专题突破1 空间角 讲义-2025届高三数学一轮复习

空间角 1、 知识要点： 1.求空间角的常用方法： 空间角 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角及二面角的平面角 求解方法 1.定义法 2.向量法 ①坐标法 ②基向量法 1.定义法 2.构造法 3.向量法 1.定义法 2.三垂线法 3.射影面积法 4.向量法 2.易错提醒： ①两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系。 ②若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则。容易出错的是： ⑴误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角； ⑵误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值. ③若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则 二、题型： （一）异面直线所成的角 （Ⅰ）求异面直线所成的角 （ⅰ）定义法： 1. 在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，取中点，连接，取中点，连接， 则， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以或其补角是异面直线与所成角， 设正方体棱长为2，则， 在等腰中，是中点，所以， 所以， 即异面直线与所成角的正弦值为. 故选：C 2．如图，在正三棱柱中，若,则与所成角的大小为  （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，分别取的中点，连接， 可得且， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设， 因为三棱柱为正三棱柱， 因为， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 再取的中点，连接，可得， 因为底面，所以底面， 在直角中， 可得， 所以，所以， 所以异面直线与所成的角为. 故选：C. 3.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小. 【答案】60° 【详解】 如图，取AC的中点G，连接EG，FG. 因为E，F，G分别是AB，CD，AC的中点， 所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC， 则∠EGF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角. 因为AD＝BC＝2，所以EG＝GF＝1. 单独看△GEF的平面图，可得 在等腰△GEF中，过点G作GH⊥EF于点H， 在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，则sin∠EGH＝， 所以∠EGH＝60°，则∠EGF＝2∠EGH＝120°. 所以异面直线AD，BC所成的角为∠EGF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°. （ⅱ）向量法： ①坐标法： 1．棱长为2的正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 有，， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：A. 2．把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取中点，连接，，以，分别为，轴，垂直面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为是边长为的正方形，所以, 则，，， 又易知，,，所以为二面角的平面角， 由题知，，所以，则 所以，，， 故， 所以，异面直线与所成角的余弦值为． 故选：D. ②基向量法： 1. 如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则，， ， ， 所以， 故直线CE与DF所成的角为. 故选：D 2.（2024高三全国专题练习）在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，借助空间向量数量积与模长的关系及向量夹角计算公式计算即可得. 【详解】如图，设，，，三棱柱的棱长均为1， 则，，， ， 又， ， 则， 故异面直线与所成角的正弦值为. 故选：D. （Ⅱ）已知异面直线所成角求值 1. 如图，空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，并且异面直线与所成的角为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】取的中点，连接，，如图， 则，， （或其补角）即异面直线与所成的角， ，，， . 故选：C. 2.（多选）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】BD 【详解】   取中点，连接，， 因为，分别为，的中点，，， 所以，，，， 所以异面直线与所成角与直线和所成角相等，即或， 当时，根据余弦定理得， 解得； 当时，根据余弦定理得，， 解得. 故答案为：BD. 2. 如图，在正四面体中，为中点，是棱上的动点，则当异面直线与所成角的正弦值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作，则. 为中点，是的中位线，则， 则是异面直线与所成的角. 当与在平面里的投影重合时，最小， 设平面，易知为等边的重心，连接并延长，交于点，作交于点. . 设正四面体的棱长为，则，. 在中，为重心，. 又，则 在中，设， ， . 故选：C. 3. 在三棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若异面直线所成角的余弦值为，求. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，结合得到平面，再由平行关系得到证明； （2）作出辅助线，证明出⊥平面，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】因为平面平面，交线为， ，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面， 又，所以平面； 【小问2详解】取的中点，连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 取的中点，连接，则， 因为，所以⊥， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，故， 设，则，设， 由得， 解得，故， ， 因为异面直线所成角的余弦值为， 所以， 解得，故. (二) 线面角 (Ⅰ)求线面角 （ⅰ）定义法： 1. 长方体中，四边形为正方形，直线与直线所成角的正切值为2，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由异面直线所成的角求得长方体中棱的关系，再根据线面角定义计算． 【详解】长方体中，，所以就是直线与直线所成角， 因此，即， 又由平面知是直线与平面所成角， ， 故选：B． 2. 在三棱锥中，两两垂直，，则直线与平面所成角的正切值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，作交于点，由线面垂直的判定定理、性质定理可得就是直线与平面所成角，在中计算可得答案. 【详解】如图所示，取的中点为，连接，作交于点， 因为，且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，点为的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以就是直线与平面所成角， 因为， 所以. 