? ( ). A.2050 B.2025 C.2023 D.2020 3. 古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理,它是使用天平称物 品的理论基础,当天平平衡时,左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与有盘物品质量的乘 积,某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10g黄金,售货员先将 5g的硅码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5g的码放入右盘,将另 一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金( ). A.大于10g B.小于10g {C.大于或等于10g D.小于或等于10g 九年级数学(A卷) 共4页 第1页 4.《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学 家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个间题的一般解法:如图甲所示,用对 角线将长和宽分别为5和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正 方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图乙所示的矩形 该矩形长为a十,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如 图内所示,设D为斜边BC的中点,作Rt△ABC的内接正方形的对角线AE,过点A作AF1 BC于点F,则下列推理不正确的是( ). B 善 )2 黄 黄 C 乙 甲 丙 2ab A.由图甲和图乙面积相等,可得d一 a十b B.由AE二AF,可得 2 2十{ , C.由AD二AE,可得 D. 由AD>AF,可得。+>2a b 245.5m-停车距离 5. 汽车急刹车的停车距离受诸多因 9.08s~停车时间 素影响,其中最为关键的两个因素是 219m 8.62s 驾驶员反应时间和汽车的行驶速度 197.6m 设d表示停车距离,d,表示反应距 _-制动距离 8.15s 离,d。表示制动距离,则d三d:十 d。,如图是根据某国公路局公布的 175.4m 7.69s 37.5m 试验数据制作的停车距离示意图,图 35.4m二 33.3m _-反应距离 中指针所指的内圈数据表示对应的 7.23s 31.3m 52.2m 车速v(km·h-1).根据图中的数据 _0 750 一0 29.2m 40 建立停车距离与汽车速度的函数模 KPH 27.1m 30 6.76s 5010{m3.06s 型.可选择下面模型进行拟合 135.6m 120 25m 10 70 #35 模型①:d-av十b, 630 22.9 20.8m18.7m 模型②:d-av*+bv. 118m* 16.7m3.99s 5.84s 46m 4.46 101m5.38 4.92s二 52.7m 85.4m 70.7m 九年级数学(A卷) 共4页 第2页 其中v为汽车速度,a,5为待定参数,则拟合效果最好的函数模型是 ). A.d-av十b B. d-a十b 6. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,用曲率刻画空间弯曲 性,规定;多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的 差(多面体的面的内角称为多面体的面角,角度用孤度制),多面体面 上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲 率之和,则正八面体(八个面均为正三角形)的总曲率为( ). A. 2π B.4π C.6r D.8n 7.某地毯生产商计划生产以三个相邻的正六边形为主要元素的两种地毯:如图甲所示,双向 延长线段AB,EF,CD,分别交于点G,M,N,设计一个三 角形地毯.如图乙所示,以O为圆心,OP为半径,设计一 个圆形地毯,记三角形地毯的面积为S,圆形地毯的面积 ). 甲 乙 273 C.27 D813 812 8. 将边长为2的正五边形ABCDE沿BE折叠,点A落在正五边形内部点M 处,则下列说法正确的是( ). A. 点E,M,C在同一条直线上 B. 点M是正五边形的外接圆圆心 . C.CM-ME D. 点M到直线CD,BE的距离相等 D 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分) 9.如图所示,要拧开一个边长为a一18cm的正六边形帽,扳手 行# 张开的开口至少为 cm. ,bedef 1 acdef 1, abdef 1 abcef =2, abedf 10.已知a,b,c,d,e,f都为正数; 2.b 8'd ._4 abcde -8,则a②十b*十c2+d十e”+f*- 11.如图所示,已知圆O的半径为5,且AB|CD,AB=CD=8,则阴 影部分的面积为 九年级数学(A卷) 共4页 第3页 12.若二次函数y=ax②十bx十c(a字0)的图象与x轴的交点坐标分别为(x,0),(x,0),且 <x,图象上有一点M(x。,y。)在x轴下方,则下列说法:①b-4ac>0;②x=x。是方程 a+bx+c=y。的解;③x1<x<x;④a(x。-x)(x。-x)<o;x。<x1或x。x.其 中正确的有__ 三、解答题(本大题共3小题,共40分) 13.(12分)已知x,x;是方程x2-(2+1)x+^*+2=0的两个实数根,试求(x-2)^+ (x-2)*的最小值. 14.(14分)如图所示,设m>0,抛物线y=x*十(2m十1)x- 2m一n与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),不等边三 角形的两边长为方程x*一5x十(n十4)一0的解,第三边长为4 点O为坐标原点,以OA,OB为直径分别作圆O.、圆O。,直线 GH与圆O:相切于G,与圆O;相切于H,交:轴于点E,且直 线GH与x轴的夹角为30* (1)直接写出方程x+(2m+1)x-2m-2-0的解 (2)求n的取值范围; (3)当n为满足(2)的正偶数时,求直线GH的方程 15.