3.5确定圆的条件 同步练习2024－2025学年北师大版数学九年级下册

3.5确定圆的条件 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．则的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 2．平面有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上．过其中3个点作圆，可以作的圆的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 20 cm，BC = 21 cm，则它的外心与顶点C的距离等于（     ）. A．13 cm B．13.5 cm C．14 cm D．14.5 cm 4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（  ）    A．点（1，0） B．点（2，1） C．点（2，0） D．点(2.5，1) 5．下列说法： （1）直角三角形的两边长分别为3和4，则三角形的外接圆直径是5； （2）点A、B、C在⊙O上，∠BOC=100°，则∠A=50°或130°； （3）各角都相等的圆的内接多边形是正多边形； （4）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=3，则OC长度为整数值的个数是4个．其中正确结论的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列说法正确的是（    ） A．阳光下林荫道上的树影是中心投影 B．相似图形一定是位似图形 C．关于的方程有实数根 D．三点确定一个圆属于必然事件 7．下列命题中，真命题是（　　） A．相等的圆心角所对的弧相等; B．三角形的内心到各顶点的距离相等 C．面积相等的两个圆是等圆; D．各角相等的圆内接多边形是正多边形 8．已知是的三边长，外接圆的圆心在的一条边上的是（    　） A． B． C． D． 9．如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 10．下列命题正确的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等 11．如图，矩形ABCD，AD＝1，CD＝2，点P为边CD上的动点（P不与C重合），作点P关于BC的对称点Q，连结AP，BP和BQ，现有两个结论：①若DP≥1，当△APB为等腰三角形时，△APB和△PBQ一定相似；②记经过P，Q，A三点的圆面积为S，则4π≤S＜． 下列说法正确的是（　　） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 12．下列命题中，真命题的个数（ ） （1）⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP=5，则直线l与⊙O相切 （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的外接圆半径为6.5 （3）正多边形都是轴对称图形，也都是中心对称图形 （4）三角形的外心到三角形各边的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 14．一个直角三角形的两边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆直径为 ． 15．如图，是的外心，且∠ABC=40°，∠ACB=70°，则 ． 16．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ． 17．下面有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．其中错误的结论序号有 三、解答题 18．操作与计算： （1）用尺规作出△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若AB=AC=5，BC=6，求⊙O的半径． 19．已知：如图，射线． 求作：，使得点在射线上，，． 作法：①在射线上任取一点； ②以点为圆心，的长为半径画圆，交射线于另一点； ③以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上方交于点； ④连接、． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：为的直径，点在上， （___________________________）（填推理依据）． 连接． ， 为等边三角形（___________________________）（填推理依据）． 所以为所求作的三角形． 20．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮） (1)如图①，已知在中，，若在的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图②，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积； (3)如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形． 21．上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 22．已知△ABC，请按以下要求完成本题： （1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC = ．    23．如图，四边形为圆内接四边形，对角线、交于点E，延长、交于点F，且，． 求证： (1)； (2)A为的外心（即外接圆的圆心）． 24．锐角中，、是上的点，、、外心为、、， 求证： (1)； (2)若，则． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C B C C C B C 题号 11 12 答案 A B 1．D 【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC∥x轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=-1，再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为-1，则设△ABC的外心为P（a，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到，由此求解即可． 