专题突破7 立体几何中的探索性问题 讲义-2025届高三数学一轮复习

立体几何中的探索性问题 在高考立体几何中常常出现探索性问题，此类问题要求学生要有较强的空间想象能力和准确的计算能力。探索性问题常常是在条件不完备的情况下探讨某些结论是否成立，处理这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决． 题型： （一）线、面平行的探索性问题 1. 如图1，在梯形中，∥，，，，，线段的垂直平分线与交于点，与交于点，现将四边形沿折起，使，分别到点，的位置，得到几何体，如图2所示． (1)判断线段上是否存在点，使得平面∥平面；若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值． 2． 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则． （1）当、时，证明以上三面角余弦定理； （2）如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 3. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （二）线、面垂直的探索性问题 1.已知正四棱台的体积为，其中.    (1)求侧棱与底面所成的角； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 2.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 3． 如图1，在中，，，，，分别为，上的点，且∥，，将沿折起到的位置，使，如图2. (1)求证：平面； (2)若是的中点，求与平面所成角的大小； (3)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由． （三）与空间距离有关的探索性问题 1. 如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且． (1)设线段中点为，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长． 2. 如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.    (1)求证：； (2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. （四）与空间角有关的探索性问题 1.已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，，为等边三角形．    (1)求证：平面平面； (2)是否存在一点，满足，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2. 如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且,点分别为线段上的动点，满足. （1）证明：直线平面； （2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由. 3. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且，点在棱上，点为中点． （1）证明：若，直线平面； （2）求二面角的余弦值； （3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由． 4. 如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点(不含端点)，使得平面与平面的夹角为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 5. 如图，在四棱锥中，底面，∥，，，点在平面上运动． (1)试确定一点，使得∥平面，并说明点的位置； (2)若四棱锥的体积为6，在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． （五）小综合问题 1. 已知正方体中，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．不存在点，使得∥平面 D．不存在点，使得平面平面 点评：利用空间向量求解探索性问题的策略 （1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论． （2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论． 2. 如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），以下正确的是    ①； ②存在点，使得//面； ③的最小值为； ④存在点，使得与面所成线面角的余弦值为. 思维升华： 探索性问题的解题策略： (1)条件探索性问题 ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明． ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性． ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． (2)结论探索性问题 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何中的探索性问题 在高考立体几何中常常出现探索性问题，此类问题要求学生要有较强的空间想象能力和准确的计算能力。探索性问题常常是在条件不完备的情况下探讨某些结论是否成立，处理这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决． 题型： （一）线、面平行的探索性问题 1. 如图1，在梯形中，∥，，，，，线段的垂直平分线与交于点，与交于点，现将四边形沿折起，使，分别到点，的位置，得到几何体，如图2所示． (1)判断线段上是否存在点，使得平面∥平面；若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值． 解:(1)当为线段的中点时，平面∥平面. 证明如下：由题易知，，∥， 因为为线段的中点， 所以，∥， 所以四边形是平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面. 连接，因为∥，， 所以四边形是平行四边形， 所以∥，且， 又∥，， 所以∥，， 所以四边形是平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面. 因为，平面， 所以平面∥平面. (2)因为，， 所以，所以， 又，， 所以EA，EF，EH两两垂直． 故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则即 取，得． 设平面的法向量为， 则即 取，得． 设平面与平面所成的角为， 则， 所以， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 2． 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则． （1）当、时，证明以上三面角余弦定理； （2）如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②当点在的延长线上，且使时，平面. 【分析】（1）过射线上一点作交于点，作交于点，连接，，可得是二面角的平面角．在中和中分别用余弦定理，两式相减变形可证结论； （2）①直接利用三面角定理（（1）的结论）计算；②连结，延长至，使，连结，由线面平行的判定定理证明平面． 【详解】（1）证明：如图，过射线上一点作交于点， 作交于点，连接， 则是二面角的平面角． 在中和中分别用余弦定理，得 ， ， 两式相减得， ∴， 两边同除以，得． （2）①由平面平面，知， ∴由（1）得， ∵，， ∴． ②在直线上存在点，使平面． 连结，延长至，使，连结， 在棱柱中，，， ∴，∴四边形为平行四边形，∴． 在四边形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又平面，平面， ∴平面． ∴当点在的延长线上，且使时，平面． 3． 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在； 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而得，再结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行求解即可； （3）要使平面，则，由此列式求解可得. 【小问1详解】 ∵平面平面，且平面平面， 且，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 又，且，平面， ∴平面； 【小问2详解】 取中点为，连接， 又∵，∴．则， ∵，∴，则， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 则由，得，令，则． 设与平面的夹角为， 则； 【小问3详解】 假设在棱上存在点点，使得平面. 设，， 由（2）知，，，，则，， ， 由（2）知平面的一个法向量． 