专题突破6 立体几何中的翻折问题 讲义-2025届高三数学一轮复习

立体几何中的翻折问题 在高考立体几何中常常出现翻折问题，此类问题要求学生要有较强的空间想象能力和准确的计算能力。翻折问题是连接平面几何与空间几何的纽带, 处理这类题的关键是就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 题型： （一）求角度变化类： 1. 为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面（如图2）此时直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，而平面平面，平面平面， 又平面平面，则平面，， 因此直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令圆半径，则， ，设平面的一个法向量， 则，令，得，设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 2. 已知平行四边形中，是线段的中点.沿直线将翻折成，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）在中，， 翻折后，，则， 于是，而平面⊥平面，平面平面=，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，且，显然直线两两垂直， 如图，以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 由E是线段的中点，得，， 在平面中，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 以直线与平面所成角的正弦值为. 3. 如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面平面DAC，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D．    【答案】C 【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，再在直角三角形中计算作答. 【详解】设正方形的边长为a，取AC的中点O，连接BO，则，过O作AD的平行线OE交CD于E，连接BE，如图，    因为平面平面DAC，平面平面，平面， 则平面DAC，而平面DAC，于是， 又，平面BOE，则平面BOE， 而平面BOE，即有， 因此为二面角的平面角，显然，， 有，即为直角三角形，有，则， 所以. 故选：C 4. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至，使得． (1)证明：； (2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. （二）求体积变化类 1. 如图，直角梯形中，，，为上的点，且，，将沿折叠到点，使.    (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取的中点，中点，连接，，，    又，∴，∵，∴， 又∵，∴， 又，平面，∴平面， 平面，则， ∵，为中点，， 而与不平行，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； （2）由（1）知，平面，在直角梯形中，过作，垂足为， 则为矩形，∵，，， ，在中，，得到的距离， 则四边形的面积， 在中，，求得，则为等边三角形， 可得，即. ∴. 2. 如图，平面四边形中，,,，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D．    【答案】B 【详解】   取的中点，的中点，连接，由题意可知，，所以，由于平面平面， 所以平面，所以,，所以， 在中，， 所以四面体的外接球的球心为，半径为， 所以该球的体积. 故选：B 3. 如图1，在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到如图2中的位置，得到四棱锥. (1)证明：； (2)当平面平面时，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 在图1中，连接, ∵，，E是AD的中点， 所以四边形是正方形，∴, ∴在图2中，，， 又，、平面， ∴平面. 又，且，∴四边形是平行四边形， ∴，∴平面， 又∵平面，∴； （2）∵平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面， 又∵，， ∴. （三）求表面积变化类 1. 已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【详解】根据题意可知，如下图所示： 当的面积最大时，即取得最大值， 可得， 由对称性可知，可得； 又因为为的中点，所以， 又，由勾股定理可知棱两两垂直， 所以三棱锥的外接球半径为， 可得该外接球的表面积， 故答案为：. 2.在矩形中，，将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 解析：由题意得，，而面积为定值，当三棱锥的体积最大时，平面平面， 取的中点，的中点，则，可得 又由，可知为三棱锥外接球的球心，半径， 故外接球的表面积为. （四）位置关系变化类 （Ⅰ）平行关系：判断翻折前后直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系是否发生改变。 1 . 如图1，四边形为矩形，，为的中点，将，分别沿BE，CE折起，使得平面平面，平面平面，如图2所示． (1)求证：AD∥平面BCE； (2)若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值． 解:(1)证明：在题图2中，分别取BE，CE的中点M，N，连接AM，DN，MN， 由题图1知，BC＝2AB，且E为AD的中点，则AE＝AB， 所以AM⊥BE， 又因为平面平面，平面平面，平面ABE， 所以AM⊥平面BCE， 同理可得，DN⊥平面BCE， 所以AM∥DN. 又因为AM＝DN， 所以四边形AMND为平行四边形， 所以AD∥MN， 又平面BCE，平面BCE， 所以AD∥平面BCE. (2)在题图1中，因为∠AEB＝45°，∠DEC＝45°， 所以BE⊥CE. 以E为原点，EB，EC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝1，则E(0，0，0)，A，D，F， 所以＝，＝， 设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)， 由得取z＝1，得n＝(－1，－1，1)， 又＝， 设直线FA与平面ADE所成的角为θ， 则sinθ＝＝＝， 所以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为. （Ⅱ）垂直关系：翻折可能会使原本垂直的线线、线面、面面关系发生变化，也可能会产生新的垂直关系。需要根据定义和判定定理进行分析。 1. 如图，已知中，是边上的高，以为折痕折叠，使为直角. 