河北省2024-2025学年九年级上学期期末数学专题复习圆部分重难点专项练习

河北省2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 圆部分重难点专项练习 本资料以2023年河北省各大区期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，为的直径，点C，D在圆上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，四边形内接于为延长线上一点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，是半圆O的直径，D是的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河北保定·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．3米 C．2米 D．1.5米 6．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，OA，是的两条半径，且，点C在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，，，P是上的一点，于点H，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，两根等长金属丝各自首尾相接，分别围成正方形和扇形，使，，设正方形面积为P，扇形面积为Q，那么P和Q的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 9．（23-24九年级上·河北张家口·期中）如图，点是的六等分点．若，的周长分别为，，面积分别为，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，将边长为4的正方形铁丝框ABCD(面积记为)变形为以点B为圆心，BC为半径的扇形(面积记为)，则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 11．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 12．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，点A，B在上，，点C在上，且，连接，，则的形状为 三角形．若，则 ．    13．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ． 14．（23-24九年级上·河北唐山·期末）某打卡点“戒指桥”的数学模型如图所示．线段是其中一条拉索，点在圆上，点、是圆和水平桥面的交点．小明测得，，且在点和点观测点的仰角均为，则 ，“戒指”的半径为 ． 15．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，点C在弦上，，，，则半径为 ． 16．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径为，碗底与平行，倒汤时碗底与桌面的夹角为． （1） ； （2）汤的横截面积（图3阴影部分） ． 17．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图1装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，为台面截线，． （1）在图1中，过点作于点，若，则 ； （2）如图2，将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，但不能使水溢出，则的最大长度为 ．（参考数据：，结果保留） 18．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在矩形ABCD中，，，为左侧一点，且，连接，N为的中点，为直线上一点，且，连接． （1）若，则 ． （2）的最大值为 ． 三、解答题 19．（24-25九年级上·河北沧州·期末）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 20．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 21．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点，为的中点． (1)直接写出圆心的坐标：__________，这个圆的半径为__________． (2)求扇形的面积． 22．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将向右平移4个单位得到，画出； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转，得到，画出； (3)求出在（1）（2）过程中所扫过的面积．（结果保留π） 23．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，某隧道的横截面可以看作由半圆O与矩形组成，所在直线表示地平面，E点表示隧道内的壁灯，已知，从A点观测E点的仰角为，观测C点的俯角为（参考数据的值取4）．    (1)求长； (2)求壁灯的高度． 24．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，．    (1)求的度数． (2)求弧的长． (3)移动点，使为弧的中点，请直接写出此时的长． 25．（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为、，，求的半径． 26．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 27．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图1，直角三角板和一个量角器拼在一起，，三角板的斜边与量角器所在圆的直径重合，长度为4.量角器最外缘的读数是从点开始（即点的读数为0），现有射线CP绕点C从CA方向顺时针旋转，在旋转过程中，若射线CP与量角器的半圆弧有交点，记交点为. (1)当射线与的外接圆相切时，为________； (2)如图2，当射线经过的外心时，求处的读数及线段扫过的面积； (3)连接，当时，求的度数. 28．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图1，在中，．如图2，点E为边的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到． (1)求的长． (2)当时， ①求证：； ②求的长． (3)当经过的外心时，直接写出的度数． 29．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1~图3，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点和点重合时，线段的长为_________； (2)如图2，当点和点重合时，求； (3)如图3，当点在边上运动时，直接写出的形状和其外接圆半径的最小值 参考答案： 1．C 【分析】本题考查了圆的基本性质，直角三角形的特征，连接，由同弧所对的圆周角相等得，由直径所对的圆周角是直角得，由直角三角形的特征即可求解；掌握圆的基本性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ， ， 为的直径， ， ， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了圆的内接四边形对角互补，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选D． 3．A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，先根据邻补角互补求出，再根据圆内接四边形对角互补求出，再由圆周角定理得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， ， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆内接四边形的性质．根据D是的中点，得到，得到，进而得到，推出，再根据圆内接四边形的对角互补，求解即可． