北京市2024-2025学年九年级上学期期末数学专题复习圆部分重难点专项练习

北京市2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 圆部分重难点专项练习 本资料以2023年北京市各大区期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（    ）    A．108° B．116° C．126° D．128° 2．（23-24九年级上·北京·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为（    ） A．2 B． C． D． 4．（23-24九年级上·北京顺义·期末）已知.如图， （1）连接； （2）作弦的垂直平分线，分别交，弦于C，D两点； （3）作线段的垂直平分线，，分别交于E，F两点，交弦于G，H两点； （4）连接 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 6．（23-24九年级上·北京西城·期末）如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·北京门头沟·期末）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的直径为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图，等边三角形的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为． 将绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点C第一次落在上时，旋转角为； ②当第一次与相切时，旋转角为． 则结论正确的是（    ） A．① B．② C．①② D．均不正确 9．（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，点，在上，且点，，不在同一条直线上，点是上一个动点（点不与点，重合），在点运动的过程中，有如下四个结论：①恰好存在一点，使得；②若直线垂直于，则；③的大小始终不变．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或； ④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 二、填空题 11．（23-24九年级上·北京·期末）如图，的半径为，弦的长为，，交于点，交于点，则 ． 12．（23-24九年级上·北京丰台·期末）一个扇形的半径是6，其圆心角是，则圆心角所对的弧长为 ． 13．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，．若的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．    14．（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，的内切圆与，,相切，切点为D,，，若，，则周长为 ． 15．（23-24九年级上·北京海淀·期末）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ． 16．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则 ． 17．（23-24九年级上·北京东城·期末）如阁，A，B，C是上的三个点，若，则的大小是 ． 18．（23-24九年级上·北京平谷·期末）如图，在中，是的直径，，是上的点，如果，那么的度数为 ． 19．（23-24九年级上·北京通州·期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为8米，轮子的半径为5米，则轮子的吃水深度为 米． 20．（23-24九年级上·北京西城·期末）如图，在三角尺中，，，．把边放在直尺上，让三角尺在桌面上沿直尺按顺时针方向无滑动地滚动，直到边再一次落到直尺上时停止滚动．三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点顺时针旋转了 ，记为． 有以下三个结论： ①第一次滚动的过程中，点运动的路径长为； ②第二次滚动可记为； ③点，点，点在滚动全程中，运动路径最长的是点． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 21．（23-24九年级上·北京西城·期末）如图，是的弦，半径，垂足为．，，求的半径． 22．（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为， (1)画出旋转后的，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长结果保留． 23．（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，使得． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 24．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，是外一点，与相切，切点为．画出的另一条切线，切点为．小云的画法是： ①连接，过点画出的垂线交于点； ②画出直线． 直线即为所求． (1)根据小云的画法，补全图形； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ，， 垂直平分，． ① ． ② ． ． 是的切线，为切点， ． ． ． 于点． 是的半径， 是的切线（③ ）（填推理的依据）． 25．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，在中，． 求作：，使得的三个顶点都在上． 作法： ①作边的垂直平分线，交于点O； ②以点O为圆心，长为半径作圆． 则为所求作的圆． (1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 由作图可知，， 点B在上， 在中，， （）（填推理依据）． ． 点C在上． 的三个顶点都在上． 26．