求证：平面平面，平面平面.    【答案】证明见解析 【详解】因为，，，平面， 所以平面； 因为平面，所以平面平面； 已知为直角，所以， 又，，平面， 因此平面， 因为平面ABD，所以平面平面. 2. 如图1所示，四边形为梯形且，，E为AD中点，，，现将平面△沿AD折起，沿BC折起，使平面⊥平面ABCD，且M，N重合为点P（如图2所示）． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. （1）证明：因为， 即PA=PD=，E为AD的中点， 所以是等腰三角形， 且，即， 又因为平面⊥平面ABCD，且平面平面ABCD=AD，平面PAD， 所以平面ABCD，又平面ABCD， 所以， 又因为，且， 所以四边形NCDE为直角梯形，且DE=DC=1， 所以四边形BCDE是正方形，所以， 又因为， 所以平面PBE，又因为平面PBC， 所以平面平面； （2）由（1）知：以E为原点，EA，EB，EP为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系： 则,， 所以， 设平面PAC的一个法向量为， 则，即， 令，则， 易知平面PAD的一个法向量为， 则， 所以二面角的余弦值是. 3. 如图1，在边长为4的菱形中，，，分别是边，的中点，，.沿将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥. (1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论； (2)当四棱锥P－MNDB的体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 解:(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG. 证明如下：∵，分别是边，的中点， 又，∴BD∥MN，且是等边三角形， 在菱形中，，∴， ∴，， ∵，平面PAG，平面PAG， ∴MN⊥平面PAG，∴BD⊥平面PAG， ∵平面PBD， ∴平面PBD⊥平面PAG. (2)由折叠性质得四边形MNDB为等腰梯形， 且DB＝4，MN＝2，OG＝. ∴S等腰梯形MNDB＝＝3， 要使得四棱锥P－MNDB的体积最大，只需点P到平面MNDB的距离最大即可， ∴当PG⊥平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为PG＝， 假设符合题意的点Q存在，以G为原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz， 则A(3，0，0)，M(0，1，0)，N(0，－1，0)，P(0，0，)， 平面PMN的一个法向量为n＝(1，0，0)， 设＝λ(0≤λ≤1)， 又＝(－3，0，)， 则＝(－3λ，0，λ)， ∴Q(3(1－λ)，0，λ)， ∴＝(0，2，0)，＝(3(λ－1)，1，－λ)， 设平面QMN的法向量为m＝(x，y，z)， 则即 取x＝λ，则y＝0，z＝3(λ－1)， ∴m＝(λ，0，3(λ－1))， 设二面角Q－MN－P的平面角为θ， 则|cosθ|＝＝＝， 解得λ＝， 故符合题意的点Q存在，且Q为线段PA的中点． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何中的翻折问题 在高考立体几何中常常出现翻折问题，此类问题要求学生要有较强的空间想象能力和准确的计算能力。翻折问题是连接平面几何与空间几何的纽带, 处理这类题的关键是就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 题型： （一）求角度变化类： 1. 为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面（如图2）此时直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2. 已知平行四边形中，是线段的中点.沿直线将翻折成，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3． 如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面平面DAC，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D．    4． 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至，使得． (1)证明：； (2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值． （二）求体积变化类 1. 如图，直角梯形中，，，为上的点，且，，将沿折叠到点，使.    (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积. 2. 如图，平面四边形中，,,，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D．    3. 如图1，在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到如图2中的位置，得到四棱锥. (1)证明：； (2)当平面平面时，求三棱锥的体积. （三）求表面积变化类 1. 已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为 . 2.在矩形中，，将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 （四）位置关系变化类 （Ⅰ）平行关系：判断翻折前后直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系是否发生改变。 1 . 如图1，四边形为矩形，，为的中点，将，分别沿BE，CE折起，使得平面平面，平面平面，如图2所示． (1)求证：AD∥平面BCE； (2)若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值． （Ⅱ）垂直关系：翻折可能会使原本垂直的线线、线面、面面关系发生变化，也可能会产生新的垂直关系。需要根据定义和判定定理进行分析。 1. 如图，已知中，是边上的高，以为折痕折叠，使为直角. 求证：平面平面，平面平面.    2. 如图1所示，四边形为梯形且，，E为AD中点，，，现将平面△沿AD折起，沿BC折起，使平面⊥平面ABCD，且M，N重合为点P（如图2所示）． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 3． 如图1，在边长为4的菱形中，，，分别是边，的中点，，.沿将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥. (1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论； (2)当四棱锥P－MNDB的体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$