专题突破2 空间距离 讲义-2025届高三数学一轮复习

空间距离 一、知识要点 空间距离及常用求解方法： 空间距离 点到直线的距离 点到面的距离 线到面的距离 平行平面间的距离 求解方法 1.定义法 2.向量法 1.定义法 2.转换法（平行、倍分、等体积转化等） 3.向量法 1. 转化法 2.向量法 1. 转化法 2.向量法 二、题型： （一）空间距离的求法： （Ⅰ）点到直线的距离 （ⅰ）定义法 1.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离 ． （ⅱ）向量法 2.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3.棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4.如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点. (1)证明：∥平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)求A点到直线的距离. （Ⅱ）点到面的距离 （ⅰ）定义法 1. 如图所示，正四面体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 2. 已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为 . （ⅱ）转换法 ①平行转换法 1.如图，在四棱锥中，平面，平面平面． (1)证明：； (2)若为的中点，，求到平面的距离． ②倍分转换法 1．如图，为边长为2的等边三角形，为菱形， ，为的中点，平面平面，为棱上一点， （1）证明：平面平面； （2）若平面，求三棱锥的体积。 ③等体积转换法 1. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 . 2. 在正三棱柱中，若，，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3． 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 4. 如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求点A到平面的距离. （ⅲ）向量法 1. 已知四面体满足，， ，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2． 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． （Ⅲ）线到面的距离 （ⅰ）转化法 1. 正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 2. 如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. (1)求证:平面; (2)若,求到平面的距离. （ⅱ）向量法 1. 已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，则直线到平面的距离为 2. 如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点. (1)证明：； (2)求直线与平面的距离. （Ⅳ）平行平面间的距离 （ⅰ）转化法 1. 在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是 ． 2. 如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. （ⅱ）向量法 1. 底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点. (1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）； (2)若，求平面与平面的距离. (二)最值问题 1. 已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 2.已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 3. 已知四棱锥的底面ABCD是矩形，，，，．若四棱锥的外接球的体积为，则该球上的点到平面PAB的距离的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4. 已知三棱锥，满足，，两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，求点到平面的距离的最大值. （三）探索存在型问题 1. 如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 2． 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 3. 如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.    (1)求证：； (2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间距离 一、知识要点 空间距离及常用求解方法： 空间距离 点到直线的距离 点到面的距离 线到面的距离 平行平面间的距离 求解方法 1.定义法 2.向量法 1.定义法 2.转换法（平行、倍分、等体积转化等） 3.向量法 1. 转化法 2.向量法 1. 转化法 2.向量法 二、题型： （一）空间距离的求法： （Ⅰ）点到直线的距离 （ⅰ）定义法 1.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离 ． 【答案】/ 【详解】 正方体中，平面，平面，则， 又因为， 所以到直线的距离为. 故答案为：. （ⅱ）向量法 1. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】取的中点，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可. 解：取的中点，则， 以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离为. 故选：C. 2. 棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 建立空间直角坐标系，根据条件可得，，， ，，设向量与的夹角为， ， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 3. 如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点. (1)证明：∥平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)求A点到直线的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）取中点，可得四边形为平行四边形，从而，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）建系标点，求出平面BDM的法向量，易知为平面PDM的一个法向量，利用向量夹角公式求解可得答案. （3）利用空间向量求得，即可得，进而可得结果. 