2022年第十五届全国数理化生综合实践活动高一数学应用知识展示（A卷）

高一数学 1、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A C A B B D 1、 B 2、 D 【解析】根据题意：. 1光年为千米. 故选：D. 3、A 【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点（包括边界），集合中有个元素（即49个点）：即图中正方形中的整点， 集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个． 含有个元素. 故选：A. 4、C 【解析】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除B，D. 又“心形”函数的最大值为1，且，排除A. 故选：C. 5、 A 【解答】因为f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（0）＝a＝0，即当x∈[0，2]时，f（x）＝x2， 由已知f（x）＝f（4﹣x）＝﹣f（x﹣4）， ∴f（x﹣4）＝﹣f（x﹣8）， f（x）＝f（x﹣8）， 故f（x）是T＝8周期函数， ∵f（x）＝f（4﹣x） ∴对称轴为x＝2， 又，即g（2+x）＝g（2﹣x）， 所以函数关于x＝2对称， 如图函数f（x）和函数g（x）在[﹣6，10]上的图像， 在区间[2，2022]上，包含了函数f（x）中的252个周期再加上个周期， 在区间[﹣2020，2]上，包含了函数f（x）中的252个周期再加上个周期， 所以函数f（x）和函数g（x）在[﹣2020，2]和[2，2022]上都有252×2+1＝505个交点， 根据对称性可得所有交点的横坐标之和为505×4＝2020． 故选：A． 6、B 【解析】 设气球的半径为r(t)，r(0)=0，由于半径的增加量与时间成正比，设比例常数为k（＞0），时间为t，于是有r(t) = kt，r(3) = 3k． 由于3分钟体积变为1，所以 ， 设t时刻气球体积变为1.01, 则 两式联立解得 其中 所以即需要继续打气0.01分钟, 也就是0.6秒. 7、B 【解析】根据题意可得， 则当时， ， 所以， 即当放电电流，放电时间为28.5h. 故选：B. 8、D 【解析】. 故选：D 2、 填空题 9 10 11 12 230 ③ 9、由题意可设，以宫音为基音的律管长度为x，则徵音的律管长度为(1－)x，商音的律管长度为(1－)(1＋)x，羽音的律管长度为(1－)(1＋)(1－)x，所以羽音律管长度与宫音律管长度之比为 10、230 【解析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即， ． 11、 【解析】 画出函数的图像如图所示， 设，由，得． 因为有8个零点， 所以方程有4个不同的实根， 结合的图像可得在内有4个不同的实根． 所以方程必有两个不等的实数根， 即在内有2个不同的实根， 画出函数的图象，如图所示： 结合图像可知， ，故． 12、③ 【解析】当nA＝1时PA＝0，故①错误； 若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误； 设B菌的个数为nB＝5×104， ∴nA＝＝2×105， ∴PA＝lg(nA)＝lg 2＋5. 又∵lg 2≈0.3， ∴5＜PA＜5.5，故③正确． 答案 ③ 三、解答题 13、解 设水塔进水量选择第n级，在t时刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100吨加进水量10nt吨，减去生活用水10t吨，再减去生产用水W＝100吨，即y＝100＋10nt－10t－100(0＜t≤16)． (4分） 若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则一定有0＜y≤300，即 0＜100＋10nt－10t－100≤300， （2分） 所以对一切t∈(0，16]恒成立． （2分） 因为=10(+. =20(. （2分） 所以，即n＝4. 答：进水量应选择4级． （2分） 14、解： （1）当时，， 令，得， （2分） 解得， （2分） 所以若不改变带宽，将将信噪比从1023提升到2047时，信道容量能提升 （2）证明：右边 （1分） （2分） （2分） =左边， （2分） 所以，原式成立． （3）分配到信道上能获得最大的信道容量． （3分） 15、解：（1）集合可“双拆”，不可“任意双拆”． （2分） 集合不可“双拆” （2分） （2）不妨设． 反证法，如果可以“任意双拆” （1分） 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者② （2分） 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④； 由①、③，得，矛盾；由②、③得，矛盾； 由①、④，得，矛盾；由②、④，得，矛盾 因此当时，集合A一定不能“任意分拆”； （2分） （3）设集合 由题可知均为偶数，因此均为奇数或偶数． 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以n为奇数． 如果为偶数，则均为偶数． 此时设，则也是可“任意分拆”的． 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的可“任意分拆”集．此时各项之和也为奇数，则集合A中元素个数n为奇数． 综上所述，集合A中元素个数为奇数． （2分） 当时．显然任意集合不可“任意分拆”． 当时，第（2）问已经证明集合不可“任意分拆”． 故 当时，集合， 因为： 3＋5＋7＋9＝11＋13，1＋9＋13＝5＋7＋11，9＋13＝1＋3＋7＋11，1＋3＋5＋11＝7＋13， 1＋9＋11＝3＋5＋13，3＋7＋9＝1＋5＋13，1＋3＋5＋9＝7＋11， 则集合A可“任意分拆”． 所以集合A中元素个数n的最小值为7 （3分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$第十五届中学生数理化生综合实践活动 高一数学应用知识展示(A卷) 地区 学校 姓名」 信息卡号 测试说明： 1.必须在答题纸上答卷，否则成绩无效；远择题的答案涂到答题纸对应题目的标号上，非 选择题的答案书写在答题纸指定区域内. 2.请在答题纸和试卷上填写有效信息.考试时间为90分钟，满分100分. 3.成绩查询：2023年1月5日起，可通过指定网站(www.isuyang.cn)查询成鲼. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有1个选项是正确的） 1.自2022年10月23日起，位于北京首钢奥林匹克主题园区的三高炉一层的全民畅读首钢园 店举办为期10天的“双奥文化主题巡展”，展览采取了“无预约，不进入”的措施，需要通过微信 公众号提前预约才能进人参观.根据以上信息可知“预约”是“参观”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.16世纪，随着航海和天文学的发展，人们需要面对越来越繁难的计算，那时数学家制造了很 多数表用于计算，比如德国数学家斯蒂弗尔在《综合算术》中闸述了一种对应关系： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 11 12 1314 15 16 17 18 19 20 204840968192163843276865536131072262144 5242881048576 已知光在真空中的传播速度为300000km·s',一年按365天计算，利用上表，估算1光 年的距离大约为2*km(k∈N·),则k的值为( A.40B.41C.42D.43 3.SetA={(xy)lx+y2≤1，x,y∈Z},setB={(x,y)llx|≤3，ly|≤3，x,y∈Z},define set AB=(++y2)(x,)EA,(z2,:)E B),how many elements are there in the set A④B？