北京市2024-2025学年九年级上学期期末数学专题复习二次函数部分重难点专项练习

北京市2024-2025学年度九年级上学期期末数学专题复习 二次函数部分重难点专项练习 本资料以2023年北京市各大区期末考试题目汇编而成，旨在为学生期末复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·北京丰台·期末）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·北京·期末）下列函数中，当时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（23-24九年级上·北京顺义·期末）将二次函数化为的形式，则所得表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·北京西城·期末）下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 5．（23-24九年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·北京东城·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，有最小值为2 B．当时，有最大值为2 C．当时，有最小值为2 D．当时，有最大值为2 7．（23-24九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 8．（23-24九年级上·北京平谷·期末）已知：二次函数的图象上部分对应点坐标如下表，m的值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·北京西城·期末）如图，抛物线经过点．下面有四个结论：①；②；③；④关于的不等式的解集为．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 10．（23-24九年级上·北京门头沟·期末）二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上 ②抛物线的对称轴是直线 ③抛物线与y轴的交点坐标为 ④由抛物线可知的解集是 其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．（23-24九年级上·北京·期末）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ． 12．（23-24九年级上·北京密云·期末）请写出一个常数a的值，使得二次函数的图像与x轴没有交点，则a的值可以是 ． 13．（23-24九年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则 （填“”，“ ”或“”）． 14．（23-24九年级上·北京·期末）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为 ． 15．（23-24九年级上·北京海淀·期末）已知是的二次函数，表中列出了部分与的对应值： 0 1 2 0 1 则该二次函数有 （填“最小值”或“最大值”）． 16．（23-24九年级上·北京顺义·期末）已知二次函数的部分图象如图所示，写出一个满足不等式的x的值，这个值可以是 . 17．（23-24九年级上·北京顺义·期末）已知，是抛物线上两点，下面有四个推断： ①该抛物线与x轴有两个交点； ②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上； ③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线右侧； ④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小. 所有正确推断的序号是 . 18．（23-24九年级上·北京丰台·期末）平面直角坐标系中，将抛物线在x轴和x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折记作，和构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 ． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线对称； ③图形G的面积为S，满足．    19．（23-24九年级上·北京丰台·期末）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 2.35 6.05 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于 （结果保留小数点后一位小数）． 20．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，铅球出手位置的高度为，当铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值．铅球的行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系满足二次函数．若以最高点为原点，过原点的水平直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，该二次函数的解析式为．若以过出手点且与地面垂直的直线为y轴，y轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，则该二次函数的解析式为 ． 21．（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 22．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ． 三、解答题 23．（23-24九年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，请比较，的大小，并说明理由． 24．（23-24九年级上·北京昌平·期末）已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 (1)求这个二次函数表达式； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象； (3)当x的取值范围为 时，． 25．（23-24九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求该抛物线的表达式； (2)过点与轴垂直的直线与抛物线交于点，，其中，与直线交于点．若，直接写出的取值范围． 26．（23-24九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． (1)若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围． 27．（23-24九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 28．（23-24九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，点，为抛物线上两个不同的点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若，求m的取值范围． 29．（23-24九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； (2)若，，则______；（用“”，“”，或“”填空） (3)若对于，，都有，求m的取值范围． 30．（23-24九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设该抛物线的对称轴为直线． (1)求t的值； (2)已知，是该抛物线上的任意两点，对于，，都有，求m的取值范围 参考答案： 1．