3.4圆周角和圆心角的关系 同步练习2024－2025学年北师大版数学九年级下册

3.4圆周角和圆心角的关系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC=30°，BC=2，则AB的长为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，直角梯形中，，，，过A，B，D三点的分别交，于点E，M，且，下列结论：①；②；③的直径为2；④．其中正确的结论是 (     ) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 3．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则∠C与∠D的大小关系为（　　） A．∠C＞∠D B．∠C＜∠D C．∠C=∠D D．无法确定 4．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于( ) A．60° B．70° C．120° D．140° 5．如图，，，，均在上，，若，则的长最大为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于（  ）    A． B． C． D． 8．如图，是的圆周角，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝32°，则∠BAD的度数是（    ）    A．48° B．58° C．60° D．64° 10．如图，为的直径，点，点是上的两点，连接，，．若，则的度数是（    ） A．40° B．50° C．60° D．140° 11．如图，∠C＝15°，且，则∠E的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 12．如图，⊙的半径为，其中，＝30°，AD＝2，则弦的长为（    ） A．3 B．3.5 C． D． 二、填空题 13．已知的半径为4，弦长为 ，则弦所对的圆周角的度数为 °． 14．下列命题：①三点确定一个圆.②三角形的外心到三个顶点的距离相等.③相等的圆周角所对的弧相等.④平分弦的直径垂直于弦.是假命题的为 .（填序号） 15．两个大小不同的半圆叠放如图所示，其圆心均为点，直径和在同一直线上，为小半圆的中点，延长和分别交大圆于点和点，连接，若为中点，则的长为 ． 16．如图，点，，，在上，是直径，，，则 . 17．在矩形中，，，，，连接，则的最小值是 ． 三、解答题 18．中，,，点P是射线上的一个动点，，且，直线交直线于点M，连接． (1)如图①，当点P是的中点时，的度数为 ； (2)如图②，当点P不是的中点时，请判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)若，当时，请直接写出线段的长． 19．阅读：如图1所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD．BC是⊙O的直径，AB＝AC．请说明线段AD、BD、CD之间的数量关系．下面是王林解答该问题的部分解答过程，请补充完整： 解：AD+CD＝BD． 理由如下：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°． ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°． 如图2所示，过点A作AM⊥AD交BD于点M，… (1)补全王林的解答过程； (2)如图3所示，四边形ABCD中∠ABC＝30°，连接AC、BD．若∠BAC＝∠BDC＝90°，直接写出线段AD、BD、CD之间的关系式是 　 　． 20．某学校的学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上．拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）． 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如表（观测误差忽略不计）． 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，设1号轿厢运动到最高点A时，4号轿厢位于B点，连接，则______； （2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，） 21．问题提出 （1）如图①，在中，，，则的最大面积为 ； （2）如图②在中，，，求的最大面积； 问题解决 （3）如图③，某公园准备修建一座四边形儿童游乐场，其中线段为儿童游乐场的入口，在点，处分别安装一个摄像头，对入口段实施监控（点，，，在同一平面），调研发现，为了监控效果最好，须满足，已知，，问儿童游乐场（即四边形）面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 22．（1）如图①， 点P 为上一点，， 垂足分别为点A与点H， 若，则的最大值为 ； (2) 如图②， 在中，， D 是边上一点， 且， 点E 是边上一点， 将沿折叠， 则点C落在 F 处， 连接， 求周长的最小值； （3）如图③，是某花园的设计示意图，已知，，，， 弧为上的一段优弧， 点E为弧上的一点，过点E与点O铺设一条观赏小路，过点 A 铺设一条与之垂直的观赏小路，垂足为F，现计划在内种植牡丹花，已知牡丹花每平米的成本费为 500 元，则种植牡丹花所需费用至少为多少元？ 23．如图，、、都是的半径，. (1)求证：； (2)若，，求的半径. 24．如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，垂足分别是E、F． （1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论． （2）若，．求的半径． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D C C A B B B 题号 11 12 答案 C D 1．B 【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求AB的长． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=30°， ∴AB=2BC=2×2=4． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2．