【详解】解：∵B点坐标为（2，1），C点坐标为（2，-3）， ∴直线BC∥x轴， ∴直线BC的垂直平分线为直线y=-1， ∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， ∴△ABC外心的纵坐标为-1， 设△ABC的外心为P（a，-1）， ∴， ∴， 解得， ∴△ABC外心的坐标为（-2，-1）， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点． 2．C 【详解】试题分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆可画出图形．如图所示：故选C. 考点：确定圆的条件． 点评：此题主要考查了确定圆的条件，关键是掌握不在同一直线上的三点确定一个圆． 3．D 【分析】此题应根据勾股定理先求出斜边AB的长度为29，要理解外心是这个三角形外接圆的圆心，在直角三角形中，它的外心就是斜边的中点，顶点C与外心的距离即为斜边的中线． 【详解】先根据题意画图，知道AB为三角形的斜边求得AB2=AC2+BC2=202+212=841=292 ，要理解外心是这个三角形外接圆的圆心，要求得该直角三角形的外接圆的圆心，则为AB边的一半， 求得AB的一半为14.5，应该选择答案为D. 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的外接圆和圆心，解题的关键是要理解外心是这个三角形外接圆的圆心. 4．C 【详解】试题分析：根据勾股定理可知A、B、C点到2的距离均为，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以. 故选C. 5．B 【详解】试题分析：根据勾股定理可由两直角边为3、4，求得斜边为5，然后根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得外接圆的直径为5，故（1）正确； 如图，由题意可根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求的∠A=50°，或130°，故（2）正确； 根据各角都相等，各边也都相等的多边形叫正多边形，故（3）不正确； 如图1，可根据圆周角定理可求得AC=BC=AB=2； 如图2，由已知∠AOB=120°，∠ACB=60°，可得∠AOB+∠ACB=180°，因此四个点A、O、B、C共圆．设这四点都在⊙M上．点C在优弧AB上运动．连接OM、AM、AB、MB． 由∠ACB=60°，可知∠AMB=2∠ACB=120°．再由AO=BO=2，知∠AMO=∠BMO=60°．然后由MA=MO，证得△AMO是等边三角形，根据等边三角形的性质知MA=AO=2，因此根据圆的弦长可知MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4，所以可求得OC=3或4．因此有3个值，故（4）不正确. 故选B 考点：垂径定理、等边三角形的判定与性质 6．C 【分析】根据平行投影、中心投影，位似图形，一元二次方程根的判别式，随机事件、必然事件的意义即可解答． 【详解】解：A、阳光下林荫道上的树影是平行投影，原说法错误，该选项不符合题意； B、相似图形不一定是位似图形，原说法错误，该选项不符合题意； C、关于的方程中，，则一定有实数根，正确，该选项符合题意； D、三点确定一个圆属于随机事件，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了投影，位似图形，一元二次方程根的判别式，圆的确定，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 7．C 【分析】利用圆周角定理，等圆的定义、三角形的内心的性质及正多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，是假命题； B、三角形的内心到三角形各边的距离相等，故错误，是假命题； C、面积相等的两个圆的半径相等，是等圆，故正确，是真命题； D、各角相等的圆内接多边形可能是矩形，故错误，是假命题， 故选C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理，等圆的定义、三角形的内心的性质及正多边形的定义，属于基础定义，难度不大． 8．C 【分析】由外接圆的圆心在△ABC一条边上，可得△ABC是直角三角形．然后由勾股定理逆定理求得答案． 【详解】解：∵外接圆的圆心在△ABC一条边上， ∴△ABC是直角三角形， A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、，故D选项错误； 故选C. 【点睛】此题考查了三角形外接圆的性质与勾股定理的逆定理，此题难度不大，注意判定△ABC是直角三角形是解此题的关键． 9．B 【分析】分别作与角平分线，交点为．由三线合一可知与为、垂直平分线；再由垂径定理可知圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点；连，若半径最短，则，由为底边，底角的等腰三角形，可求得． 【详解】如图，分别作与角平分线，交点为， 和都是等边三角形， 与为、垂直平分线，， 又圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点； 连接， 若半径最短，则， 又，， ， ， 在直角中，， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的“三线合一”的性质、三角形的外接圆圆心、点到直线的距离、垂线段最短以及解直角三角形等知识，注重数形结合思想的应用是解题的关键． 10．C 【分析】利用线段的性质，多边形的外角和定理，确定一个圆的条件，平移的性质等知识进行判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．两点之间，线段最短，故选项错误，不符合题意； B．多边形的外角和是360°，故选项错误，不符合题意； C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故选项正确，符合题意； D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行或者在同一条直线上，并且相等，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】命题是表示判断的语句，判断正确的命题是真命题，判断错误的命题是假命题，熟练掌握所学知识是进行正确判断的基础． 