B 【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的性质；一次函数的性质，首先判断每个函数是哪一类函数，再根据函数的性质分别进行判断． 【详解】解：①此函数是正比例函数，，y随x的增大而增大，故符合题意； ②此函数是一次比例函数，，y随x的增大而减小，故不符合题意； ③函数中，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故符合题意； ④函数中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故不符合题意； 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了将二次函数解析式化为顶点式，解题的关键是熟练掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤，以及完全平方公式． 【详解】解：， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性． 【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小， A、C选项说法错误， 当时，随增大而增大， B选项说法正确，D选项说法错误， 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式． 【详解】将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值，明确二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴该函数图像开口向上，对称轴为， 当时，取得最小值2， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系；依题意，关于的方程的根即抛物线与的交点的横坐标，根据函数图象即可求解． 【详解】解：依题意，与无交点，即关于的方程的根的情况为没有实数根， 故选：D． 8．D 【分析】此题主要考查了二次函数图象的对称性，根据表格数据可知，抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可知，时的值与时的值相等，即可求解． 【详解】解：由表格可知，当，，当，， 由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为， ∴时的值与时的值相等， ∴时的值为，即的值为， 故选：D． 9．D 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及与一次函数的解集，根据图像开口可得①错误；根据对称轴可判断②正确；由时，，即可判断③正确；利用二次函数与一次函数的图像位置关系可判断④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， 则①错误． ②∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，且与x轴的交点一个为另外一个在2到3之间， ∴， ∵ ∴， ∴， 则②正确． ③由图象可知，当时，， ∴， 则③正确． ④，可变式为， 令， ∵一次函数，过点和，则一次函数与抛物线图象如图， 的解集为． 则④正确． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查二次函数的图象性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由表格可知，该函数的对称轴是直线， ∵时，y随x的增大而增大， ∴抛物线的开口向上，故选项①②正确； ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为，故选项③正确； ∵和时，， ∴当，， 的解集是，故选项④正确， 故选：D． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据“当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大”确定对称轴和开口方向，然后写出满足条件的一个二次函数的解析式即可． 【详解】解：∵当时y随x增大而减小； 当时y随x增大而增大， ∴对称轴为，开口向上， ∴符合条件的二次函数可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，解一元一次不等式．根据题意可知，正确解出不等式并写出一个符合解集的a即为本题答案，本题答案不唯一． 【详解】解：∵二次函数的图像与x轴没有交点， ∴， ∴， ∵写出一个常数a的值， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 13． 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是把的值代入二次函数解析式，求出对应的值再比较即可． 【详解】点，在抛物线上， ；， ； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键，根据函数图象的平移规则“左加右减”进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为， 故答案为：． 15．最大值 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的最值判断，设抛物线解析式为，根据题意，得，解得，根据解析式判断即可． 【详解】，设抛物线解析式为， 根据题意，得， 解得， 故解析式为， ∵， ∴抛物线有最大值， 故答案为：最大值． 16．1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．先求出时的的值，然后结合图象求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 当时，． 不等式的解为 满足不等式的的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 17．①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设抛物线的解析式，将点，代入得计算得，，则，根据得，抛物线与x轴有两个交点，故①正确；根据得，若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点在y轴的负半轴上或y轴的正半轴上，故②错误；故居得，故居得，则若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线右侧，故③正确；故居得，则当，在对称轴两侧，y随x的增大而增大，点B关于直线对称的点，故点B到它的对称轴距离较小，故④正确；综上，即可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为，将点，代入得， ，， ∴ ∵， ∴， ∴抛物线与x轴有两个交点， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点在y轴的负半轴上或y轴的正半轴上， 故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线右侧， 故③正确； ∵， ∴， ∴当，在对称轴两侧，y随x的增大而增大，点B关于直线对称的点，故点B到它的对称轴距离较小， 故④正确； 综上，①③④正确， 故答案为：①③④． 18．①③ 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③． 【详解】解：如图，    由图形可知，图形关于原点对称，不关于直线对称，故①正确，②错误； 观察图形，图形的面积大于两个的面积，小于的面积， 所以，图形的面积满足，故③正确． 