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5．C 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识．连接交于点．利用垂径定理以及勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：连接交于点． 由题意， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 故选：C． 6．A 【分析】题考查圆周角定理，解题的关键是判断出，再利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，直径所对的圆周角是直角和勾股定理，当与的交点D落在上时，因为是直径，可以判定，证明推出，同理得到，进而证明垂直平分，求出的长度，进而求出的长度，最后证，即可求出的长度． 【详解】解：如图所示，当与的交点D落在上时， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查考查扇形的面积，先求出正方形的面积P，然后利用扇形的面积公式求出Q是解题的关键． 【详解】解：正方形面积，扇形面积，其中l为扇形弧长，等于正方形个边长，r为扇形半径，等于正方形边长，则． 故选B． 9．D 【分析】连接，根据等弧所对的圆周角和弦相等，得到，，再根据等边对等角的性质，得到，进而推出，得到，再根据三角形中线的性质，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 点是的六等分点， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是中点， ， ，即， 故选：D 【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角和弦相等，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，三角形中线的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 10．B 【分析】本题考查正方形的性质，扇形面积公式， 先用正方形面积公式求出正方形面积，再根据题意结合图形得出，，利用扇形面积与弧长的关系式求出，从而比较得解．熟练掌握扇形面积公式是解题关键． 【详解】解：根据图形可得：，弧长，即的长， ∴，， ∴， 故选：B． 11． 【分析】取点在上的对应点E，连接，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再解直角三角形求得，然后利用勾股定理求得，易证得是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点为点， ∴根据折叠的性质有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 12． 等边 1 【分析】本题考查了圆心角，弧的关系，等边三角形的判定，特殊角的三角函数值，根据圆心角，特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】∵，点C在上，且， ∴， 解得， ∵， ∴是等边三角形， 故答案为：等边；    如图，过点B作于点D， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 故答案为：1． 13． 【分析】如图1，设圆心为，连接，则，由圆周角定理可得，由勾股定理得，，计算求解即可；设到的距离为，由题意知，，则当最大时，最小，当时，最大，如图1，作于，由垂径定理可得，由勾股定理得，，则，然后求阴影部分面积即可． 【详解】解：如图1，设圆心为，连接，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 设到的距离为， 由题意知， ， 当最大时，最小， ∴当时，最大，如图1，作于， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积，垂径定理等知识．熟练掌握圆周角定理，勾股定理，扇形面积，垂径定理是解题的关键． 14． 【分析】第1空，因为在点和点观测点的仰角均为，与互补，即可求出结果；第2空，取，的中点，分别为，，作与的中垂线，，交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，则点为该圆圆心，为该圆半径，先求得的值，证得四边形是矩形，，再证得，在中，求得，最后运用勾股定理，在中，求得的长． 【详解】解：在点和点观测点的仰角均为， ，， ， 如图，取，的中点，分别为，，作与的中垂线，，交于点，过点作，交于点，过点作交于点，连接，则点为该圆圆心，为该圆半径， ∵为中点，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵为中点，， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，故“戒指”的半径为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆的性质，解三角形，矩形的性质及判定，勾股定理的运用，题目综合性强，灵活运用以上几何知识是解题的关键． 15．20 【分析】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理，过点O作与点D，连接，根据垂径定理求出，在利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：过点O作于点D，连接， ∵，， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 即半径为20， 故答案为：20． 16． 【分析】（1）延长与交于点H，设的中点为O，连接，过O点作交于点G，根据平行线的性质可求，则，根据直角三角形的性质即可得出的长； （2）根据阴影部分的面积扇形的面积的面积即可得出结论． 【详解】解：（1）延长与交于点H，设的中点为O，连接，过O点作交于点G， 与成角为，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 故答案为：； （2）由（1）知，，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，扇形的面积，熟练掌握平行线的性质，扇形面积的求法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 17． 8 【分析】（1）连接，，由题意得，根据垂径定理和勾股定理得，即可求得； （2）当点D和点B重合时，水不溢出，且的长度最大，连接和，根据和求得，结合圆周角定理得，利用弧长公式即可求得答案． 【详解】解：（1）连接，如图： ∵水槽横截面是以为直径的半圆，且， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴， 则． 故答案为：8； （2）水槽向右滚动时，的长度会发生变化，当点D和点B重合时，水不溢出，且的长度最大，连接和，如图， 则， ∵，水槽横截面是以为直径， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的相关知识，涉及垂径定理、勾股定理、解直角三角形、圆周角定理和弧长公式，解题的关键是熟悉圆的知识并找到满足题意的临界点． 18． 【分析】本题考查含的三角形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，根据直角所对的弦是直径确定点M的运动路径是解题的关键． （1）直接利用所对的直角边等于斜边的一半求出长，然后利用勾股定理计算即可； （2）现根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，然后根据，得到点在以为直径的半圆O上运动，当过圆心时，最大，即最大，根据勾股定理求出即可解题． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∴， （2）∵，N为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的半圆O上运动，如图，当过圆心时，最大，即最大， 这时，， ∴， ∴， 故答案为：；． 19．水的最大深度为． 