3.2用频率估计概率同步练习 2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

3.2用频率估计概率 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将求倒出来数的前提下，为估计袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程20次，得到红球与10的比值的平均数为0.4，根据上述数据，估计口袋中大约有（ ）个黄球. A．30 B．15 C．20 D．12 2．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．任意写一个正整数，它能被5整除的概率 D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 3．在掷一枚质地均匀的硬币的试验中，下列说法正确的是（    ） A．随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近 B．抛掷10次，则必有正面朝上与反面朝上各5次 C．抛掷10次，若前9次正面朝上，则第10次必然是反面朝上 D．抛掷10次，则不可能10次正面朝上 4．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 5．在一暗箱里放有个除颜色外其他完全相同的球，其中只有5个红球，每次搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则大约是（    ） A．10 B．15 C．25 D．30 6．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ） A． B． C． D． 7．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）    A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” 8．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有（　　） A．12个 B．24个 C．32个 D．28个 9．下列事件中，必然事件是(     ) A．抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上 B．两直线被第三条直线所截，同位角相等 C．367人中至少有2人的生日相同 D．实数的绝对值是正数 10．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批 粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的 粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的 频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率估计值是(　　) A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90 11．在一个不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入5个黑球，摇匀后从中摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中45次摸到黑球，由此估计盒中的白球个数为（　　） A．36 B．28 C．30 D．42 12．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（　　） A．24 B．18 C．16 D．6 二、填空题 13．在不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.8左右，则袋子中红球的个数最有可能是 个． 14．如表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为 ． 抛掷次数 100 300 500 600 800 900 1000 针尖不着地的频数 64 180 310 360 488 549 610 针尖不着地的频率 0.64 0.60 0.62 0.6 0.61 0.61 0.61 15．如图，某小组做“用频率估计概率”试验时，绘制了上面的频率统计图，则符合这一结果的试验是 ．（填写序号） ①抛一枚硬币，出现正面朝上；②一副去掉大小王的扑克牌，从中任抽一张的花色是黑桃；③掷一个正方体骰子，出现6点朝上；④从装有1个红球和2个黑球的袋中任取1球是红球．    16．某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 ． 17．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是 ． (精确到 0.001)． 三、解答题 18．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下： 抽取件数 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 0.84 0.94 0.88 0.81 0.89 （1）计算表中，的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率． （2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件． 19．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同．他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），如表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 （1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是　　（精确到0.01）； （2）估算袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树形图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 20．“清远市2023年的首场马拉松比赛”共设两个项目，分别是“半程马拉松”（21.0975公里）和“迷你马拉松”（约5公里）． (1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，组委对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“迷你马拉松”人数 15 33 72 139 356 参加“迷你马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为____．（精确到0.1） (2)小明（来自北京市），小军（来自长沙市）、小红（来自清远市）、小丽（来自广州市）四人报名参加“迷你马拉松”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率． 21．某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1) ； ． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 22．为美化校园环境，特考察了一批牡丹移植的成活率，并绘制了如图所示的统计图． (1)估计牡丹成活概率为______．（精确到0.01） (2)该校规划共需成活190株牡丹，估计购买多少株？ 23．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右． (1)请你估计箱子里白色小球的个数； (2)从箱子中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球的颜色不同的概率P1； (3)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，两次摸出的小球颜色恰好不同的概率P2，指出P1，P2的大小，并证明你的结论． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B C C B B B B 题号 11 12 答案 B C 1．B 【详解】解：∵小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.4， 设黄球有x个， ∴0.4（x+10）=10， 解得x=15． 故选：B． 2．B 【分析】根据统计图可得，实验结果在0.33附近波动，故概率，计算四个选项的概率即可得出答案． 【详解】A. 抛一枚硬币两次，出现得结果有（正，正），（正，反），（反，正）和（反，反）四种，所以连续两次出现正面的概率，故A排除； B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故B正确； C. 任意写一个正整数，它能被5整除的概率为，故C排除； D. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故D排除． 故选：B 【点睛】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率，在解答过程中掌握概率公式是解决本题的关键． 3．A 【分析】根据事件发生的频率解答即可． 【详解】A. 随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，本选项说法正确； B. 抛掷10次，则必有正面朝上与反面朝上各5次，本选项说法不正确； C. 抛掷10次，若前9次正面朝上，则第10次必然是反面朝上，本选项说法不正确； D. 抛掷10次，则不可能10次正面朝上，本选项说法不正确； 故选A． 【点睛】本题考查频率和概率，正确理解频率和概率的关系是解题的关键． 4．B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求． 5．C 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．理解和掌握利用频率估计概率是解题的关键． 6．C 【详解】试题分析：直接得出偶数的个数，再利用概率公式求出答案．∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，∴朝上一面的数字是偶数的概率为：= 考点：概率公式． 7．B 【分析】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 分别计算出每个事件的概率，其值约为0.17的即符合题意； 【详解】由图可知实验事件的概率值约为0.17. A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； D、掷一枚质地均匀的硬子，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； 故选：B． 