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，是的直径，于点E，. (1)求证：； (2)若的半径为2，求，的长. 27．（23-24九年级上·北京平谷·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，作过点、、的圆． (1)依题意补全图形； (2)圆心坐标为______； (3)劣弧的弧长为______； (4)若点为圆上任意一点（不与、点重合），则的度数为_____． 28．（23-24九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转180°可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段为以点P为中心的“关联线段”． (1)如图，已知点，，，，在线段，，中，以点P为中心的“关联线段”是______； (2)已知点，线段是以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标的取值范围； (3)已知点，若直线上存在点F，使得线段是以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围． 29．（23-24九年级上·北京平谷·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点、点，连接，若点为平面上一点，且为等边三角形，则称点为线段的“关联点”． (1)已知点和点，点为线段的“关联点”，直接写出点的坐标______； (2)若，，点是线段上一点，点为线段的“关联点”，当点在右侧时，判断与的位置关系，并证明； (3)半径为2，点是上一点，点，若点为线段的“关联点”，直接写出长度的最大值和最小值． 30．（23-24九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，的半径为．给出如下定义：过外一点做直线与交于点、，若为线段的中点，则称线段是的“外倍线”．    (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，的“外倍线”是______； (2)的“外倍线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)如图，若的“外倍线”，的坐标为，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 2．D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为， ∴点经过的路径长为， 故选C． 4．B 【分析】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息．本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息． 【详解】解：由作图可知，，， ∵垂直平分弦， ∴，且直线过圆心， ∵，分别垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ，且， ∴四边形是矩形， ， 故选项A，C，D正确， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 6．D 【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 7．C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意知，，则， 设的半径为，则， 在中，， ， 解得， ∴此管件的直径为， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键． ①当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得； ②当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，先求出，，，即可得出结论． 【详解】解：①当点C第一次落在上时， 连接， ，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 三点共线， ， ， ， ， ，故①正确； 当与相切时，连接并延长与交于点M，连接， 是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当第一次与相切时，旋转角为，故②错误， 故选：A． 9．A 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，直径所对圆周角是直角，根据这些性质逐个判断即可得到结论． 【详解】①当点，，三点在同一条直线上时，为的直径， ，故正确，符合题意； ②垂直于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ；故正确，符合题意； ③如图，当点在优弧上时， ， 当点在劣弧上时， ， 与不一定相等， 的大小会变化，故③错误，不符合题意， 故选：A． 10．C 【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的最大面积，判断④． 【详解】如图，，即的长度等于半径， ，即的长度等于半径， 以为边的圆的内接三角形有无数个，故①结论正确； 为等边三角形， ， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 当点在圆上移动时，可能是， 一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故②正确； 由以上可知，可以是或， 当，时， ， 当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或， 故③正确； 过作于， ， ， 当点为优弧的中点时，的面积最大， ， 故④错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解本题的关键． 11．8 【分析】根据垂径定理可得，再由勾股定理计算即可； 本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：8． 12． 【分析】本题考查了扇形的弧长，掌握弧长公式：是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 13． 