() A.77B.49C.45D.30 高一数学(A卷)共4页第1页 4.如右图所示，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上 部分的函数解析式可能为()， A.y=xv4-z B.y=x√4-x C.y=-x+2xT D.y=-x+2 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足∫(2十x)=f(2-x),当x∈[0,2]时，f(x)= x+a,则函数f(x)与g(x)=2z一的图象在[-2020,2022]上所有交点的横坐标之和为 1 (). A.2020 B.1010C.1012D.2022 6.用电动充气泵给一个大型气球充气，假设气球近似为球形，充气过程中气球半径的变化与 时间成正比.如果3分钟时气球体积为1m,那么要想让气球体积再增加1%，还需要充气的 时长大约是()（提示：V:-音心x接近于0时，心≈1十x) A.0.1秒B.0.6秒C.1.8秒D.3秒 7.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年 实现“碳中和”为实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车 在整体汽车中的渗透率有望超过T0%,新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇，Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)与放电电流1（单位：A)之间 关系的经验公式C=I"·t,其中n=log影2为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电 电流1=10A时，放电时间t=57h,则当放电电流1=15A,放电时间为(). A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h 8.2022年11月初，华裔数学家张益唐发表的论文《离散平均估计和朗道-西格尔零点》在数学 界引起轰动，该论文在一定范围里部分证明了黎曼假设的正确性，黎曼假设是关于素数的分布 的一个假设，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示 为x:)产的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10以内的素数的个数为()（案数即 质数，lge≈0,4343，计算结果取整数). A.2172B.4343C.8869D.8686 高一数学(A卷)共4页第2页 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 9,曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜 礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调，其初始四音为宫、徽，商、羽我国古 代定音采用律管进行“三分损益法”将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短 三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音，若以宫音为基音，宫音 “损一”得微音，微音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与官音律管长度之 比是 10.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累 的过程，每天进步一点点，前进不止一小点若每天的“进步”率都是1%，则一年后的“进步”值 是(1+1%)=1.0165≈37.7834：若每天“退步”率都是1%，则一年后的“退步”值是(1 1%)65=0.993≈0.0255.若“进步”值是“退步”值的100倍，大约经过 天（填整数，参 考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956). In z, x>0, 11.已知函数f(x)= x2+4x+3,x≤0， 若函数g(x)=[f(x)]2一4f(x)+m十1恰有8 个零点，则m的取值范围为 12.已知一容器中有A,B两种菌，且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积为定值10，为了简 单起见，科学家用P4=gna来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种 说法： ①Pa≥1： ②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10： ③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<Pa<5.5(其中1g2≈0.3). 其中正确的说法为 (写出所有正确说法的序号) 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13.(12分)某厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上六点到晚上十点供应生活和生产用 水，已知该厂生活用水每小时10吨，生产用水总量W(吨)与时间t(单位：小时，规定早上六点 时t=0)的函数关系为W=100wF,水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提 高一级，进水量增加10吨若某天水塔原有水100吨，在供应用水的同时打开进水管，问该天 进水量应选择几级，既能保证该厂正常用水（即水塔中水不空），又不会使水溢出？ 高一数学(A卷)共4页第3页 14.(14分)5G技术在自动驾驶，物联网等领域具有重要的价值和意义.其数学原理之一是香 P 农公式：C=W1og:(1+),其中：C是信道容量或者叫信道支持的最大速度，W是信道的带 P 宽，P是平均信号功率，N是平均噪声功率，叫做信噪比。 1)根据香农公式，知果不改变带宽W,将信噪比从1023提升到多少时，信道容量C能 提升10%？ (2已知信号功率P=P,+P,证明：w1o1+卡)=WIg:1+是)+w1og1+ P2 N+P,: (3)现有3个并行的信道X1,X2,X1,它们的信号功率分别为P:,Pg,P,(P1<P<P,), 这3个信道上已经有一些噪声或者信号功率根据(2)中结论，如果再有一小份信号功率，把它 分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论） 15.(14分)对于正整数集合A,记A一{a}={x|x∈A,x≠a},记集合X所有元素之和为 S(X),S(☑)=0，若3x∈A,存在非空集合A1,Ax,满足： ①A1∩Az=☑；②A1UA2=A-{x；③S(A:)=S(A2). 则称A存在“双拆”，若Vx∈A,A均存在“双拆”，称A可以“任意双拆”. (1)判断集合{1,2,3,4}和(1,3,5,7,9,11}是否存在“双拆”？如果存在，继续判断可否“任 意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果） (2)若A={a1,a2,ag,a4a},证明：A不能“任意双拆”； (3)若A可以“任意双拆”，求A中元素个数的最小值. 高一数学(A卷)共4页第4页