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，交于点， ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为． 20．(1)证明见解析； (2)在旋转过程中点扫过路径的长为． 【分析】（）由四边形是菱形，，则，由旋转性质可知，，则，最后根据即可求证； （）连接交与，根据菱形的性质可得，，，由角所对直角边是斜边的一半得，再由勾股定理得，利用弧长公式即可即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：连接交与， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由旋转性质可知：， ∴弧的长为， ∴在旋转过程中点扫过路径的长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，弧长公式，角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21．(1)，； (2)． 【分析】（）根据勾股定理，可得到为直角三角形，为的直径，即可求解； （）求出圆心角的度数，直接利用扇形面积公式计算即可求解； 本题考查了勾股定理，垂径定理的推论，圆周角所对的弦是直径，扇形的面积，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵是上的三个点， ∴为的直径， ∴圆心的坐标为，半径为， 故答案为：，； （2）解：连接， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴扇形的面积． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键． ①根据平移的性质作图即可． ②根据旋转的性质作图即可． ③利用勾股定理求出A1B1的长，进而可利用扇形面积公式求出扇形A1B1B2的面积，再根据平行四边形的面积公式求出平行四边形ABB1A1面积，与扇形A1B1B2的面积相加即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如上图，即为所求． （3）由勾股定理得， 在①②过程中所扫过的面积为： ． 23．(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质．解题的关键是添加辅助线构造直角三角形． （1）连接，圆周角定理得到，在中求出的长，求解，再利用弧长公式计算即可； （2）过点作，求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接，，    由题意，得：为的直径，，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴；   ∴的长为． （2）如图，过点作，则：， ∵， ∴，    ∴， ∴壁灯的高度为：． 24．(1) (2) (3)6 【分析】（1）由是的直径，得到，则可得到，根据圆内接四边形对角互补可得； （2）如图所示，连接，由圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可； （3）如图所示，过点D作于E，由含30度角的直角三角形的性质得到；再证明，由三线合一定理得到，求出，则． 【详解】（1）解；∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长；    （3）解：如图所示，过点D作于E， 在中，， ∴； ∵为弧的中点， ∴弧与弧相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，弧与弦之间的关系，求弧长等等，正确作出辅助线是解题的关键． 25．的半径是4． 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理．根据垂径定理求出，根据题意推出四边形是正方形，根据正方形的性质得到，根据垂径定理求出，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形 连接， ∵， ∴， 在中，， ∴的半径是4． 26．(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案； （2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中， ， ， 的长为； （2）过作，连接， 由题得，， 在中，， ， ， 水面截线减少了． 27．(1) (2)60； (3) 【分析】（1）连接，如图所示，根据切线的性质，得，根据等腰三角形的性质，得，从而求得射线旋转度数； （2）根据题意，可知线段扫过的面积是半圆及直角三角形，结合题意，利用等腰三角形性质、邻补角定义得到，再由含的直角三角形性质得到相关边长后，利用圆的面积公式及直角三角形面积公式，代值求解即可得到答案； （3）由（2）得的外接圆就是量角器所在的圆，结合题中条件，利用圆周角定理、等腰三角形性质、及直径所对的圆周角是直角等性质，数形结合即可得到，从而确定答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 射线与的外接圆相切， ， ， ， 射线旋转的度数是， 故答案为：； （2）解：， 的外接圆就是量角器所在的圆，当过的外心时（即过点）， ， ， ，即处的读数为60； 在中，，，则，， 边上的高为， 扫过的面积为； （3）解：连接，如图所示： 由（2）得的外接圆就是量角器所在的圆， ， 当时，， ，即的度数为． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形外切圆、切线性质、旋转性质、等腰三角形性质、邻补角定义、圆周角定理、含的直角三角形性质、直径所对的圆周角是直角、圆的面积公式、直角三角形面积公式及量角器测量角度等知识，读懂题意，掌握量角器测量角度的方法求解是解决问题的关键． 28．(1) (2)①见解析② (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，作高化斜为直解直角三角形，特殊角的三角函数值，圆的外心，线段的垂直平分线， （1）过点A作于点M，利用特殊角的函数值计算即可． （2）①根据沿将折叠得到，得到．结合，得到，继而得到，结合，利用公共角相等证明即可． ②利用三角形相似，列出比例式计算即可． （3）根据经过的外心，得到点P一定在线段的垂直平分线上，结合，得到，，结合，得到点P是（1）中的交点，，结合沿将折叠得到，得到，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）过点A作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）①∵沿将折叠得到， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． ②∵ ∴． ∵点E为边的中点，， ∴． ∴， 解得． （3）∵经过的外心， ∴点P一定在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴，， ∴点P是（1）中的交点， ∵， ∴， ∵沿将折叠得到， ∴，， ∴， ∴． 29．(1) (2) (3)等腰直角三角形， 【分析】（1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）证明，得到，即可得出结果； （3）过点作，证明，得到，得到为等腰直角三角形，根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边上的中点，得到半径为，根据，得到当最小时，半径最小，求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 当点和点重合时， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴； （2）当点和点重合时， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； （3）过点作，则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴的外接圆的圆心为的中点， ∴半径为， ∴当的值最小时，半径最小， ∵， ∴的值最小时，半径最小， ∵在上运动， ∴当时，最小，此时四边形为矩形， ∴， ∴， ∴半径的最小值为： 学科网（北京）股份有限公司 $$