河北省2024-2025学年九年级上学期期末数学专题复习图形的相似部分重难点专项练习

河北省2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 图形的相似部分重难点专项练习 本资料以2023年河北省各大区期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）若两个相似五边形的相似比为，则它们的面积比为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，如图，点，，，均在格点上，连接，相交于点，若小正方形的边长为1，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，与位似的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个及个以上 5．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在□ABCD中，E是BC的中点，DE，AC相交于点F，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，E为边上的一点，，D为的中点，连接并延长交于F，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，若和位似，且位似中心是原点O，，则和的周长比是（   ） A．2 ：1 B．2 ：3 C．3 ：2 D．9 ：4 9．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）在等边三角形中，，延长至点，使，在上方作等边三角形，点在边上，，连接交于点，交于点，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，分别是反比例函数和在第一象限内的图像，点A和点在上，线段OA交于点，线段OD交于点．下列结论中正确的为（    ）． A． B． C．为中点 D． 12．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，正方形 和正方形 的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．是的中点，且的平分线过点交于点连接交于点，连接交于点．给出以下结论∶①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 13．（23-24九年级上·河北保定·期末）若，则 ． 14．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图， 在平面直角坐标系中有点和点，连接、．若将 各边都扩大为原来的2倍，则A的对应点 C的坐标为 ． 15．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，与位似，点O为位似中心，，的周长为5，则的周长为 ． 16．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为m，树的顶端在水中的倒影距自己m远，淇淇的身高为m，则树高为 m．    17．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在矩形中，，点、均在对角线上，且，若线段和之间的距离为6，则的长为 ． 18．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，是斜边上的中点，将绕点旋转，使得点落在射线上的点处，点落在点处，边的延长线交边于点．如果．．那么的长为 ；的长为 ． 19．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，是的三等分点，. （1）若，则 ； （2） . 20．（23-24九年级上·河北保定·期末）定义：如图1，若点在的边上，且满足，则称点为的“理想点”． （1）如图2，若点是的边的中点，，则点 （填“是”或“不是”）的“理想点”； （2）在中，，点在边上，且是的“理想点”，则长为 ． 三、解答题 21．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在中，于点D，于点E，交于点F，，，，求的长． 22．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，点D是边上一动点（不与B，C重合），，交于点E． (1)求证：； (2)当时，求的长度． 23．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，平分，D为的中点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 24．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，是等边三角形，点D，B，C，E在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)探究，，之间的数量关系，并说明理由． 25．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，已知中，，点D、E分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 26．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)点是线段上一点，满足交于点． ①求证：； ②若，求的长． 27．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，在矩形中，，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点． (1)如图1，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明； (2)如图2，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；（用含的式子表示） (3)若，连接交于点，连接，当时，直接写出的长． 28．（23-24九年级上·河北沧州·期末）在中，，，.点在线段上运动，过点作的垂线交线段（如图1）或线段的延长线（如图2）于点． (1)当点在线段上时，求证：； (2)当点与点重合时，求的长； (3)若点从点以每秒2个单位长的速度向点运动，求点与点的距离不大于1的时长； (4)当为等腰三角形时，直接写出的长． 29．（23-24九年级上·河北保定·期末）【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的琪琪同学发现关于三角形角平分线的一个结论：如图①，已知是三角形的角平分线，可以得到．琪琪同学的证明思路是这样的：如图②，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形可以证明． 【尝试证明】请你参照琪琪同学的思路，利用图②证明该结论； 【知识迁移】利用以上结论进行计算：若在图①中，，，，则______； 【应用拓展】如图③，已知在中，，，，，求的长．（直接写出结果） 30．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在等腰三角形中，，，点从点出发向终点运动，过点作交折线于点，设．    (1)______；（用含的代数式表示） (2)连接，设的面积为，求与的函数表达式，并指出当取何值时，有最大值； (3)如图，当点在边上时，作点关于点的对称点，取的中点，当时，求的长； 参考答案： 1．