11．A 【分析】①在Rt△ADP中，由AP＝2AD，推出∠APD＝30°，即可解决问题． ②求出两种特殊位置的⊙O的面积即可判断． 【详解】①如图1中， ∵DP≥1，当△APB为等腰三角形， ∴只有AP＝AB， 在Rt△ADP中，∵∠D＝90°，AP＝2，AD＝1， ∴PA＝2AD， ∴∠APD＝30°， ∵CD∥AB， ∴∠CPB＝∠ABP， ∵AP＝AB， ∴∠ABP＝∠APB， ∴∠APB＝∠CPB＝75°， ∵P，Q关于BC对称， ∴BP＝BQ， ∴∠BPC＝∠BQC＝75°， ∴△APB∽△BPQ，故①正确． ②如图2中，作△APQ的外接圆⊙O． 当点O与B重合时，⊙O的半径最小，此时⊙O的面积为4π， 当点P与C重合时，设OA＝OP＝x， 在Rt△AOB中，则有x2＝22+（x﹣1）2， ∴x＝， 此时⊙O的面积＝π， 观察图象可知：4π≤S＜π．故②正确， 故选A． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 12．B 【详解】试题分析：（1）虽然OP=5，但是OP与直线l不一定垂直，则直线l与⊙O不一定相切，是假命题； （2）因为∠C=90°，AC=5，BC=12，所以AB==13，则△ABC的外接圆半径为=6.5，是真命题；（3）正三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，是假命题； （4）三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，到各边的距离相等，是真命题． 真命题有2个，故选B． 【考点】命题与定理． 13．6或 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【详解】解：在一个直角三角形中，两边长分别是5，12， 当5，12是直角三角形的两条直角边时， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 当12是直角三角形的斜边时， 此三角形的外接圆的半径是； 综上所述，这个三角形的外接圆的半径是6或． 故答案是：6或． 14．10cm或8cm/8cm或10cm 【分析】有两种情况：（1）当两直角边是6 cm和8 cm时，求出斜边长即可得到答案；（2）当一个直角边是6cm，斜边是8 cm时，即可得出答案． 【详解】解：分两种情况：（1）当两直角边是6 cm和8 cm时， 由勾股定理得：( cm)， 此时外接圆的半径是5cm，直径是10 cm； （2）当一个直角边是6 cm，斜边是8 cm时， 此时外接圆的半径是4 cm，直径是8 cm． 故答案为：10 cm或8 cm． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆和外心，勾股定理等知识点，解此题的关键是知道直角三角形的外接圆的半径等于斜边的长，求出斜边长即可，用的数学思想是分类讨论思想． 15．140°/140度 【分析】由三角形内角和为180°，可知∠BAC=70°，又因为是的外心，则以O为圆心， OB为半径的圆是△ABC的外接圆，根据圆周角定理，所以∠BOC=2∠BAC=140°． 【详解】解：∵∠ABC=40°，∠ACB=70°， ∴∠BAC=180°-40°-70°=70°， ∵O是△ABC的外心， ∴以O为圆心，OB为半径的圆是△ABC的外接圆， ∴∠BOC=2∠BAC=140°． 故答案为：140°． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心以及圆周角定理，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 16． 【分析】先解一元二次方程，根据构成三角形的条件取舍，勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，进而根据90度角所对的弦为直径，进而求得三角形外接圆的半径． 【详解】解：， ， 解得， 当时，不能构成三角形； 当时，， 这个三角形是斜边为5的直角三角形， 该三角形外接圆的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求直角三角形的外接圆的半径，解一元二次方程，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得这个三角形是直角三角形是解题的关键． 17．①②③ 【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、三角形的外心的概念等知识点一一判断即可． 【详解】解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该加个前提条件即：在同圆或等圆中； ③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径的前提下才满足上述结论； ④三角形的外心到它的三顶点的距离相等，此选项正确； ⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故正确． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 18．（1）见解析；（2） 【分析】（1）画出线段AB和线段BC的垂直平分线，垂直平分线的交点就是外接圆的圆心； （2）延长AO交BC于点D，根据垂径定理得到D是BC中点，设圆的半径是x，再利用勾股定理列式求出x的值． 【详解】解：（1）如图，以A为圆心大于AB一半的长度为半径画弧，再以B为圆心，同样的长度为半径画弧，连接弧的交点，作出线段AB的垂直平分线，再用同样的方法作出线段BC的垂直平分线，垂直平分线的交点就是外接圆的圆心O，再以OB为半径画圆可以得到的外接圆； （2）如图，延长AO交BC于点D， ∵AB=AC， ∴D是BC中点， ∴BD=3， ∵AB=5， ∴根据勾股定理求出AD=4， 设圆的半径AO=BO=x，则， ∵， ∴，解得， ∴的半径是． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和垂径定理，解题的关键是掌握三角形外接圆的画法和利用垂径定理求半径的方法． 19．(1)图形见解析 (2)直径所对的圆周角是直角；三边相等的三角形是等边三角形． 【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据圆周角定理等边三角形的判定和性质解决问题即可． 