C 【分析】连接，，，，，由角所对的弦为直径，得到为圆的直径，再利用直径所对的圆周角为直角，得到为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到为矩形，利用矩形的对边相等得到，而，等量代换得到，可得出M为的中点，即，故选项①正确；由与平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得到四边形为平行四边形，可得出，而，等量代换得到，由为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到为直角三角形，由与的长，利用勾股定理求出的长，设，则，在直角中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出的长，即为的长，确定出圆的直径，即可对于选项③作出判断；在直角中，由M为的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到与相等，都等于的一半，利用等弦所对的劣弧相等，得到，同时由，得到，等量代换得到，故选项②正确；在直角中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即可对于选项④作出判断． 【详解】连接，，，，， ∵， ∴为圆的直径， ∴， ∴， ∴四边形矩形， ∴， 又∵， ∴，即；故选项①正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∵是直径， ∴，即， 又，， 根据勾股定理得：， 设，， 在中， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴，故选项③错误； 在中，M是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故选项②正确； 在中，，， 根据勾股定理得：；故选项④正确； 则正确的选项为：①②④． 故选C． 【点睛】此题属于圆综合题，考查圆周角定理，圆心角、弦及弧之间的关系，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，矩形的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，利用了方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 3．A 【分析】直接利用圆周角定理结合三角形的外角的性质即可得. 【详解】连接BE，如图所示： ∵∠ACB=∠AEB， ∠AEB＞∠D， ∴∠C＞∠D． 故选A． 【点睛】考查了圆周角定理以及三角形的外角，正确作出辅助线是解题关键． 4．D 【详解】如图，连接OA，则 ∵OA=OB=OC， ∴∠BAO=∠ABO=32°，∠CAO=∠ACO=38°． ∴∠CAB=∠CAO＋∠BAO=700． ∵∠CAB和∠BOC上同弧所对的圆周角和圆心角， ∴∠BOC=2∠CAB=1400． 故选D． 5．C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据等边三角形的判定和性质解答即可．熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵点，，，均在上， ∴四边形为的圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 当为的直径时，最大，最大值为． 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴， ∴． 故选：B． 7．A 【分析】先证明，可得，再利用圆周角定理的含义可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键． 8．B 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据得到，再根据三角形的内角和求出，最后根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 9．B 【分析】如图，连接BD.证明∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝32°即可解决问题. 【详解】解：如图，连接BD，    ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝∠ACD＝32°， ∴∠DAB＝90°﹣∠B＝58°， 故选：B 【点睛】此题考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等. 10．B 【分析】连接，如图，利用圆周角定理得到，再利用互余计算出，然后根据圆周角定理得到的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 11．C 【分析】连接OA、OB、OC和OD，根据圆心角定理求出∠AOD的度数，又知，即可求出∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝110°，进而求出∠BAC＝55°，再根据∠BAC＝∠C+∠E，即可求出∠E的度数． 【详解】连接OA、OB、OC和OD， ∵∠C＝15°， ∴∠AOD＝30° ∵， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝110°， ∴∠BAC＝∠BOC＝55°， ∵∠BAC＝∠C+∠E， ∴∠E＝40°． 故选：C． 【点睛】本题主要按考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系的知识点，解答本题的关键是求出∠BAC的度数，本题比较简单． 12．D 【分析】连接BC，由可得AD=BC的长，由∠CDE=30°，可得相关圆周角和圆心角的度数，得到等边△OCE，从而得到CE的长；再过点C作CH⊥BE，利用两次勾股定理即可得BE长度． 【详解】连接OC，OE，BC、CE， ∵， ∴BC=AD=2， ∵∠CDE=30°， ∴∠COE=60°，∠CBE=∠CDE=30°， ∴△OCE是等边三角形， ∴CE=， 过点C作CH⊥BE交BE于点H， 在Rt△BCH中，CH=BC=1， BH=， 在Rt△CEH中，HE＝＝2， ∴BE＝． 故选 D． 【点睛】本题是圆周角定理的综合题，涉及到圆周角定理、等边三角形、含30度角的直角三角形，勾股定理，其中作辅助线是解题的关键． 13．或 【分析】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是先根据题意画出图形，连接、，过作，由垂径定理和勾股定理可求出的长，可求出的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接、，过作， 则，， ，， ， 则， ， ， 在上取点，连接、，在优弧上取点，连接、， ， ∴． 故答案为：或． 14．①③④ 【分析】分别根据确定圆的条件、三角形外心的性质、圆周角定理的推论和垂径定理的推论依次进行判断即可. 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，故①是假命题； 三角形的外心到三个顶点的距离相等，故②是真命题； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故③是假命题； 平分弦（弦非直径）的直径垂直于弦，故④是假命题. 