专题突破3 球的切、接问题 讲义-2025届高三数学一轮复习

球的切、接问题 外接球和内切球问题涉及到立体几何中的多个重要概念，如点、线、面的位置关系，几何体的结构特征、体积和表面积等，是高考数学的常考题型之一，在近几年的高考试题中，出现的频率较高。 一、知识要点： （一）常用结论： （Ⅰ）外接球中常用结论： 1. 空间几何体的外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2. 长方体的外接球 ①球心:体对角线的交点; ②半径：(分别为长方体的长、宽、高). 3.正方体的外接球 ①球心: 正方体的中心 ②半径：（为正方体的棱长） 4.正四面体的外接球 ①球心: 正四面体的中心 ②半径：（为正四面体的棱长） 5.直三棱柱的外接球： ①球心: 上、下底面三角形外心连线的中点； ②半径：（为底面圆的半径，为棱柱的高） 6. 正棱柱的外接球 ①球心: 上下底面中心连线的中点； ②半径：（为底面圆的半径，为棱柱的高） 7.正棱锥的外接球 ①球心: 在其高上，具体位置由计算可得； （Ⅱ）内切球中常用结论： 1.空间几何体的内切球球心到多面体各面的距离均相等。 2.正方体的内切球 ①球心：正方体的中心； ②半径：（为正方体的棱长）； 3.正四面体内切球 ①球心: 正四面体的中心 ②半径：（为正四面体的棱长）. （Ⅲ）棱切球（与几何体的各条棱相切的球） 1.正方体的棱切球 ①球心: 正方体的中心 ②半径：. （二）常用方法： （Ⅰ）求外接球半径常用方法： 1. 几何法：根据条件找出球心、截面圆的圆心、球心与截面圆的距离，通过构造直角三角形进行求解。 解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程： 2.构造法：根据题设条件构造特殊空间几何体，进而探索待求几何体的外接球的球心与半径。 （Ⅱ）求内切球常用方法： 1.等体积法：对于一个多面体，如果已知其各条棱长和表面积等信息，可以通过等体积法来求内切球半径。 2.截面法： 二、题型： （一）外接球问题 (Ⅰ)几何法： （ⅰ）线面垂直模型 1．已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】如图， 设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心， 在中，由3，，7，得， 故，设的外接圆的半径为， 则，， ． 三棱锥外接球的表面积为． 故选：B 2．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 解析：在三棱锥中，如图，，则，同理， 而平面，因此平面，在等腰中，，则，令的外接圆圆心为，则平面，，有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，从而，四边形为平行四边形，，又，因此球O的半径，所以球的表面积.故选：A （ⅱ）面面垂直模型 1．已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为，证明为矩形，然后求出，，由勾股定理可得外接球半径，再由球的表面积公式可得. 【详解】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为. 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由球的性质可知，平面， 所以，同理，所以四边形为矩形， 因为，所以，， 所以， 所以外接球的表面积为. 故选：B 2. 在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（       ） A．60π B．45π C．30π D．20π 解析：当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图， 取的中点为，连接，则．设分别为，外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心，则在上，在上，且,且平面，平面． 平面平面，平面平面，平面， 平面，，同理，四边形为平行四边形 平面，平面，，即四边形为矩形． ，. 外接球半径 ，外接球的表面积为，选A． （ⅲ）侧棱相等的棱锥模型 1．已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球心到底面的距离、底面三角形的外接圆半径和球的半径满足勾股定理，求得，然后可得棱锥的高. 【详解】如图，为等边三角形， 设为中点，面，，则， 所以， 设三棱锥外接球的半径为，由正棱锥的性质可知球心为在上， 则，即，所以. 由，解得. 所以三棱锥的高为. 故选：B.    2.已知三棱锥中，，则三棱锥的外接球的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得，点在底面的投影即为的外心，再利用正弦定理求得外接圆的半径，然后找到球心的大致位置，根据半径相等列等式求解即可. 【详解】 过点作平面，垂足为，连接、、， 因为，所以， 故点是底面的外心，设外接圆的半径， 由正弦定理，所以，， 所以，， 设三棱锥的外接球球心为，显然在线段上， 设，三棱锥的外接球的半径为， 则，，又， 所以，，， 三棱锥的外接球的体积为. 故选：C. （ⅳ）二面角模型 1．在三棱锥中，△是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的体积为________． 解析：根据题意，，所以，取中点为E，中点， 则，，，是正三角形，， 是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，，是的外心， 设是的外心，设过与平面垂直的直线与过垂直于平面的直线交于点，则是三棱锥外接球球心， ，，又， 由于平面MNO与MEO同时垂直于BD，所以共面，在四边形中， 由，，， ，可得：， 外接球半径为，体积为． 故答案为： 2．已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .    【答案】 【分析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长,分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积. 【详解】将沿折起后，取中点为，连接，， 则，， 可知即为二面角的平面角，即； 设，则， 在中，由余弦定理可得：， 即 解得， 即，可得， 所以与是边长为的等边三角形， 分别记三角形与的重心为、， 则，；； 因为与都是边长为2的等边三角形， 所以点是的外心，点是的外心； 记该几何体的外接球球心为，连接，，    根据球的性质，可得平面，平面， 所以与都是直角三角形，且为公共边， 所以与全等，因此， 所以； 因为，，，平面， 所以平面； 又平面，所以， 连接，则外接球半径为， 所以外接球表面积为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径. （ⅴ）共斜边模型 1．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】取的中点，因为， 所以， 所以三棱锥外接球的球心为，半径为． 故三棱锥外接球的表面积为．    故答案为： 2．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 解析：设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知． ∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图所示． ∴外接球的半径．故．选C． 思维升华：三棱锥中，有两个直角三角形有公共的斜边，则斜边的中点即外接球的球心，该斜边球的直径 （ⅵ）棱台模型 1.已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合棱台的体积公式求出棱台的高，棱台上下底面的外接圆半径，再借助正棱台的结构特征求出其外接球半径即可. 【详解】令给定的正三棱台为正三棱台，， 令正的中心分别为，而， 则，解得， 的外接圆半径，的外接圆半径， 显然正三棱台的外接球球心在直线，设外接球半径为，则， 因此，解得， 所以该正三棱台的外接球表面积为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 2．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A． （ⅶ）旋转体模型 1．已知圆柱的体积为，且圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用圆柱体积计算半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【详解】设球O的直径为，则圆柱的底面直径和高均为， 又圆柱的体积为，则，即，解得， 所以球的表面积为. 故选：D. 2．已知某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为，则该圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在轴截面中根据长度和角度关系以及三角形相似可得圆台的上底面半径和下底面半径及高，利用勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半径，进而求得其表面积． 【详解】如图：上，下底面圆心分别为，外接球球心为， 连接如图所示： 因为上、下底面的面积之比为1：4，则上底面半径与下底面半径之比为，即， 又母线与轴所在直线的夹角是,故，结合, 则有，故 记圆台外接球半径为， 在直角和直角中由勾股定理知：， 则有，解可得， 故圆台外接球的半径， 则该圆台外接球的表面积． 故选：C． (Ⅱ)构造法： （ⅰ）对棱相等型 1．已知四面体ABCD中，，若四面体ABCD的外接球的表面积为7，则四面体ABCD的体积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将四面体放入长方体中，如图，设长宽高分别为，由题意列方程求出，再由三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】将四面体放入长方体中，如图， 设长宽高分别为，由 ， 故选：A. 2．把沿三条中位线折叠成四面体，其中，，，则四面体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，记的中点分别为， 因为，，， 由中位线性质可得， 翻折后的四面体如图： 由翻折的性质可得， 所以四面体对棱相等， 故可以考虑将四面体补形为长方体如下； 四面体的外接球即长方体的外接球， 设其外接球半径为，，则， 因为，所以， 所以，所以四面体的外接球表面积， 故选：D. （ⅱ）线线垂直型 1．已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为 ． 【答案】3 【分析】首先证明，，两两垂直且长度均为，再将该三棱锥放置于正方体当中即可. 【详解】取线段的中点，分别连接，因为为等边三角形， 则，所以，因为，且，平面， 所以平面，因为平面， 所以，又因为的中点为，则垂直平分，因为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，因为，则， 所以，又因为，平面，，所以平面， 则易知，，两两垂直且长度均为， 所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设外接球的半径为，则. 故答案为：3. 2．已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为 ． 【答案】3 【分析】首先证明，，两两垂直且长度均为，再将该三棱锥放置于正方体当中即可. 【详解】取线段的中点，分别连接，因为为等边三角形， 则，所以，因为，且，平面， 所以平面，因为平面， 所以，又因为的中点为，则垂直平分，因为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，因为，则， 所以，又因为，平面，，所以平面， 则易知，，两两垂直且长度均为， 所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设外接球的半径为，则. 故答案为：3. （二）内切球问题 （Ⅰ）等体积法： 1. 三棱锥的侧棱两两垂直，且侧面面积分别为，则该三棱锥内切球的半径为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可得，，进而由勾股定理可得，，从而求得，再利用等体积法即可求解. 【详解】由题意，可得，解得，， 由勾股定理可得，， 设中点为，连接，则，且， 所以， 即. 设该三棱锥内切球的球心为，半径为， 由， 即， 即， 解得. 故选：D. （Ⅱ）截面法： 1.以半径为的球为内切球的圆锥中，体积最小值时，圆锥底面半径满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的高为，如图，为圆锥的轴截面， 则，解得， 故圆锥的体积， 当，即时，， 所以圆锥体积最小值时，圆锥底面半径满足. 故选：D. 2.已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为，则腰长为， 故梯形的高为， 则该圆台的体积为. 故选：D. 3．已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆锥的轴的截面，根据题意推出上、下两部分几何体的两部分的内切球的半径之比为，从而可得上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为，从而可得解． 【详解】如图，作出圆锥的轴截面， 设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为，，半径分别为，， 即，， 根据题意可知为正三角形，易知，圆锥的底面半径， ，又， ，， 上部分圆锥的底面半径为，高为， 又圆锥的底面半径为，高为， 上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为， 上、下两部分几何体的体积之比是． 故选：C． 点睛：本题的关键是找到上、下底面的半径的关系，从而得到两圆锥的体积之比. （三）棱切球问题 球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解 1．已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】 如图所示，取上下底面的中心，分别为上底面棱上的切点， 则为的中点，设， 由题意易知，则， 因为， 所以. 故答案为：. 2.已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 【答案】 【解析】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： （四）最值问题 1．在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______． 解析：设BC的中点为D，的中点为，，由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，由三棱柱的体积为2，得，即， 由题，得，所以，外接球表面积 ．故答案为： 2. 在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【详解】由余弦定理可得, 故，所以， 当且仅当时取等号，故， 故面积的最大值为， ， 由于，所以点在以为直径的球上（不包括平面），故当平面平面时，此时最大为半径， 故， 由正弦定理可得：，为外接圆的半径， 设四面体外接球半径为,则,其中分别为球心和外接圆的圆心，故当时，此时最小， 故外接球的表面积为, 故答案为：, 3.在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ D ） A． B． C． D． 【分析】设，由的面积为2，得，进而得到外接圆的半径和到平面的距离为，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解. 【详解】如图所示，设，由的面积为2，得， 因为，外接圆的半径， 因为平面，且，所以到平面的距离为， 设球的半径为，则， ，当且仅当时等号成立， 所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选D. 小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 4.正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 . 【答案】3 【详解】设正三棱锥的高为h，设E为的中点，O为底面中心，O在上， ，则，侧面上高为， 则正三棱锥的表面积为， 则正三棱锥的体积为， 即，故， 又，则，则， 故， 令，则， 则 ， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为3， 故答案为：3 5.已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用棱锥的体积公式得到的关系式，进而得到球的半径关于的关系式，利用三元基本不等式求得其最小值，从而得解. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，高为， 则体积，所以， 设球的半径为，则，即，    则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以球的表面积的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得球的半径关于的关系式，从而利用三元基本不等式即可得解. 6. 设P､A､B､C､D是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为（ D ） A. B. 18 C. 20 D. 【分析】由球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥的底面距离为x，棱锥的高为，再把棱锥底面边长用x表示，写出棱锥体积，利用导数求最值. 【详解】设球的半径为r，则，即. 设球心到四棱锥的底面距离为x，则正方形的对角线长为，则正方形的边长为， 则四棱锥的底面积为， 当棱锥的高为时，四棱锥的体积最大， 则四棱锥的体积， ， 由得，由得， 所以在上递增，在上递减， 所以当时，取得最大值为.故选：D. 【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考查了球的表面积公式，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题. 7．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径，从而即可求最大表面积. 【详解】 如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和. 易得，，， 由， 可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即小球的最大半径为. 所以小球的表面积最大值为. 故选：A 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 球的切、接问题 外接球和内切球问题涉及到立体几何中的多个重要概念，如点、线、面的位置关系，几何体的结构特征、体积和表面积等，是高考数学的常考题型之一，在近几年的高考试题中，出现的频率较高。 一、知识要点： （一）常用结论： （Ⅰ）外接球中常用结论： 1. 空间几何体的外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2. 长方体的外接球 ①球心:体对角线的交点; ②半径：(分别为长方体的长、宽、高). 3.正方体的外接球 ①球心: 正方体的中心 ②半径：（为正方体的棱长） 4.正四面体的外接球 ①球心: 正四面体的中心 ②半径：（为正四面体的棱长） 5.直三棱柱的外接球： ①球心: 上、下底面三角形外心连线的中点； ②半径：（为底面圆的半径，为棱柱的高） 6. 正棱柱的外接球 ①球心: 上下底面中心连线的中点； ②半径：（为底面圆的半径，为棱柱的高） 7.正棱锥的外接球 ①球心: 在其高上，具体位置由计算可得； （Ⅱ）内切球中常用结论： 1.空间几何体的内切球球心到多面体各面的距离均相等。 2.正方体的内切球 ①球心：正方体的中心； ②半径：（为正方体的棱长）； 3.正四面体内切球 ①球心: 正四面体的中心 ②半径：（为正四面体的棱长）. （Ⅲ）棱切球（与几何体的各条棱相切的球） 1.正方体的棱切球 ①球心: 正方体的中心 ②半径：. （二）常用方法： （Ⅰ）求外接球半径常用方法： 1. 几何法：根据条件找出球心、截面圆的圆心、球心与截面圆的距离，通过构造直角三角形进行求解。 解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程： 2.构造法：根据题设条件构造特殊空间几何体，进而探索待求几何体的外接球的球心与半径。 （Ⅱ）求内切球常用方法： 1.等体积法：对于一个多面体，如果已知其各条棱长和表面积等信息，可以通过等体积法来求内切球半径。 2.截面法： 二、题型： （一）外接球问题 (Ⅰ)几何法： （ⅰ）线面垂直模型 1．已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． （ⅱ）面面垂直模型 1．已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 2. 在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（       ） A．60π B．45π C．30π D．20π （ⅲ）侧棱相等的棱锥模型 1．已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为（  ） A．1 B． C． D． 2.已知三棱锥中，，则三棱锥的外接球的体积为（     ） A． B． C． D． （ⅳ）二面角模型 1．在三棱锥中，△是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的体积为________． 2．已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .    （ⅴ）共斜边模型 1．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 2．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． （ⅵ）棱台模型 1.已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． （ⅶ）旋转体模型 1．已知圆柱的体积为，且圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为，则该圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． (Ⅱ)构造法： （ⅰ）对棱相等型 1．已知四面体ABCD中，，若四面体ABCD的外接球的表面积为7，则四面体ABCD的体积为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．把沿三条中位线折叠成四面体，其中，，，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． （ⅱ）线线垂直型 1．已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为 ． 2．已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为 ． （二）内切球问题 （Ⅰ）等体积法： 1. 三棱锥的侧棱两两垂直，且侧面面积分别为，则该三棱锥内切球的半径为（    ） A．4 B． C． D． （Ⅱ）截面法： 1.以半径为的球为内切球的圆锥中，体积最小值时，圆锥底面半径满足（    ） A． B． C． D． 2.已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（    ） A． B． C． D． （三）棱切球问题 球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解 1．已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 . 2.已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． （四）最值问题 1．在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______． 2.在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 . 3.在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ D ） A． B． C． D． 4.正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 . 5.已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.设P､A､B､C､D是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为（ ） A. B. 18 C. 20 D. 7．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$