故选：D. 3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 【解析】（1）连接，， 因为底面为平行四边形，为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为， 由余弦定理得，即， 解得， 因为，所以⊥， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为平面，， 所以平面； （3）取的中点，连接，则， 因为⊥平面，所以⊥平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为⊥，，由勾股定理得， 故， 由勾股定理得， 所以. （ⅱ）构造法： 1. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 2. 三棱柱中，为中点，．    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知：，且为矩形， 则， 可得，且均为锐角， 则，即， 又因为，，平面， 所以平面， 由平面，则， 由题意可得，，平面， 所以平面， 由平面，可得， 且∥，则， 又因为，，平面， 所以平面. （2）连接，由题意可得：，    因为平面，平面，可得， 又因为，，，平面， 则平面，可知点到平面的距离为， 设点到平面的距离为， 由可得：，解得， 所以与平面所成角的正弦值为. 思维升华： 对于一些直接作线面角较为困难的问题，可在构成线面角的直角三角形中，利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角。 （ⅲ）向量法： 1. 已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，直线的一个方向向量，利用向量的夹角公式可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为点在底面的射影为中点H，则平面， 又因为四边形为正方形， 以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为平面，平面，则， 因为，，则， 则、、、， 所以， 易知平面的一个法向量为， ， 因此，直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：. 2. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，点在上，点在上，平面平面．    (1)求证：是的中点； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行得到线线平行，从而得到四边形为平行四边形，，得到结论； （2）作出辅助线，得到，结合三角形全等得到，从而证明出线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 平面平面．所以， 又由梯形可得，所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点． （2）连接，由（1）知是的中点，， 故，故， 因为， 所以，故，即， 因为，所以与全等， 所以，即， 又平面，所以平面， 以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，    因为，由勾股定理得， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，于是， 由平面平面，平面平面，平面平面． 得， 又是的中点，所以是的中点，． 设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． (Ⅱ)已知线面角求值 1. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，1. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由（1）中坐标系，假定存在，利用线面角的向量求法列式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    ，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，令，得 ， 设平面的法向量为，则，令，得 ， 显然，点平面，所以平面平面. （2）假设线段上存在点满足条件，，， 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得，而，解得， 所以存在点符合题意，此时. 2. 在空间四边形ABCD中，. (1)求证:平面平面ABC; (2)对角线BD上是否存在一点，使得直线AD与平面ACE所成角为.若存在求出的值，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【分析】（1）取的中点，连,可证明，，根据线面垂直与面面垂直的判定定理即可证明； （2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量的坐标，根据即可求解. 【详解】（1）取的中点，连, 因为，所以，且. 又，则，且. 又，则，则. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）易知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则,, 则. 设，则. 则. 设平面的法向量为， 则， 令，则，即. 又,所以， 即，即，解得或（舍去）， 因为，所以,所以， 所以. 故. (Ⅲ)最值问题 1. 如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转90°得到的．设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则直线与平面所成角的正弦值最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先将图形补全为一个正方体，然后以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法算出直线与平面的所成角的正弦值，根据线面夹角定义确定夹角最大值，即可得结论． 【详解】由题意可将图形补全为一个正方体， 以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则,0,，,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，， 设,,，其中、满足，，， ,0,，,,，,,， 设,,为平面的一个法向量，则 即，取，则，，,,， 设直线与平面的所成角为，则 ． 由，，，设，，为锐角， 则， 令，，所以， 则当时有，，所以，，函数单调递减，，，函数单调递增， 又，所以，即的最大值为. 故选：B. (三) 二面角 (Ⅰ) 二面角的求法： （ⅰ）定义法： 1. 如图，三棱锥 中，已知平面,.则二面角的正弦值为_____. 【答案】 【详解】 取BC的中点D，连结PD，AD，因为，所以， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为平面PAD，平面PAD，，所以平面PAD， 因为平面PAD，所以， 所以即为二面角的平面角， 因为，所以，， 即二面角的正弦值是. 故答案为：. 2. 已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______． 【答案】 【详解】设，连接， 平面，平面，，， 四边形为正方形，， ，平面，平面， 又平面，，是二面角的平面角， 由，得：. 故答案为：. 3.如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面． (1)若的中点为，求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）设是中点，连接，如下图所示： 在中，为为中位线，所以：，又因为：， 所以：，所以：四边形为平行四边形，得：， 又因为：平面平面，所以：平面.    （2）如图，延长和交于点，连接. 过点作，垂足为点，连接.    因为：平面平面，平面平面， 所以：平面， 因为：，且平面， 所以：平面，所以为所求二面角的平面角， 在中，， 得：， 所以：， 所以：. （ⅱ）三垂线法： 1. 如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面平面DAC，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D．    【答案】C 【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，再在直角三角形中计算作答. 【详解】设正方形的边长为a，取AC的中点O，连接BO，则，过O作AD的平行线OE交CD于E，连接BE，如图，    因为平面平面DAC，平面平面，平面， 则平面DAC，而平面DAC，于是， 又，平面BOE，则平面BOE， 而平面BOE，即有， 因此为二面角的平面角，显然，， 有，即为直角三角形，有，则， 所以. 故选：C 2. 如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角的正切值等于 ． 【答案】 【分析】在平面ABC内，过作，可证得平面，AH⊥平面BCD，过作，可得平面，则，故为二面角的平面角的补角，设，求出，即可得出答案. 【详解】在平面ABC内，过作，垂足为，连接DH， 由题意，，平面，∴平面， ∵和所在的平面互相垂直，且平面平面，∴AH⊥平面BCD， 过作，垂足为，连接AR， ∵平面，平面，∴， ∵，平面， ∴平面，又平面，∴， 故为二面角的平面角的补角． 设，则由题设知，， 在中，， ， 故二面角的正切值为． 故答案为：． （ⅲ）射影面积法： 1. 如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_______. 【答案】 【详解】过 A作的延长线于E， 连结 DE， ∵平面平面，平面平面， ∴ 平面 ∴ E点即为点A在平面内的射影， ∴ 为在平面内的射影，                                                                        设，则， ∴由余弦定理可得，∴， ∴ ， 又，∴ ， 设二面角为，∴ . 而二面角与互补， ∴二面角 的余弦值为. 故答案为： 2. 直角三角形的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成和角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为________． 【答案】 【详解】如图，过点作平面，垂足为，连接， ∵平面，则， 设， 不妨设分别与平面成和角，则， 过作，垂足为，连接， ∵，，平面， 则平面，且平面， ∴，即所求二面角的平面角为， 由的面积可得， 由的面积可得， ∵， 故所求锐二面角的余弦值为． 故答案为：. （ⅳ）向量法： 1. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解；(2) 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 2. 如图，平面四边形中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至，使得． (1)证明：； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 3. 已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用题中所给的条件证明，，因为，所以，，即可证明平面，进一步可得面面垂直； （2）先证明平面，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解 解：（1）在图①中，连接，如图所示： 因为四边形为菱形，，所以是等边三角形. 因为为的中点，所以，. 又，所以. 在图②中，，所以，即. 因为，所以，. 又，，平面. 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）由（1）知，，. 因为，，平面. 所以平面. 以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，. 因为为的中点，所以. 所以，. 设平面的一个法向量为， 由得. 令，得，，所以. 设平面的一个法向量为. 因为， 由得 令，，，得 则， 所以二面角的余弦值为. (Ⅱ) 已知二面角求值： 1. 四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】在四面体中，，，则是二面角的平面角，如图， ，而，，， ， 因为平面与平面的夹角为，则当时，， 当时，， 所以的值可能为，. 故选：AD 2. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 3. 在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，．    (1)求证：； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作，证得平面，得到，再由平面，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标，设，由，得到，求得，在求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程求得点的坐标，根据棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1）解：作交于， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，且平面，， 所以平面， 因为平面，所以. （2）解：以为原点，以所在的直线分别为，建立空间直角坐标， 如图所示，则， 设，因为，所以， 因为，所以，即， 又由， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又因为为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则， 因为，解得（舍去）或， 所以点或， 所以三棱锥的体积为.    (Ⅲ) 二面角中的探索性问题： 1. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值； （3）设，求，利用向量方法求直线与平面所成的角的正弦值，列方程求. 【详解】（1）因为，因为，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， ，， 且平面平面，平面 平面平面， 平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取. 设平面的法向量为，， 由，取， . 二面角是钝角， 二面角的正弦值为. （3）设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为， 解得，. 2. 如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，，分别为和的中点，为棱上的点. (1)证明：； (2)是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足条件 【详解】（1）证明：由题意，，，两两垂直，以A为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 所以， 因为， 所以. （2）由题意，平面，所以平面的一个法向量为， 因为，所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面与平面的夹角为，则 ， 整理得，，解得， 所以存在点，满足条件. 43 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间角 1、 知识要点： 1.