综上，答案为：①③④. 【点睛】本题考查了圆的有关性质，属于基础题型，熟练掌握圆的基本知识是正确解题的关键. 15．/ 【分析】先由垂径定理得，根据圆的性质，得，结合直径所对的圆周角是90°，得，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：连接并延长交于一点H，连接 ∵两个大小不同的半圆叠放如图所示，其圆心均为点，直径和在同一直线上，为小半圆的中点， ∴ ∵为中点， ∴ ∵为直径 ∴ 设 则 在中， 即 解得（负值已舍去） ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂直定理，勾股定理，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16．50° 【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°-∠CAB-∠ABC，进而得出答案． 【详解】解：∵，∠CAD=40°， ∴∠CAD=∠CAB=40°， ∴∠DBC=∠DAC=40°， ∵是直径，∴∠ABC=90°, ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-90°-40°=50°， 故答案为50°． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠CAB度数是解题的关键． 17． 【分析】如图，连接交于，证明，而，可得，，在上取点，且，连接，过作于，连接交于，证明四边形为矩形，求解，结合，即，可得在以为圆心，为半径是圆弧上，当三点共线时，最短，过作于，交于，则，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接交于， ∵矩形，，， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，， 在上取点，且，连接，过作于，连接交于， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴在以为圆心，为半径是圆弧上， ∴当三点共线时，最短， 过作于，交于，则，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题难度大，确定点的运动轨迹是解本题的关键． 18．(1) (2)成立，见解析 (3)或 【分析】(1)先判定是等边三角形；利用等腰三角形三线合一性质，证明，根据，得到，结合，判定是等边三角形；利用三角形外角性质，线段垂直平分线性质计算即可． (2)如图，过点C作于点H，于点N，利用三角形全等，角平分线判定定理，证明即可． (3)分点P在线段上和射线上，利用勾股定理，特殊角的性质计算即可． 【详解】（1）∵,， ∴是等边三角形； ∵点P是的中点， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ∴； ∴，， ∴， ∴， 故， 故答案为：． （2）成立，理由如下： ∵,， ∴是等边三角形； ∴；, 连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ∴； ∵， ∴， ∴， 如图，过点C作于点H，于点N， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）当点P在线段上时， 如图，过点B作于点G，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形； ∴； ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 当点P在射线上时， 如图，过点B作于点H在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形； ∴； ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴A，C，B，M四点共圆， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，圆的内接四边形的判定和性质，分类思想，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆是解题的关键． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）作MA⊥AD，AM交BD于M，求出∠BAM=∠DAC=90°-∠MAC，根据圆周角定理求出∠ABM=∠ACD，根据全等三角形的判定得出△ABM≌△ACD，根据全等三角形的性质得出AM=AD，BM=CD，再求出答案即可； （2）作MA⊥AD，AM交BD于M，求出∠BAM=∠DAC=90°-∠MAC，根据圆周角定理得出∠ABM=∠ACD，根据相似三角形的判定得出△ABM∽△ACD，根据相似三角形的性质得出，求出，根据勾股定理求出DM=2AD，再求出答案即可． 【详解】（1）∵∠BAC＝∠MAD＝90°， ∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC， ∵∠ABM和∠ACD都是对的圆周角， ∴∠ABM＝∠ACD， 在△ABM和△ACD中， ， ∴△ABM≌△ACD（ASA）， ∴AM＝AD，BM＝CD， ∴△MAD是等腰直角三角形， ∴MDAD， ∴BD＝BM+DM＝CDAD，即AD+CD＝BD； （2）2ADCD＝BD． 由∠BAC＝∠BDC＝90°，易得四点共圆， 作MA⊥AD交BD于M， ∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC， ∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°， ∴BC＝2AC，ABAC， ∵∠ABM和∠ACD都是对的圆周角， ∴∠ABM＝∠ACD， ∵∠BAM＝∠DAC， ∴△ABM∽△ACD， ∴， 即AMAD，BMCD， 在Rt△MAD中，由勾股定理得：DM2AD， ∴BD＝BM+DMCD+2AD，即2ADCD＝BD， 故答案为：2ADCD＝BD． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，直角三角的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 20．（1）45；（2）米；（3）写字楼的实际高度约为82米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，圆周定理，将实际问题转化为数学模型是解题的关键． （1）由题可知，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个桥厢，因此； （2）过点作于点，由题可知，点此时的高度为最高为128米，半径为60米，因此点高度为68米，根据，，可得，即可； （3）连接，，，由素材1，素材3可得，，则，过点作于点，令，由素材2，3得：，，可得，即，因此点的高度为：（米，即可． 