故答案为：①③． 19．（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用二次函数求对应一元二次方程的近似根，理解“当自变量取两个值，对应的函数值由负数变为正数时，则对应方程的一个根在两个自变量之间，求函数值的绝对值，取较小绝对值所对应的自变量的值为近似根．”是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设方程的一个根为， 当时， ， 当时， ， ， ， ， 故答案：（答案不唯一）． 20． 【分析】本题考查了二次函数的解析式，解题的关键是掌握a的确定方法和抛物线顶点式的求法． 【详解】解：图2二次函数的解析式为，铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值， 图3二次函数的解析式为，即， 故答案为：． 21．②③/③② 【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，由函数图象过点，列方程组判断①，由顶点的性质即可判断②，根据直线在直线的下面，即可判断③． 【详解】∵二次函数的图象经过点，． ∴， 解得，故①错误； ∵， ∴， ∴直线， ∴当时，有最大值， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴直线在直线的下面， ∵当时，， ∴直线于抛物线的交点的在轴的两侧， 故关于的一元二次方程有两个异号实数根，故③正确， 故答案为：②③． 22．或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键． 求得函数(是常数，的图象过定点，函数是常数，与轴的交点为，然后分两种情况讨论即可求得的取值． 【详解】解：∵， ∴函数(是常数，)的图象过定点 ∵， ∴函数是常数，与轴的交点为， 当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； ∴无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是或． 故答案为：或． 23．(1)t的值为1 (2)．理由见解析 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征． （1）根据点在抛物线上和求得，再根据抛物线的对称轴为可得答案； （2）根据点在抛物线上，结合，可得，把点，的坐标代入，利用差值法即可得到答案． 【详解】（1）根据题意得， 又， ， ， ； （2）根据题意得， ， ， ， ， 点，在抛物线上， ，， ， ， ， ． ． 24．(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法，设二次函数的表达式为，把代入即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据图象，所求结果是二次函数在直线以上的对应的的取值范围，据此解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 即； （2）解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，描点画图，函数图象如图： （3）解：当时，， 解得：，， 如图： 根据图象可得：当时，x的取值范围为：， 故答案为：． 25．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质求字母的范围． （1）把点，分别代入解析式，联立构成方程组，解答即可． （2）利用数形结合思想，解答即可． 【详解】（1）把点，分别代入，得 ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）根据题意，得点N在A，B之间运动时，满足了， 此时函数值， 故． 26．(1)，，对称轴：直线． (2)，． 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，属于中考常考题型． （1）将代入二次函数，求得二次函数解析式，再令，解方程即可得出抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； （2）将抛物线解析式整理成顶点式，再令，解方程即可得出抛物线与x轴交点坐标，最后根据二次函数图象与性质进行分类讨论即可． 【详解】（1）将代入二次函数，得：， 令，得， 解得：， ，，对称轴：直线． （2）将抛物线解析式整理得． 令，得， 解得：， ∴抛物线与x轴交点坐标分别为，． ∵抛物线开口向上，且， ∴结合图象可知． ∵，，中有且只有一个大于零，． ∴①当时，． ，解得． ②当时，． ，解得． 综上所述，，． 27．(1)①  ② (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到 ，解得 【详解】（1）①， ∴； ②∵抛物线中， ， ∴抛物线开口向上， ∵点点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； （2）由题意可知，点)在对称轴的左侧, 点在对称轴的右侧， ，都有， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，解得 ， ∴的取值范围是 ． 28．(1)抛物线的对称轴为直线； (2)m的取值范围是：或． 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用二次函数求不等式的解集及熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）由二次函数的对称轴公式即可解决问题． （2）根据题意列出不等式组即可． 【详解】（1）解：由题知， 所以抛物线的对称轴为直线； （2）解：将点点，坐标代入函数解析式得， ， ， 又因为， 所以， 解得或． 所以m的取值范围是：或 29．(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象上的点的特征解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系； （1）将二次函数解析式化为顶点式求解． （2）分别将代入解析式求解． （3）求出点关于对称轴对称点为，根据抛物线开口向上及求解； 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为． （2）将代入得 将代入得， ∴． （3）∵抛物线对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称点为 ∵抛物线开口向上，， ∴， ∵， ∴， 解得． 30．(1)1 (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． （1）根据二次函数的性质求得对称轴即可， （2）根据题意判断出当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；从而分为①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，六种情况解答即可； 【详解】（1）解：点在抛物线上， ∴对称轴为． （2）∵， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； ①当时， ∵． ∴． ∴，符合题意； ②当时，． 当时， ∵． ∴． ∴． 当时，设关于抛物线对称轴的对称点为， 则． ∴． ∵， ∴． ∵， 当时，符合题意； ③当时，， 令，则，不符合题意； ④当时，， 令，则， ，不符合题意； ⑤当时，． 令，则． ，不符合题意； ⑥当时，， ∴，不符合题意； 综上所述，m的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$