【分析】题考查了切线的性质，四边形的内角和，扇形的面积．先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和得到，再根据扇形面积公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理即可得解，，从而利用三角形的周长公式即可得解． 【详解】∵的内切圆与，,相切，切点为D，，， ∴，， 设，则，， ∴的周长= 故答案为： 15． 【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故答案为：． 16．52 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，，连接，由切线的性质得到，由四边形内角和定理得到，则由圆周角定理可得． 【详解】解；如图所示，连接， ∵分别与相切于A，B两点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得到的角度，然后根据三角形内角和为和等腰三角形的性质可得到结果，熟悉掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 18．/63度 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对圆周角为，根据同弧所对圆周角相等可得，再根据直径所对圆周角为，利用直角三角形两锐角互余即可得出结果． 【详解】解：是的直径，，是上的点，， ，， ， 故答案为：． 19．2 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，发现隐含条件是解题的关键．由题意可得，由垂径定理可得，再根据勾股定理求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴． 故答案为2． 20．②③ 【分析】由勾股定理及含直角三角形性质得到相应边及角度的大小，再利用弧长公式即可验证①错误；读懂题意，理解的含义即可验证②错误；利用旋转性质及弧长公式可求出点，点，点在滚动全程中，运动的路径长，再由实数大小的比较即可确定③正确；从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在三角尺中，，，， ， 第一次滚动的过程中，点运动的路径长为，①错误； 根据三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点顺时针旋转了，记为可知的横坐标是旋转中心，纵坐标是旋转角度， 三角尺的第二次滚动可看成将三角尺绕点顺时针旋转了，记为，如图所示： 第二次滚动可记为，②正确； 在滚动全程中，点运动的路径长为； 在滚动全程中，点运动的路径长为； 在滚动全程中，点运动的路径长为； ， ； ， ； 综上所述，点，点，点在滚动全程中，运动路径最长的是点，③正确； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查旋转，涉及圆的性质、旋转性质、勾股定理、含直角三角形性质、弧长公式和实数比较大小等知识，掌握旋转性质及弧长公式是解决问题的关键． 21． 【分析】连接，在优弧上取一点，连接，如图所示，根据圆内接四边形性质及圆周角定理得到，再由垂径定理、含的直角三角形性质及勾股定理得到的半径． 【详解】解：连接，在优弧上取一点，连接，如图所示： 四边形是圆的内接四边形， ， ， ， ， 是的弦，半径，垂足为，， 由垂径定理可知，，， 在中，，设，则，由勾股定理可知，解得， 的半径为． 【点睛】本题考查求圆的半径，涉及圆内接四边形性质、圆周角定理、垂径定理、含的直角三角形性质和勾股定理，熟练掌握圆的性质及定理是解决问题的关键． 22．(1)详见解析，点的坐标为 (2) 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出对应点，从而得到旋转后的图形，然后写出点的坐标即可； （2）先计算出的长，然后利用弧长公式计算即可； 本题考查了作图，旋转作图，坐标点，弧长公式等知识，准确作图是解题关键． 【详解】（1）如图，为所作，点的坐标为； （2）， 点经过的路径的长为． 23．(1)见解析； (2)的长为； 【分析】（1）本题考查切线的证明，连接，证明即可得到答案； （2）本题考查垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，三角形全等的判定与性质，先根据勾股定理得到，结合垂径定理得到，再证明，结合中位线求解即可得到答案； 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵O是的中点，D是的中点， ∴． 24．(1)见解析 (2)①，②，③过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据垂线的基本作图，作图即可． （2）根据切线的判定证明即可． 【详解】（1）根据垂线的基本作图，作图如下： 直线即为所求． （2）证明：连接，． ，， 垂直平分，． ． ． ． 是的切线，为切点， ． ． ． 于点． 是的半径， 是的切线（过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线）． 故答案为：①，②，③过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线． 25．(1)见详解 (2)，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据要求作出图形即可． （2）利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【详解】（1）补全图形如图所示： （2）证明：连接． 由作图可知，， 点B在上， 在中，， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． ． 点C在上． 的三个顶点都在上． 26．(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查垂径定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质： （1）根据垂径定理可得，根据同弧所对的圆心角相等，可得； （2）先证，，相等且度数都是，再证，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可求，根据弧长公式可求的长． 