求空间角的常用方法： 空间角 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角及二面角的平面角 求解方法 1.定义法 2.向量法 ①坐标法 ②基向量法 1.定义法 2.构造法 3.向量法 1.定义法 2.三垂线法 3.射影面积法 4.向量法 2.易错提醒： ①两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系。 ②若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则。容易出错的是： ⑴误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角； ⑵误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值. ③若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则 二、题型： （一）异面直线所成的角 （Ⅰ）求异面直线所成的角 （ⅰ）定义法： 1. 在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正三棱柱中，若,则与所成角的大小为  （      ） A． B． C． D． 3.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小. （ⅱ）向量法： ①坐标法： 1．棱长为2的正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 2．把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． ②基向量法： 1. 如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 2. 在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． （Ⅱ）已知异面直线所成角求值 1. 如图，空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，并且异面直线与所成的角为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.（多选）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（    ） A． B． C．5 D． 3. 如图，在正四面体中，为中点，是棱上的动点，则当异面直线与所成角的正弦值最小时，（    ） A． B． C． D． 4.在三棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若异面直线所成角的余弦值为，求. (二) 线面角 (Ⅰ)求线面角 （ⅰ）定义法： 1. 长方体中，四边形为正方形，直线与直线所成角的正切值为2，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，两两垂直，，则直线与平面所成角的正切值等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值. （ⅱ）构造法： 1.已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 2. 三棱柱中，为中点，．    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 思维升华： 对于一些直接作线面角较为困难的问题，可在构成线面角的直角三角形中，利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角。 （ⅲ）向量法： 1. 已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 2. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，点在上，点在上，平面平面．    (1)求证：是的中点； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (Ⅱ)已知线面角求值 1. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 2. 在空间四边形ABCD中，. (1)求证:平面平面ABC; (2)对角线BD上是否存在一点，使得直线AD与平面ACE所成角为.若存在求出的值，若不存在说明理由. (Ⅲ)最值问题 1. 如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转90°得到的．设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则直线与平面所成角的正弦值最大为（    ） A． B． C． D． (三) 二面角 (Ⅰ) 二面角的求法： （ⅰ）定义法： 1. 如图，三棱锥 中，已知平面,.则二面角的正弦值为_____. 2. 已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______． 3.如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面． (1)若的中点为，求证：平面； (2)求二面角的正弦值． （ⅱ）三垂线法： 1. 如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面平面DAC，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D．    2. 如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角的正切值等于 ． （ⅲ）射影面积法： 1. 如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_______. 2. 直角三角形的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成和角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为________． （ⅳ）向量法： 1.如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 2.如图，平面四边形中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至，使得． (1)证明：； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 3. 已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，求二面角的余弦值. (Ⅱ) 已知二面角求值： 1. 四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 3．在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，．    (1)求证：； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． (Ⅲ) 二面角中的探索性问题： 1.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 2. 如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，，分别为和的中点，为棱上的点. (1)证明：； (2)是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段的长. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$