【详解】（1）取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点，则，， 因为∥，，则，， 可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以∥平面PAD． （2）因为平面，，平面ABCD， 则，，且， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 取CD的中点，连接BE， 因为∥，，则，， 又因为，所以四边形ABED为矩形， 且，可知四边形ABED是以边长为2的正方形， 则，，，，，， 可得，，， 设平面BDM的法向量为，所以， 令，则，．所以平面BDM的一个法向量为， 易知为平面PDM的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为. （3）由（2）可知：， 则， 即，可知为锐角， 则， 所以A点到直线的距离为. （Ⅱ）点到面的距离 （ⅰ）定义法 1. 如图所示，正四面体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】 设是底面的中心，则平面， 又因为平面，所以， 正四面体的棱长为1，则， , 故答案为：. 2. 已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为 . 【答案】 【详解】设在平面内的射影为，则平面， 由于平面，所以， 过作，垂足分别为， 由于，所以四边形是矩形. 由于平面，所以平面， 平面，所以； 同理可证得. 所以，， ，即到平面的距离是. 故答案为： （ⅱ）转换法 ①平行转换法 1.如图，在四棱锥中，平面，平面平面． (1)证明：； (2)若为的中点，，求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面得到，由题意可得，结合线面垂直的判定、性质即可得证； （2）首先证明平面，平面，即所求为的长度，由解三角形知识即可求解. 【详解】（1）设，连接，过作，垂足为， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）取的中点，连接，则， 又平面平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离． 过作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以由面面垂直的性质可得平面， 由（1）得， 因为，所以， 因为，所以． 所以，所以， 即点到平面的距离为． ②倍分转换法 2.如图，为边长为2的等边三角形，为菱形， ，为的中点，平面平面，为棱上一点， （1）证明：平面平面； （2）若平面，求三棱锥的体积。 答：（1） , (2)如图：连接交于,连接 因为平面，,所以 ， 则 · 平面平面， · 又 设到平面的距离为 ，则 ， 所以 ③等体积转换法 1. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】解：如图， 设点到平面的距离为， ， 又， 在中，， 所以是边长为的等边三角形， 则， ，即， 解得：，所以点到平面的距离为. 故答案为：. 2. 在正三棱柱中，若，，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在正三棱柱中，若，， 所以， 由勾股定理可得， 在等腰三角形中，底边上的高长为， 所以等腰三角形的面积为， 设点A到平面的距离为， ， 故选：B 3. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 【答案】(1)证明见详解；(2) 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）作，连接，易证三垂直，结合等体积法即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接，因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得， 又，所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形， 与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 由等体积法可得，， ，， 设点到的距离为，则， 解得，即点到的距离为. 4. 如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求点A到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 连接交于点，连接， 则有为的中点，M为的中点， 所以， 且平面，平面， 所以平面. （2）连接,因为，所以, 又因为平面，平面， 所以，,所以平面, 又因为平面,所以, 又，所以是等腰直角三角形， , 所以, , 设点A到平面的距离为， 因为,所以, 所以. （ⅲ）向量法 1. 已知四面体满足，， ，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为四面体满足，，，，，， 可得， 设平面的一个法向量， 则， 令，解得，所以， 所以， 设点到平面的距离为，则. 故选：D. 2. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. （Ⅲ）线到面的距离 （ⅰ）转化法 1. 正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 所以的长即为棱到面的距离，而， 所以所求距离为． 故选：C． 2. 如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. (1)求证:平面; (2)若,求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接,如图: 因为,四边形为菱形, 所以, 又为棱的中点, 所以, 因为, 所以, 因为平面,平面, 所以, 又平面,平面, 所以平面. （2）因为平面,平面, 所以平面, 则到平面的距离即为点到平面的距离, 设点到平面的距离为, 因为,,平面,,四边形为菱形, 所以, 解得, 即到平面的距离为. （ⅱ）向量法 1. 已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，则直线到平面的距离为 【答案】 【解析】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示， 因为正四面体的长为2， 所以正方体的棱长为， 则，，， 因为点，分别为和的重心， 所以点的坐标为，点的坐标为 所以， 设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，取，则， 因为，且直线平面， 所以直线平面， 所以点到平面的距离就是直线到平面的距离， 则点到平面的距离， 即直线到平面的距离为 2. 如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点. (1)证明：； (2)求直线与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）连接,，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以， 又平面，平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. （2）由（1）知，平面， 则点到平面的距离即为与平面的距离， 连接,，由均为正三角形，为的中点，得， 又平面平面，平面平面平面， 于是平面，又平面，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，又，， 又，可得， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， 设点到平面的距离为，则， 所以与平面的距离为. （Ⅳ）平行平面间的距离 （ⅰ）转化法 1. 在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是 ． 【答案】 【详解】因为平面平面，平面，所以到平面的距离即为平面与平面间的距离，易知平面，从而点A到平面的距离即为所求的距离． 如图，过点A作于点． 因为平面，平面 所以平面平面， 又平面平面= 所以平面，则即为所求． 在中，，，则， 因为，所以． 故平面与平面的距离为． 故答案为： 2. 如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    （ⅱ）向量法 1. 底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点. (1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）； (2)若，求平面与平面的距离. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，则平面即为所求平面.（2）连接,交于，则，分别以所在的直线为轴，为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面的距离. 【详解】（1） 如图，取的中点，连接，则平面即为所求平面. 证明：由,平面，平面，可得平面. 由，平面，平面，可得平面. ,平面，平面,故可得平面平面，即平面. （2）如图，连接,交于， 在直棱柱中，底面为菱形， ， 分别以所在的直线为轴，为原点建立如图所示空间直角坐标系， 又所有棱长为2， ， ，， 设是平面的一个法向量，则，即 令得，， 点到平面的距离， 平面与平面的距离. (二)最值问题 1. 已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意得， 设点到平面的距离为，则由等体积转化法为， 当与重合时，最大，最大为， 此时最小，为. 故选：B. 2.已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意得， 设点到平面的距离为，则由等体积转化法为， 当与重合时，最大，最大为， 此时最小，为. 故选：B. 3. 已知四棱锥的底面ABCD是矩形，，，，．若四棱锥的外接球的体积为，则该球上的点到平面PAB的距离的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，记，则点F为矩形ABCD的外接圆圆心， 设，在中，由余弦定理得： ， 即，的外接圆半径为， 记的外接圆圆心为G，则，取AD的中点E，连接PE，EF， 显然，，，且P，E，G共线， 因为，，，于是平面PAD，即平面PAD，平面PAD， 有，而平面ABCD，因此平面ABCD， 过G作平面PAD，使，连接FO， 于是，则四边形EFOG为矩形，有，则平面ABCD， 根据球的性质，得点O为四棱锥外接球的球心， 因为球O的体积为，则，解得， 而，在，， 因此外接圆直径， 取PB的中点H，连接OH，显然H为外接圆圆心，则平面PAB，且， 所以四棱锥的外接球上的点到平面PAB的距离的最大值为8． 故选：C 4.已知三棱锥，满足，，两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，求点到平面的距离的最大值. 【答案】 【详解】 三棱锥满足，，两两垂直，且，则三棱锥外接球就是棱长为的正方体的外接球， 如图，易得体对角线的中点即为外接球的球心，又，则外接球半径为， 易得为等边三角形，设的外接圆圆心为，则，， 则，则点到平面的距离的最大值即为球心到平面的距离加球的半径， 即，则点到平面的距离的最大值为. （三）探索存在型问题 1. 如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点D，连接DN、，证明四边形为平行四边形，得，从而可得证线面平行； （2）分别以为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）用空间向量法求点面距，从而得出结论． 【详解】（1）取中点D，连接DN、， ∵D、N分别为、∴且， ∵与平行且相等，M为中点，∴与平行且相等， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面  平面， ∴平面； （2）∵直三棱柱 ∴平面ABC又CB、平面ABC， ∴、， ∵即， ∴、CB、CA两两垂直，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴  ， 则  ， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令则， 设二面角的平面角为， 则， 由图知为钝角，∴； （3）设，， ∵，∴， ∴    ， 设平面MBC的法向量为，则，即， 令则 ∴P点到平面MBC的距离为， 解得，又∴． 2.如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，    ， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面．             （2）， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，          ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，       （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为， ， 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为   （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设， 则， 由（2）知平面的一个法向量为， ， ∴点Q到平面的距离是，  ． 3.如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.    (1)求证：； (2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见讲解； (2)当点为中点时，四棱锥的体积为，理由见详解. 【详解】（1）过点作，垂足为，    因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. （2）当点为中点时，四棱锥的体积为，理由如下：    过点作，交于点， 因为平面，平面，所以， 又，所以， 由（1）可知，， 所以，即，所以， 设点到平面的距离为， 则， 所以，即到平面的距离为， 在三棱柱中，， 由（1）可知，平面，所以平面， 又，所以， 又，平面，平面， 所以平面， 所以到平面的距离为，即， 故为中点，所以为中点时，四棱锥的体积为. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$