【详解】（1）如图，△ABC即为所求作． （2）∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），连接OC．∵OA=OC=AC，∴△AOC为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），∴∠A=60°．故答案为：直径所对的圆周角是直角，三边相等的三角形是等边三角形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．(1)三角形内能使感应灯B亮的区域面积为 (2)在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为 (3)见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识： （1）先求出的值，即可求出的面积； （2）先找出感应灯B亮的区域，然后求出面积； （3）分别以直径画圆，围成区域即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的面积为：， ∴该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为； （2）解：在中，，为边上的高， ∴，即垂直平分， ∴上任意一点到点B与点C的距离都相等， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 作的垂直平分线，交于点E，如图： 则上任一点到点A与点B的距离都相等，， ∴由题意可知：在该三角形内能使感应灯B亮的区域是四边形， 在中，， ∴， ∴ ， ∴在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为． （3）觖：分别以为直径画圆，围成区域（实线所围区域）即为所求． 21．(1)见解析 (2)圆弧形水道外侧的半径为483米 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图： （1）如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，米，则四点共线，设米，则米，由勾股定理得，解得，则米． 【详解】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）解：如图所示，连接， ∵C为的中点，点D为圆弧形道路内侧中点， ∴，米， ∴四点共线， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米． 答：圆弧形水道外侧的半径为483米． 22．（1）见解析；（2）60° 【分析】（1）分别作出AB与AC的垂直平分线，进而得出圆心的位置，再利用圆心到三角形顶点的距离为半径得出圆O即可； （2）连接BD．根据圆周角定理求出∠ABD=90°，∠D=∠ACB=40°，则∠DBC=∠ABD-∠ABC=20°，再利用三角形外角的性质即可求出∠DEC． 【详解】解：（1）如图所示：    （2）连接BD． ∵AD是直径， ∴∠ABD=90°， ∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-70°=20°， 又∵∠D=∠ACB=40°， ∴∠DEC=∠D+∠DBC=40°+20°=60°． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的作法，圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键． 23．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出，根据三角形的内角和得出，根据等边对等角得出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，故， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，根据同弧所对的圆周角相等得出， 所以，根据等角对等边得出； （2）根据同弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角及对顶角相等得出，故，根据等角对等边得出，又，故，即A是三角形的外心． 【详解】（1）证明：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， 又∵， ∴， ∴． （2）证明：四边形内接于圆， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即A是三角形的外心． 【点睛】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，以及三角形的外心．熟练掌握圆内接四边形的一个外角等于内对角，以及同弧所对的圆周角相等，等边对等角，是解题的关键． 24．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，连接，由点P，Q分别是、外心，可得是线段的垂直平分线，再运用圆周角定理即可证得结论； （2）如图2，连接，延长与相交于点F，利用三角形外心性质可得、、分别是线段的垂直平分线，再运用圆周角定理可证得A、P、O、Q四点共圆，再证C、E、O、Q四点共圆和C、E、O、Q四点共圆，设的延长线分别交于点M，N，可证M，N，E，Q四点共圆，再利用圆周角定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵点P，Q分别是、的外心， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴； （2）证明：如图2，连接，延长与相交于点F， ∵、、外心为、、， ∴、、分别是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴A、P、O、Q四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴C、E、O、Q四点共圆， ∴， 设的延长线分别交于点M，N， 则， ∴M，N，E，Q四点共圆， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外心性质，圆内接四边形性质，四点共圆，圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和四点共圆及圆内接四边形性质是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$