【详解】解：（1）连接、，如下图所示： “海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个桥厢， ， 故答案为：45． （2）过点作于点， 点此时的高度为最高为128米，半径为60米， 点高度为68米， ，， ， 点的高度为米， 答：点的高度为米． （3）连接，，， 由素材1，素材3可得，， 则，过点作于点， 令，由素材2，素材3的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得：，， ，即， 点的高度为：（米， 答：写字楼的实际高度约为82米． 21．（1）12；（2）；（3）四边形的面积存在最大值，最大值为 【分析】（1）如图所示，过点C作于D，根据垂线段最短可得，再由三角形面积公式可得当最大时，的面积最大，据此可得答案； （2）如图所示，在上方作且满足，过点O作于D，连接，先得到，则，再证明点C在以点O为圆心，的长为半径的圆上运动（优弧上 ），过点C作于E，则，由三角形面积公式可得当最大时，的面积最大，据此求解即可； （3）先证明在以为直径的圆上，取的中点O，连接并延长交于F，过点C作于E，过点F作于G，连接，过点O作，由垂径定理得到，再由圆的性质得到，则利用勾股定理可得，进而求出；证明，得到，则；由是直径，得到，则，设交于T，证明，进而证明，由此可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作于D， ∵垂线段最短， ∴， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∴当A、D重合，即时，的面积最大，最大为， 故答案为：； （2）如图所示，在上方作且满足，过点O作于D，连接， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴点C在以点O为圆心，的长为半径的圆上运动（优弧上 ）， 过点C作于E， ∵， ∴， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∴当三点共线时，最大，此时的面积最大，最大为； （3）∵， ∴在以为直径的圆上， 取的中点O，连接并延长交于F，过点C作于E，过点F作于G，连接，过点O作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵是直径， ∴， ∴， 设交于T， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴四边形的面积存在最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的性质与判定等问题，解题的关键在于把求面积的最大值转换成垂线段最短的问题． 22．（1）8；（2）；（3）元 【分析】（1）过点 O作于E，则四边形是矩形，据此得到，再由，即可得到； （2）如图所示，连接，由折叠的性质可得，则的周长，根据题意可得点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动，故当三点共线，且点F在上时，有最小值，即此时的周长最小，利用勾股定理求出，则的周长最小值为； （3）如图所示，过点A作于G，连接，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理求出，则，由圆周角定理得到，则；如图所示，取的中点P，过点P作于Q，连接，过点F作于M，由，deed点F在以点P为圆心，为直径的圆上运动，由（1）可知，即，证明四边形是正方形，进而证明四边形是矩形，得到，则，再由，得到当最小时，最小，则最小值为，可得种植牡丹花所需费用至少为元． 【详解】解：（1）如图所示，过点 O作于E，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为8， 故答案为：8； （2）如图所示，连接， 由折叠的性质可得， ∴的周长， ∵， ∴点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动， ∴当三点共线，且点F在上时，有最小值，即此时的周长最小， ∵， ∴， ∴的周长最小值为； （3）如图所示，过点A作于G，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图所示，取的中点P，过点P作于Q，连接，过点F作于M， ∵， ∴， ∴点F在以点P为圆心，为直径的圆上运动， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，最小， ∴最小值为， ∴种植牡丹花所需费用至少为元． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最小值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，折叠的性质，圆周角定理，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线找到动点的估计是圆是解题的关键． 23．(1)详见解析 (2)的半径为5 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系． （1）利用圆周角定理可得，结合可证明结论； （2）过点O作半径于点E，可得，根据圆周角、弦、弧的关系可证得，即可求得，利用勾股定理可求解，再利用勾股定理可求解圆的半径． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）过点O作半径于点E，连接， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径是 5． 24．（1），证明见解析；（2）⊙O的半径为 【分析】（1）连接AO并延长交于点G，连接CB、BG，根据点OF分别是AGAB中点，得到OF是的中位线，则有，再根据同弧所对的圆周角相等可得，直径所对的圆周角是直角可得，则有，根据，，从而可得，，继而可得； （2）在中，根据勾股定理可求得的半径． 【详解】解：（1）， 理由如下： 连接AO并延长交于点G，连接CB、BG， ∵， ∴， ∵， ∴OF是的中位线， ∴， ∵AG是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）由（1）得：，， 在中，， ∴的半径为 ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，解题的关键是能够作辅助线构造以OF为中位线的三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$