【详解】（1）证明：∵是的直径，于点E， ∴， ∴. （2）解：∵是的直径，于点E， ∴， 又∵， ∴，，相等且度数都是， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ，， ∴， 的长． 27．(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查作图一复杂作图，坐标与图形的性质，三角形外接圆，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线的性质． （1）根据的外接圆圆心为的外心，易得圆心在线段，的垂直平分线上，即可作图； （2）由（1）知，圆心在线段的垂直平分线上，设，由，即可求解； （3）由（2）可得的外接圆的半径，连接，过点M作交于点H，由两点间距离公式得，根据垂径定理得，由勾股定理易得，易得，根据，求得，即可求劣弧的弧长； （4）由（3）知，分两种情况讨论：点在劣弧上；点P在优弧上；根据圆周角定理求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示； （2）解：点M在线段的垂直平分线上，，， ， 设， ，， ，即， ， ， 故答案为：； （3）解：由（2）得，， ， 连接，过点M作交于点H， ， ， ， 中， ， ，， ， ， ， ， 劣弧的弧长为：， 故答案为：； （4）解：如图， 点P在优弧上时， ， ； 点在劣弧上时， 四点共线，， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 28．(1)和 (2) (3) 【分析】（1）由题知“关联线段”是关于P点成中心对称的，根据中心对称的性质即可得和是以点P为中心的“关联线段”． （2）由与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上，点在上，可得点的坐标为，P点坐标为，由此可得，根据与F点关于对称，可得F点的横坐标的取值范围． （3）作关于P点的对称圆，则F点既在上，又在直线上， 因此F点是和直线的交点．当直线与相切时，即可求出m的最大范围．分两种情况：切线在左边和在右边．根据等腰直角三角形的性质可求得F点坐标，再代入即可求出m的最大值和最小值，进而可得m的取值范围． 【详解】（1） 如图， ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴线段是以点为中心的“关联线段”； ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴若线段是以点P为中心的“关联线段”， 则与关于P点成中心对称， 则， 而的坐标只能是， ∴不可能在上， ∴线段不是以点P为中心的“关联线段”， 综上，以点P为中心的“关联线段”是和， 故答案为：和． （2）∵与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴点的坐标为，P点坐标为． ∵是的弦， ． ∵与F点关于对称， ． （3） ∵P点在x轴上， ∴的对应点只能为． ∵P点是的中点， ． 将绕P点旋转得， 则，且F点在上． 又∵F点在直线上， ∴F点是和直线的交点． 当与相切于时，连接作轴， 设直线于x轴的交点为A点， 则，， 则，， ∴点的横坐标为，纵坐标为． 将代入得， ， 解得． 当与相切于时，连接作轴于G点， 设直线于x轴的交点为B点， 则，， 且，， ∴点的横坐标为，纵坐标为． 将代入得， ， 解得， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的小册子、一次函数的图像的性质，熟练掌握以上知识和数形结合思想、分类讨论思想和解题的关键． 29．(1)或 (2)，证明见解析 (3)长度的最大值为，最小值为 【分析】（1）根据“为线段的关联点”，结合是等边三角形，即可求解； （2）结论：，连接，先证明是等边三角形，根据已知得是等边三角形，再证明，得到，易得，即可证明； （3）分两种情况讨论：当点P在上方，当点P在下方，利用等边三角形的性质求出点P在上运动，由两个等圆的圆心距求解即可． 【详解】（1）解：如图， 是等边三角形， 点P与点A关于y轴对称， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 综上，点P的坐标为或； （2）， 证明：如图，连接， ，， ，，， 是等边三角形， ， 为线段的“关联点”， 是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； （3）解：为线段的“关联点”， 是等边三角形， ， 点P随点A的运动而运动，且点P在与相同大小的圆上运动， 设点P在上运动， 由（1）知线段的“关联点”点P的坐标由两个，分别在线段的上方和下方， 当点P在上方时，如图： 当时，过点作轴，交x轴于点G， ，则 ， ， ； 当时，过点作轴，交x轴于点G， 同理得：， 是的直径， 是的直径， ， ， 当过点M时，有最大值，最大值为；当延长线过点M时，有最小值，最小值为； 当点P在下方时，同理得长度的最大值为，最小值为， 长度的最大值为，最小值为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，熟练掌握新概念“关联点”是解题的关键． 30．(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据新定义即可求解； （）由题意确定点的位置，再用勾股定理即可求解； （）利用，则可知通过相切确定的最大和最小值，再根据切线的性质和勾股定理即可求解； 此题考查了圆的切线和勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）如图，点在以为圆心，半径为的圆上，    根据“外倍线”定义可知： ∴，是的“外倍线”， 故答案为：，； （2）如图，由（）得：    则在第一象限的交点的纵坐标为：， 根据对称性可知第四象限的交点的纵坐标为：， ∴； （3）如图，点在以为圆心，半径为的圆上，    ∴，， ∴的最小值为，最大值为， ∴的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$