精品解析： 海南省海口市龙华区华侨中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年海南省海口市龙华区华侨中学九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 如果将“收入100元”记作“元”，那么“支出50元”应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相反意义的量、数学常识，解题的关键是明确正负数是一对具有相反意义的量． 因为收入与支出相反，所以由收入100元记作元，可得到支出50元用元表示． 【详解】解：如果“收入元”记作“元”， 那么“支出50元”应记作元． 故选：B． 2. 若代数式的值为1，则x的值为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据代数式的值为1可得，解方程即可． 【详解】解：根据题意可得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解本题的关键． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方运算，单项式乘单项式，根据二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方运算，单项式乘单项式进行计算并判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故本选项不符合题意； B．，原计算正确，故本选项符合题意； C．，原计算错误，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 2014年超强台风“威马逊”给海南省的文昌和海口以重创，估算造成直接经济损失达43700000000元人民币．这笔款额用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：C． 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：观察可得最简公分母是2（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：， 方程的两边同乘2（x+1）， 得2x=x+1， 解得，x=1． 检验：把x=1代入2（x+1）=4≠0． ∴原方程的解为：x=1． 故选A 6. 抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．直接利用二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可． 【详解】解：抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 所得的抛物线解析式为． 故选：A． 7. 如图，直线l//m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】A 【解析】 【详解】如图，过点B作BD//l， ∵直线l//m， ∴BD//l//m． ∵∠1=25°， ∴∠4=∠1=25°． ∵∠ABC=45°， ∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°． ∴∠2=∠3=20°． 故选A． 8. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 由，得，由，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解:∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为， 故选：A． 9. 如图，菱形的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，连接，则的长是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接EB．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EB，EC即可． 【详解】解：如图，连接EB． 由作图可知，MN垂直平分线段AB， ∴EA=EB， ∴∠A=∠EBA=45°， ∴∠AEB=90°， ∵AB=4， ∴EA=EB=2 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EBC=∠AEB=90°， ∴EC= 故选C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 点的坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可． 【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意； B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意； C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意； D、根据可知，当时，，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键． 11. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证△AEF≌△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x． 【详解】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置， ∴AE = AB，∠E =∠B ＝∠Ｄ =90°， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AB = CD， ∴AE = DC， 而∠AFE =∠DFC， ∵在△AEF与△CDF中， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴EF = DF； ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD = BC = 6，CD = AB = 4， ∵△AEF≌△CDF， ∴FC = FA， 设FA = x，则FC = x，FD = 6﹣x， 在Rt△CDF中，CF2 = CD2 + DF2， 即x2=42+（6﹣x）2，解得x =， 则FD = 6﹣x =． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理． 12. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿矩形的边由运动，设点运动的路程为的面积为，把看作的函数，函数的图象如图2所示，则的面积为（ ） A. 15 B. 16 C. 20 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从图象中获取信息，解题的关键是得到相应的矩形中各边之间的关系． 根据图可知，一定的面积值相对应的距离可以有2个，找到对应点，找出准确反映y与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中y随x变化的情况． 【详解】由图2知：当动点P由时，点P运动的路程为5 当和时，得面积相等 故选A． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 14. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设出方程的另一个根，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为4， 故答案为；4． 15. 函数的最大值为 ___________． 【答案】8 【解析】 【分析】把函数化为顶点式求出对称轴，根据二次函数的性质即可求出函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，且离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴在时，当时，函数值最大，最大值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键． 16. 如图，在正方形和正方形中，，，，垂足分别是F，G，H，E，， （1）若点F为的中点，则______．﹔ （2）连接，若，正方形与正方形的面积之比为1：n，则______ 【答案】 ①. ## ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、完全平方公式的应用． （1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，据此求解即可； （2）设，，则，，利用已知条件化简得出，利用勾股定理求出正方形的边长，再利用正方形的面积公式解答即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形、为正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形与正方形的面积之比为， ∴， 故答案为：3． 三、解答题：本题共6小题，共72分． 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1）2；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，掌握相关运算法则和解法是解题关键． （1）先计算乘方、负整数指数幂、算术平方根、零指数幂，再计算加减法即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组解集是 18. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路（阴影部分），若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，求小路的宽是多少？ 【答案】小路的宽是 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 19. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3． （1）求证：； （2）求AC的长． 【答案】 （1）证明：∵BC＝5，CD＝4，BD＝3， ∴42+32＝52， ∴∠BDC＝90°； （2）AC的长为 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据勾股定理求出AC即可． 【详解】（1）略 （2）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝180°-90°＝90°， 依题意有AC2＝(AB-3)2+CD2，即AC2＝(AC﹣3)2+42， 解得AC＝． 故AC的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理．能够熟记勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键． 20. 某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． （1）求喷头喷出的水流的最大高度； （2）一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】（1） （2）不会 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【小问1详解】 解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； 【小问2详解】 解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 21. 已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； （3）Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； （4）抛物线的对称轴上有一动点M，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标． 【答案】（1） （2）点P （3） （4）或或或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，然后求出点P的坐标即可； （3）过点Q作轴交于点H，求出直线的表达式为：，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． （4）分两种情况：当时，则，则，即可求解；当时，同理可解． 【小问1详解】 解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：把代入得：， ∴， ∵， ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图所示： 则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， 则点P为所求点， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 即点； 【小问3详解】 解：过点Q作轴交于点H，如图所示： 令， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为； 【小问4详解】 解：设点， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 则， 解得：， 即点或； 当时，， 则， 解得：或， 即点或； 综上，或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数对称性最短距离和问题及三角形面积问题，解题的关键是先求出解析式，熟练掌握轴对称最短距离和问题． 22. 在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，可以将这个图形转换到另一个位置，从而易于解题．请你阅读学习这种旋转变换方法，并运用其解答问题： （1）如图1，在四边形中，，，于E，求证：； 证明：∵，可将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，如图2，请你利用图2完成第（1）题； （2）根据第（1）题的数学活动经验，尝试用旋转变换解答下面的问题； ①如图3，在直角中，D为斜边上一点，，，四边形是正方形，设和的面积分别为，，求的值； ②如图4，已知：，，，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，可将图1中的绕点A逆时针旋转，得到， 如图2，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即C，D，在同一条直线上， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴； （2）①1；② 【解析】 【分析】（1）如图2，易得，证明，即C，D，在同一条直线上，根据有三个角相等的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形得：四边形为正方形，则； （2）①如图3，将绕点D逆时针旋转，得全等后面积相等，得，根据面积公式可得，从而得结论；②以点A为旋转中心，将顺时针旋转60度，得到，连接，，易得，，均为等边三角形，则C，P，M，N在一条直线上，根据勾股定理求得的长，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图3，∵四边形是正方形， ∴，， 将绕点D逆时针旋转，得， ∴，， ∴，， ∵， ∴； ②如图4，以点A为旋转中心，将顺时针旋转60度，得到，连接，， ∴，， ∴，，， ∴，均为等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴C，P，M，N在一条直线上， ∵，， ∴， 在直角中，， ∴的值为． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年海南省海口市龙华区华侨中学九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 如果将“收入100元”记作“元”，那么“支出50元”应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 若代数式的值为1，则x的值为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 2014年超强台风“威马逊”给海南省的文昌和海口以重创，估算造成直接经济损失达43700000000元人民币．这笔款额用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线l//m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 8. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，连接，则的长是( ) A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 点的坐标为 D. 11. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ） A. B. C. D. 12. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿矩形的边由运动，设点运动的路程为的面积为，把看作的函数，函数的图象如图2所示，则的面积为（ ） A. 15 B. 16 C. 20 D. 30 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 因式分解：_______________________． 14. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 15. 函数的最大值为 ___________． 16. 如图，在正方形和正方形中，，，，垂足分别是F，G，H，E，， （1）若点F为的中点，则______．﹔ （2）连接，若，正方形与正方形的面积之比为1：n，则______ 三、解答题：本题共6小题，共72分． 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 18. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路（阴影部分），若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，求小路的宽是多少？ 19. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3． （1）求证：； （2）求AC的长． 20. 某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． （1）求喷头喷出的水流的最大高度； （2）一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 21. 已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； （3）Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； （4）抛物线的对称轴上有一动点M，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标． 22. 在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，可以将这个图形转换到另一个位置，从而易于解题．请你阅读学习这种旋转变换方法，并运用其解答问题： （1）如图1，在四边形中，，，于E，求证：； 证明：∵，可将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，如图2，请你利用图2完成第（1）题； （2）根据第（1）题的数学活动经验，尝试用旋转变换解答下面的问题； ①如图3，在直角中，D为斜边上一点，，，四边形是正方形，设和的面积分别为，，求的值； ②如图4，已知：，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $