4.2平行线分线段成比例同步练习2024-2025学年北师大版数学九年级上册

4.2平行线分线段成比例 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则（　　　）    A． B． C． D． 2．如图所示，直线，下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，点O是对角线，的交点，点E是上一点，．若，，，则的长为（    ）    A．2 B． C． D．3 4．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的五个点都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B．2 C． D．1 5．如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，直线、与、、分别相交于点、、和、、．若，则等于（      ） A． B． C． D． 7．如图，，直线、与这三条直线分别交于点、、和、、，若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 8．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB,AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=8，AE=2，则CE的长为 （   ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F，如果，，那么的长等于（    ） A．6 B．9 C．10 D．25 10．如图，AB//CD//EF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，C，E和点B，D，F，若AC＝1，CE＝3，BD＝1.2，则BF的长为（    ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5.2 11．如图，已知直线∥∥，直线m、n 与、、分别交于点、、、、、，，，，则（     ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 12．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在中，，那么 ． 14．在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE经过△ABC的重心，如果＝，，那么＝ ．（用、表示） 15．如图，已知D  ， E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB  ， 那么BC：CD应等于 ． 16．如图，．若，，则的值是 ．    17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AB，CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF=1，M，N分别为GD，EC的中点，则MN= ． 三、解答题 18．如图1，在中，为的中点，是边上一动点，连接．若设 (当点与点重合时，的值为)，． 小明根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整．    通过取点、画图、计算，得到了与的几组值，如下表： 说明：补全表格时，相关数值保留一位小数． (参考数据：) ． 如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象．    观察图象，下列结论正确的有 _ ． ①函数有最小值，没有最大值 ②函数有最小值，也有最大值 ③当时，随着的增大而增大 ④当时，随着的增大而减小 19．如图是一块直角三角形木板，其中∠C＝90°，AC＝1.5m，面积为1.5m2．一位木匠想把它加工成一个面积最大且无拼接的正方形桌面，∠C是这个正方形的一个内角． （1）请你用尺规为这位木匠在图中作出符合要求的正方形； （2）求加工出的这个正方形桌面的边长． 20．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    21．如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 22．如图，在中，，，点为的中点，点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点出发后，过点作，交于点，连接．设点的运动时间为． (1)用含的式子表示的长； (2)求证：是等腰三角形； (3)当时（点和点，点和点是对应顶点），求的值； (4)连接，当的某一个顶点在的某条边的垂直平分线上时，直接写出的值． 23．如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF. (1)求证：BF=DF； (2)连接CF，请直接写出的值为__________（不必写出计算过程）. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B D C C B A C 题号 11 12 答案 B D 1．B 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理得出答案即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答此题的关键． 2．C 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：, ， 即选项A、B、D正确， 不正确， 故选：C 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，即两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 3．C 【分析】根据可以求出的长，结合菱形的性质可求出边长，根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形ABCD为菱形，AC＝6， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例，灵活运用所学知识是解题关键． 4．B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例可得，可求出，再根据五线谱是等距离，即可求解，掌握平行线分线段成比例式解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，分别交于点，， ∵五线谱是等距离，等长度得五条平行线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【详解】 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 6．C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到根据然后根据比例性质求． 【详解】解：∵AD∥BE∥CF， ∴ , ∴ 故选C. 【点睛】考查平行线分线段成比例定理，三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例. 7．C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出的长度即可． 【详解】解：， ， ，，， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 8．B 【详解】∵在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，DE∥BC， ∴， 又∵AD=4，BD=8，AE=2， ∴， ∴ 4EC=16， ∴EC=4. 故选B. 9．A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此求出的长即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 10．C 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出BD，计算即可． 【详解】解：∵AB//CD//EF， ∴ ， ∴ ， ∴DF=3.6， ∴BF=BD+DF=1.2+3.6=4.8 故答案为:4.8. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 11．B 【分析】分析题意，观察图形可知，BF=BD+DF，BD已知，则只要得到DF的长度即可；已知a∥b∥c，根据平行线分线段成比例可得 ；接下来将已知数据代入计算即可得到DF的长，结合BF=DF+BD便可解答此题 【详解】∵ a∥b∥c， ∴ . ∵ AC=4，CE=6，BD=3，， ∴ DF=4.5. ∵ DF=4.5，BD=3，BF=BD+DF， ∴ BF=7.5. 故选B. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题关键是掌握平行线分线段成比例，由题意得到得到DF的长度. 12．D 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 13．4 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行计算即可． 【详解】解：∵DE∥BC，AD=8cm，AE=6cm，CE=3cm， ∴，即， ∴DB=4cm. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据比例线段的性质求解是解题的关键. 14． 【分析】由DE∥BC推出AD：AB＝AG：AF＝DE：BC＝2：3，推出DE＝BC，求出 BC即可解决问题． 【详解】解：如图设G是重心，作中线AF． ∵DE∥BC， ∴AD：AB＝AG：AF＝DE：BC＝2：3， ∴DE＝BC， ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的重心、平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15． 【详解】解：根据题意可得，要使∥，则要 即, 即. 故答案为：. 16．15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．由平行线可知，进而求得，即可得出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 17． 【分析】作MH⊥CD于H，NQ⊥CD于Q，MK⊥NQ于K，如图，先证明四边形BCFE为矩形得到EF=BC=4，再根据平行线分线段成比例定理得到，则MH=，DH=DF，同理可得NQ=2，CQ=CF，则HQ=CD=2，易得四边形MKQH为矩形，则KQ=KH=，MK=HQ=2，然后在Rt△MNK中利用勾股定理计算MN的长． 【详解】解：作MH⊥CD于H，NQ⊥CD于Q，MK⊥NQ于K，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD=90°，CB=CD=4， ∵EF∥BC， ∴EF⊥CD， ∴四边形BCFE为矩形， ∴EF=BC=4， ∴MH∥EF，NQ∥EF， ∵MH∥GF， ∵，M点为DG的中点， ∴MH=GF=，DH=DF， 同理可得NQ=EF=2，CQ=CF， ∴HQ=(DF+CF)=CD=2， 易得四边形MKQH为矩形， ∴KQ=KH=，MK=HQ=2， ∴NK=NQ﹣KQ=2﹣=， 在Rt△MNK中，MN=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，构造适当的辅助线帮助解题. 18．（1）5.0；6.0；（2）见解析；（3）②③． 【分析】（1）过点D作DE⊥BC，则DE=，由勾股定理求出PA和PD的长度，即可得到答案； （2）根据题意，通过描点、连线，补全函数图像即可； （3）结合函数图像，分别对四个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，如图：    ∵AC=3，PC=1，由勾股定理，得 ， ∵点D是AB中点，DE⊥BC，∠ACB=90°， ∴DE是中位线， ∴DE=，CE=2， ∴， ∴， ∴； 当PC=3时，此时PE=1，如图：    ∴，， ∴； 故答案为：；． 描点、连线，如图：    （3）由（2）中图像可知： 函数有最小值，也有最大值；故①错误，②正确； 作点A关于BC的对称点G，连接DG，与BC相交于点P， 则此时PA+PD=DG为最小值；如图：    ∵DE∥AG， ∴， ∴， ∴， ∴当时，PA+PD=DG有最小值； ∴当时，随着的增大而增大，③正确； ∴当时，随着的增大而减小，故④错误； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，三角形的中位线，画函数图像，函数的图像和性质，以及函数的最值，解题的关键是正确作出图像，掌握所学的知识进行解题． 19．（1）见解析；（2）m． 【分析】（1）作CE平分交AB于E，作于G，于F，四边形EFCG即为所求． （2）利用三角形的面积求出BC，设正方形的边长为xm，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出x即可． 【详解】解：（1）如图，正方形EFCG即为所求． （2）设正方形的边长为xm． ， ， ， ∵， ∴∽， ， ， ． 正方形的边长为 【点睛】本题考查作图——应用与设计，正方形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．4米 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 21．桶内所装液体的体积为立方米． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据油面和桶底是一组平行线，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用圆柱的体积公式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ，解得：， ∴桶内所装液体的体积（立方米）． 答：桶内所装液体的体积为立方米． 22．(1) (2)见解析 (3) (4)或或或3 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据等边对等角，平行线的性质，等角对等边证明等腰三角形即可； （3）根据全等三角形的性质可得，列出一元一次方程解方程求解即可； （4）分四种情形，①当点C在DQ的垂直平分线上时，连接CD，过点D作DT⊥BC于T，过点作于点，连接，②当点A在DQ的垂直平分线上时，③当点C在PD的垂直平分线上时，④当点B在PD的垂直平分线上时，分别求解即可 【详解】（1） （2） 是等腰三角形 （3） 即 解得 （4）①当在的垂直平分线上时， 连接，过点作于点，过点作于点，连接，如图， 中， 为的中点，为的中点 ， ， 即 解得 当点在的垂直平分线上时，如图， 此时，此时 ③当在的垂直平分线上时，如图， 此时 ④当点在的垂直平分线上时，，此时 综上所述，满足条件的的值为或或或3 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，分类讨论是解题的关键． 23．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据正方形的性质得出BE=DG，再利用△BEF≌△DGF求得BF=DF， （2）由BF=DF得点F在对角线AC上，再运用平行线间线段的比求解． 【详解】（1）∵四边形ABCD和AEFG都是正方形， ∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°， ∴BE=AB-AE，DG=AD-AG， ∴BE=DG， ∴△BEF≌△DGF（SAS）， ∴BF=DF； （2）连接AC， ∵BF=DF ∴点F在对角线AC上， ∵AD∥EF∥BC， ∴CF：BE=AF：AE=AE：AE=， ∴CF：BE=． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定和性质，要熟练掌握基本基础知识，灵活应用解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$