C 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了相似比、相似多边形的性质及计算，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质求解即可得出答案． 【详解】两个相似五边形的相似比为， 它们的面积比为， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质． 如图，连接，证明，则，即，由求出的值，进而可得的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，故， ， ， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了位似图形的定义，根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，即可判断，解题的关键在于位似图形对应顶点的连线交于一点，因此需熟练掌握位似图形的定义才能更好的解决本题． 【详解】解：旋转的过程中，只有当点落在线段和线段的延长线上时，与位似， ∴有两个位置， 故选：． 5．A 【分析】本题考查相似多边形，根据原矩形的长放大后矩形的长即可得到相似比，熟练掌握相似图形面积比是相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵放大前后的两个矩形相似， ∴相似比为， ∵放大前的矩形图片的面积为， ∴放大后的矩形图片的面积为， 故选：． 6．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质，由平行四边形的性质得出，得到，得出，再根据三角形中线平分三角形面积即可得出． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形，E为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 设点到的距离为， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．过点A作交的延长线于点G，先证明，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点G． ∵， ∴． 又∵D为的中点， ∴． 在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查位似相似比，周长比等于相似比．根据题意利用周长比等于相似比即可得到本题答案． 【详解】解：∵和位似，， ∴， ∴和的周长比是：3 ：2， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，由等边三角形可证到，得到，再证明，得到相似比为，进而得到，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵和为等边三角形， ∴，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，相似比， ∴， 故选：． 10．B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：依题意，, ， ， ∴，， ∴， 而，，与不相似， 故选：B． 11．D 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识点，理解反比例函数中k的几何意义是解题的关键． 分别过B、A作轴，轴，即；根据反比例函数中k的几何意义可得；再证可得，进而得到，即可，可判定D选项符合题意． 【详解】解：如图：分别过B、A作轴，轴，则 ∴ ∵， ∴， ∴， 同理：，即： ∴，即,故D选项正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即A选项错误； ∵， ∴，即C选项错误； ∵， ∴点为不一定为中点，故B选项错误． 故选D． 12．A 【分析】①先利用正方形的性质证明，然后有，通过等量代换可得，则，即可判断①的正误； ②首先证明 ，则有，进而可得，由此可判断②的正误； ③通过直角三角形斜边中线的性质得出点H在正方形的外接圆上，然后根据圆周角定理的推论得出，即可判断③的正误； ④先得出是的中位线，则，然后根据平行线分线段成比例得出 ，则有，进而可求出 ，又因为 ，则可判断④的正误． 【详解】∵四边形和四边形是正方形， ∴ ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ∵平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故②正确； 是直角三角形，是的中点， ， 点H在正方形的外接圆上， ， ， ，故③正确； ∵四边形是正方形，．是的中点， ∴， ， ， ， 是的中位线， ， ， ∴， ， ， ， 与高相同， ， ， ， ，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值．熟练掌握比例的性质，代数式求值是解题的关键． 由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变化的性质是解题的关键．根据位似变换的性质，将点A的横、纵坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，O为位似中心，且相似比为2，且， ∴点A的对应点C坐标为． 故答案为：． 15．15 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据与位似，可得，，再证，推出，可得与的周长比为，即可求解． 【详解】解：与位似，点O为位似中心， ，， ，， ， ， 与的周长比为， 的周长为5， 的周长为：， 故答案为：15． 16． 【分析】本题考查相似三角形的应用，由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，可得两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示：    ∵入射光线和反射光线与镜面的夹角相等， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴树高为m． 故答案为： 17． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．延长，交于点，过点作于点，可得，证明，可得，所以，再证明，可得，所以，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，延长，交于点，过点作于点， ， ， ， 四边形是矩形， ∴，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 解得． 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，勾股定理；如图，连接．根据勾股定理求得，根据旋转的性质求得，证明，推出，证明垂直平分线段，再证明，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ．． ， 将绕点旋转，使得点落在射线上的点处， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分线段， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 19． 6 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键． （1）由于，那么，根据及相似三角形的性质可得结果． （2）由相似三角形的性质可得结果． 【详解】解：（1）， ， ， ，是的三等分点， ， ， ， 故答案为：6； （2）， ，是的三等分点， ， ， ； 故答案为：． 20． 是 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，当在上时，证明是边上的高，根据面积法以及勾股定理可求长度． 【详解】解：（1）是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； 故答案为：是； （2）在上时，如图：    是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ∴． 故答案为：． 21． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，． 22．(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质， （1）根据三角形内角和定理及等腰三角形性质即可判定出； （2）利用相似三角形性质即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：当时，， 由（1），得， ∴， ∴， 又∵， ∴． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 24．(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由相似三角形的判定可证； （2）由相似三角形的性质可得，即可求解． （3）由相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ； （2）∵， ∴， ∵，，为等边三角形， ∴， ∴， ∴，经检验，符合题意； （3）， ， 是等边三角形， ， ． 25．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）由相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：在中， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， . 26．(1)详见解析 (2)①详见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，证明，推出，即可解答； （2）①通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，②把数值代入①中比例线段列方程即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， ， ， ； （2）①正明： 四边形是平行四边形， ， ， ， ； ②解：由①得， ，即， ． 27．(1)，证明见解析； (2)，证明见解析； (3)的长为或． 【分析】（1）利用矩形的性质，证明，即可得出结论； （2）利用矩形的性质，证明，得到，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当点在上时；当点在的延长线上时，先利用勾股定理求出的长，再根据相似三角形的性质，得出和的长，然后由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：，证明如下： ， 四边形矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，当点在上时， 四边形是矩形，， ，，， ， ， 在中，， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点在的延长线上时， 四边形是矩形，， ，，， ， 在中，， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 28．(1)见解析 (2)； (3)秒； (4)或6 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）说明再结合即可证明结论； （2）先用勾股定理求得，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （3）分点在线段上和延长线上两种情况，分别求得所需的时间，然后作差即可； （4）分点在线段上和延长线上两种情况，分别根据等腰三角形的性质以及相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ，， ． （2）解：在中，， 由（1）知， ，即，解得：． （3）解：①当点在线段上时，若，则， ∵， ∴ ， ，解得：， ∴运动的时长为（秒）； ②当点在线段的延长线上时，若，则， ∵， ∴， ， 点运动的时长为（秒）； 综上，求点与点的距离不大于1的时长为（秒）． （4）解：如图1，当点在线段上时， 若为等腰三角形，则， ∵， ∴，即，解得：， ； 如图2，当点在线段的延长线上时，若为等腰三角形，则， ， ， .，， ， ， ， ． 29．（1）见解析；（2）4；（3） 【分析】（1）由题意知，，由，可得，，则，证明，则，； （2）由（1）可知，，即，计算求解即可； （3）如图3，将沿折叠得到，由题意知，，由折叠的性质可得，，，，则是的平分线，由，，，，可得三点共线，是直角三角形，由勾股定理得，由（1）可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴，即， 解得， 故答案为：4； （3）， 解：如图3，将沿折叠得到，    由题意知，， 由折叠的性质可得，，，， ∴是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线，是直角三角形， 由勾股定理得， 由（1）可得，即，解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，折叠的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 30．(1)； (2)当时，有最大值是； (3)的长． 【分析】（）根据线段和差即可求解； （）作，垂足分别为，由勾股定理求出，当点在上时，即时，证明，从而得出，求出，再利用面积公式求出即可，当点在上时，即时，证明，从而得出，求出，再利用面积公式求出即可； （）作，垂足分别为，由（）可知，则，求出，则，然后根据相似的性质即可求解； 此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质和勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据线段和差可知：当时，， 故答案为：； （2）解：作，垂足分别为，    ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得， 当点在上时，即时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ， ， ∵，当时，随的增大而增大，当时，有最大值是， 当点在上时，即时，如图，作，垂足分别为，    ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，当时，随的增大而减小， 综上所述当时，有最大值是， （3）作，垂足分别为，    由（）可知， ∴， ∴， ∴， ∵点点关于点的对称， ∴， ∴， ∵点是的中点，且， ∴， ∴， ∴， ∴，即的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$