(14分)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的边BC 与x轴重合,顶点A在y轴的正半轴上,线段OB,OC(OB< OC)的长是关于x的方程x*-7x十6一0的两个根,且满足 CO-2AO. (1)求直线AC的解析式 (2)若P为直线AC上的一个动点,过点P作PD|x轴 垂足为D,PD与直线AB交于点Q,设△CPQ的面积为S(S去0),点P的横坐标为a,求S 与a的函数关系式 (3)点M的坐标为(n,2),当△MAB为直角三角形时,求zn的可能取值 九年级数学(A卷) 共4页 第4页 第十六届中学生数理化生综合实践活动 九年级数学参考答案 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A B B C A 1.A 沿等分线把正方体切开，得到27个同样大小的小正方体，1面有色的小正方体有6个，2面有色的小正方体有12个，3面有色的小正方体有8个， 所以恰好抽到的是中心方块的概率是． 故选：A. 2.B 3.A 由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设）， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小：（作差比较法） 因为， 因为，所以，即. 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A 4、A 对于A：由图甲和图乙面积相等得，所以，故A不正确； 对于B：因为，所以，所以， 设图丙中内接正方形边长为t，根据三角形相似可得，解得， 所以，因为，所以，整理可得，故B正确； 对于C：因为为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D：因为，所以，整理得：，故D正确； 故选：B 5、B 若选择模型①，则，解得，， 故， 当时，停车距离d的预测值为， 若选择模型②，则，解得，， 故， 当时，停车距离d的预测值为， 若选择模型③，则，解得，， 故， 当时，停车距离d的预测值为， 若选择模型④，则，解得，， 故， 当时，停车距离d的预测值为， 由实验数据可知当时，停车距离为， 故模型②的预测值更接近，故模型②拟合效果最好. 故选：B. 6、B 正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶点， 因此，该正八面体的总曲率为. 故选：B. 7、C 如图1，连接，，延长交于点，如图2，连接． 设正六边形的边长为． 如图1中，在中，，，， ，，，，， ， 图2中，，，． 故选：C． 8、A 对于A，如图，连接， 五边形是正五边形， ， ， ， 正五边形沿对角线折叠， ， ， ∵CD=ED，中，， ， ∴E，M和C三点共线， 即E，M和C三点在同一条直线上；选项正确，符合题意； 对于B，连接， ∵正五边形沿对角线折叠， ∴，， ∴， ∴点不是这个五边形外接圆圆心；选项错误，不符合题意； 对于C，∵正五边形沿对角线折叠， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即：；选项错误，不符合题意； 对于D，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点过，交分别于点， 则：， ∵，∴，∴， ∵， ∴，即点M到直线、的距离不相等，选项错误，不符合题意； 故选A． 二、填空题（每小题5分，共20分） 9 10 11 12 ①②④ 9、 设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，∴，∴， 故答案为： 10、 解：由，，，，，， 可将每个等式的左右两边相乘得：， ∴，， ∴， 同理可得：，，，，， ∴； 故答案为． 11.. 解析：如图，设AB交CD于点G，连接AD，OD，OB，BD，过点O作OE⊥CD于点E，作OF⊥AB于点F，则AF＝BF＝AB=4。在Rt△BOF中，。同理，可求OE＝3。因为，所以四边形OEGF是矩形。因为OE=OF=3，所以四边形OEGF是正方形，所以GF＝OE＝3，所以AG＝AF－GF＝4－3＝1。同理，可求DG＝1＝AG。因为，所以，所以所以易得 12、①∵二次函数（）的图象于x轴的交点坐标分别为，，且， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，①正确； ②∵图象上有一点， ∴， ∴是方程的解，②正确； ③当时，∵在x轴下方， ∴； 当时，∵在x轴下方， ∴或，③错误； ④∵二次函数（）的图象与x轴的交点坐标分别为，， ∴， ∵图象上有一点在x轴下方， ∴，④正确； ⑤根据③即可得出⑤错误． 综上可知正确的结论有①②④． 三、解答题（共40分） 13. (12分) 解：方程的两个实数根， ， （2分） 解得， （2分） ，是方程的两个实数根， ，， （2分） ， （4分） 当时的最小值为． （2分） 14. (14分) 解：， 即， 解得：或； （4分） ， 则，， ， ， ，故， 或 解得； （4分） 当n为满足的正偶数时，， 物线， 由得，点A、B的坐标分别为：、， （2分） 故圆、的半径分别为：，， 在中，，， 则，故点， （2分） 直线HG的倾斜角为， 设直线HG的表达式为：， 将点E的坐标代入上式并解得：， 故直线HG的表达式为：。 （2分） 15. (14分) (1)解方程得，， ∵线段OB，OC（）的长是关于x的方程的两个根， ∴OB＝1，OC＝6， ∴，， ∵CO＝2AO， ∴OA＝3， ∴， （2分） 设直线AC的解析式为， 把点，代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为； （2分） (2)解：设直线AB的解析式为y=px+q， 把，代入直线AB解析式得， 解得， ∴直线AB的解析式为， （2分） ∵PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，点P的横坐标为a， ∴，，， ∴，， ∴， 当点P与点A或点C重合时，即当a=0或时，此时S=0，不符合题意， 当时，， 当时，， 当时，， 综上， (3)解：∵，，， ∴，，， 当∠MAB=90°时，， ∴， 解得， （2分） 当∠ABM=90°时，， ∴， 解得m=7， （2分） 当∠AMB=90°时，， ∴， 解得，， （2分） ∴m的值为－3或－1或2或7． 学科网（北京）股份有限公司 $