8．B 【分析】根据概率的意义和“频数=数据总数×频率”计算即可． 【详解】解：∵摸到白色球的频率是， ∴口袋中白色球可能有40×＝24个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了概率的应用，掌握“频数=数据总数×频率”成为解答本题的关键． 9．B 【详解】试题分析：抛掷1个均匀的骰子，可能出现6点向上，所以是可能事件；两条直线被第三条直线所截，同位角相等，这两条直线要是平行线；实数的绝对值不一定是正数，比如0的绝对值是0；一年有365或366天，所以367人中至少有2人的生日相同，是必然事件 考点：必然事件 点评：本题考查必然事件，掌握必然事件的概念是解本题的关键 10．B 【分析】根据用频率估计概率的知识解答即可． 【详解】解：当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是0.95． 故选B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 11．B 【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数”，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”． 【详解】解：设盒子里有白球x个，根据题意得： ＝， 解得：x≈28， 经检验x≈28是所列方程的解且符合实际意义， 答：估计盒中的白球个数为28个； 故选：B． 【点睛】本题考查了根据频率估算概率，掌握概率公式建立方程是解题的关键. 12．C 【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数． 【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在和， ∴摸到白球的频率为， ∴口袋中白色球的个数可能是个． 故选：C． 【点睛】大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率． 13．16 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得，（个）， 即袋子中红球的个数最有可能是16个． 故答案是：16． 14．0.61 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.61附近， 所以可估计“钉尖不着地”的概率为0.61， 故答案为：0.61． 15．④ 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的频率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：①抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是，故本选项错误； ②一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项错误； ③掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率是，故本选项错误； ④从一个装有1个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球的概率是，故本选项正确； 故答案为：④ 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 16．0.8 【详解】15÷20=0.75， 33÷40=0.825， 78÷100=0.78， 158÷200=0.79， 321÷400=0.8025， 801÷1000=0.801. ∴这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是0.8. 故答案为0.8. 17．0.440 【分析】根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值求解即可． 【详解】解：∵大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值， ∴抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是0.440， 故答案为：0.440． 【点睛】本题主要考查了用频率值估计概率，解题的关键在于熟知大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值． 18．（1）a＝0．88，b＝0．90，P＝0．90 ；（2）其中次品大约有 200件 【分析】（1）根据频数÷总数＝频率，分别求出a、b即可，再根据频率可靠性可知总数越大时频率越稳定，故总数为1000时所得频率即为每一件衬衣的合格率； （2）利用一件衬衣的合格率×总数=频数，即可合格的衬衣数量，再用总量-合格的衬衣数量=次品数量． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：，，． （2）由（1）可知每一件衬衣的合格率为， ∴次品数量=， 故答案为：次品大约有200件． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率的应用，解答此题关键是估计出任取1件衬衣是次品的概率． 19．（1）数据见解析，0.25；（2）3个；（3） 【分析】（1）直接利用频数÷总数＝频率，求出答案； （2）设袋子中白球有x个，利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x的分式方程，解之得出答案； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）补全表格如下： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251 根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是0.25， 故答案为：0.25； （2）设袋子中白球有x个， 根据从袋中摸出一个黑球的概率大约是0.25可得 ， 解得：， 经检验：时原分式方程的解， ∴估算袋中白球的个数为3， 故答案为：3． （3）画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， ∴两次都摸出白球的概率为：． 【点睛】题目主要考查频数、频率、总数之间的关系、概率计算公式以及利用树形图或列表法求概率，难点在于理解并熟练掌握运用公式． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率、用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）利用表格中的数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为， 故答案为：； （2）解：列表得： 小明 小军 小红 小丽 小明 小军，小明 小红，小明 小丽，小明 小军 小明，小军 小红，小军 小丽，小军 小红 小明，小红 小军，小红 小丽，小红 小丽 小明，小丽 小军，小丽 小红，小丽 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中恰好录取两名来自广东省外的志愿者的情况有种， 恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率． 21．(1)； (2)这个运动员投篮命中率的概率是； (3)36分 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式． （1）用对应的n除以m即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率的概率； （3）根据（2） 的估计得到投篮24次命中次，然后用12乘以3即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）解：这个运动员投篮命中率的概率是； （3）解：这个运动员3分球投篮24次大约命中（次）， ∴这个运动员3分球投篮24次的得分大约为（分）． 22．(1)0.95 (2)估计购买200株 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用统计图可看出频率在0.95上下波动，根据频率估计概率得到牡丹移植成活的概率为0.95； （2）设购买株，利用成活的概率得到，然后解方程即可． 【详解】（1）解：根据统计图，牡丹成活的频率稳定在0.95附近， 所以估计成活概率为0.95； 故答案为：0.95； （2）解：设购买株， 根据题意得， 解得， 答：估计购买200株． 23．(1)估计箱子里白色小球的个数为1 (2)取出的两个球的颜色不同的概率 (3)两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为，证明见解析 【分析】（1）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率，得到摸到红球的概率为0.75，设白球有x个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可； （2）先画出树状图，得到所有的等可能性的结果数，然后找出符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （3）同（2）原理求出即可得到答案． 【详解】（1）解：通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右， 估计摸到红球的概率为0.75， 设白球有x个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 估计箱子里白色小球的个数为1； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图克重一共有12种等可能性的结果数，其中取出的两个球的颜色不同的结果数有6种， ∴取出的两个球的颜色不同的概率； （3）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，一共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6， ∴取出的两个球的颜色不同的概率， ∴． 【点睛】本题主要考查了根据频率估计概率，树状图法求解概率，熟练掌握树状图法求解概率是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$