若平面，则， 解得，又平面， 故在棱上存在点点，使得平面，此时. （二）线、面垂直的探索性问题 1.已知正四棱台的体积为，其中.    (1)求侧棱与底面所成的角； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）先求得正四棱台的高，然后求得侧棱与底面所成的角. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法确定是否存在符合题意的点. 【详解】（1）依题意，在正四棱台中，， 所以上底面积，下底面积， 设正四棱台的高为，则. 连接，则， 所以， 设侧棱与底面所成的角为，则， 由于线面角的取值范围是，所以. （2）连接，设正四棱台上下底面的中心分别为， 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， ， 设线段上存在一点，满足， ， ， 则， ， 若，则， 即， 解得，舍去， 所以在线段上不存在一点，使得.      2.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）构造三角形的中位线得到线线平行，再利用线面平行的判定定理即可得到线面平行； （2）法一：建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，再利用两平面垂直的向量法即可求出结果.法二：利用几何法，先找出平面，使平面平面，再利用几何关系即可求出结果. 【详解】（1）连接交于点，连接，因为四边形是菱形，所以点为的中点. 又因为为的中点，所以， 又因为平面平面， 所以平面.    （2）设底面边长为2，连接，由于为菱形，且， 故， 所以，故有， 又三角形为正三角形，为中点，故， 又侧面底面，平面平面，面， 所以平面， 如图，以为原点，方向分别为轴正半轴，建立空间直角坐标系. 则， 设，则， 则， 设平面的法向量为，则有，得到， 取，得，，所以， 又平面法向量可取为， 由题可知，即，解得， 故存在点使得平面平面，.    法二：三角形为正三角形， 是的中点， 又侧面底面，平面平面，面， 所以平面， 连接，取的中点，连接，则是的中位线，， 所以平面， 延长交于，又面，所以平面平面. 因为，所以， 又因为，所以，， 故存在点，使得平面平面，.    3.如图1，在中，，，，，分别为，上的点，且∥，，将沿折起到的位置，使，如图2. (1)求证：平面； (2)若是的中点，求与平面所成角的大小； (3)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由． 解:(1)证明：在中，， ∥， 则有，， 折起后，有，， 又，平面， ∴平面，又平面， ∴， 又，平面，， ∴平面. (2)由，，两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则即 取，则，， ∴，又， ∴， 设与平面所成的角为， ∴， ∵，∴与平面所成角的大小为. (3)设线段上存在点，且点的坐标为，则， ∴，， 设平面的法向量为， 则∴ ∴， 假设平面与平面垂直，则， ∴，解得， ∵， ∴线段上不存在点，使平面与平面垂直． （三）与空间距离有关的探索性问题 1. 如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且． (1)设线段中点为，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的长为 【解析】（1）取的中点，的中点，连结、、 则有，， 因为，，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）存在.设，在中，. 因为面，所以. 因为面，面，面 所以,， 则均为直角三角形. 在中， 同理，. 取的中点，因为，所以， 而. 故. 因为点到面的距离等于， 所以. 而，所以，解得. 所以在线段上只存在唯一一点，当且仅当时，点到面的距离等于. 2. 如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.    (1)求证：； (2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见讲解； (2)当点为中点时，四棱锥的体积为，理由见详解. 【详解】（1）过点作，垂足为，    因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. （2）当点为中点时，四棱锥的体积为，理由如下：    过点作，交于点， 因为平面，平面，所以， 又，所以， 由（1）可知，， 所以，即，所以， 设点到平面的距离为， 则， 所以，即到平面的距离为， 在三棱柱中，， 由（1）可知，平面，所以平面， 又，所以， 又，平面，平面， 所以平面， 所以到平面的距离为，即， 故为中点，所以为中点时，四棱锥的体积为. （四）与空间角有关的探索性问题 1.已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，，为等边三角形．    (1)求证：平面平面； (2)是否存在一点，满足，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可证得平面平面； （2） 法一，先确定出直线与平面所成的角，再求得的值即可求得的值；法二，建立空间直角坐标系，依据题给条件列出关于的方程即可求得的值. 【详解】（1）等腰梯形中，，则， 则，所以，．又， 由，得到， 又，平面， 因此平面，又因为平面， 故平面平面 （2）方法一：由（1）知平面，面，则面面． 作于点，则有面． 则即为直线与面所成角， 在直角三角形中，由，，得到 由，可得，又，所以存在． 方法二：过点作平面于， 以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示空间直角坐标系．    其中 得到， 设平面的一个法向量为 由，得， 不妨设，则，，则， 又， 则， 解之得（舍去）或，所以 2. 如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且,点分别为线段上的动点，满足. （1）证明：直线平面； （2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由. （1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【分析】（1）以为原点，分别以方向为轴建立如图所示空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可证； （2）由线面角的向量法求线面角后可得结论． 【小问1详解】 如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系. . . 设平面的法向量为， 则由，取得. 因为，所以 解得. 所以，且平面，所以平面 小问2详解】 设平面的法向量为 则由，解得. 所以， 解得. 3. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且，点在棱上，点为中点． （1）证明：若，直线平面； （2）求二面角的余弦值； （3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在点，此时或． 【分析】（1）先利用面面平行判定定理证明平面平面，从而得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角； （3）假设存在点，设，即，，利用线面角的向量法求的值即可. 【小问1详解】 如图所示，在线段上取一点，使，连接，， ，，平面，平面， 平面， 又，， 且，四边形为平行四边形， ，平面，平面，平面， 又平面， 所以平面平面， 平面， 平面； 【小问2详解】 如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 又是中点，则， 所以，，， 设平面的法向量，则， 令，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以， 则二面角的余弦值为 【小问3详解】 假设存在点， 设，即，， 由（2）得，，，且平面的法向量， 则，， 则，， ， 解得或， 故存在点，此时或． 4. 如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点(不含端点)，使得平面与平面的夹角为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 解:(1)证明：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， ∴，，， ∵ ∴，， 又，平面， ∴平面. (2)设， 则点的坐标为，， 易知，则． 设平面的法向量为， 则 取，则，， 则， ∵平面与平面的夹角为,且平面的一个法向量为， ∴， 又，解得， ∴为线段上靠近点的三等分点． 5. 如图，在四棱锥中，底面，∥，，，点在平面上运动． (1)试确定一点，使得∥平面，并说明点的位置； (2)若四棱锥的体积为6，在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 解:(1)取的中点，连接，，如图， 由，∥，得∥，， 即四边形为平行四边形，于是∥， 而平面，平面， 则∥平面， 所以当点在的边的中线上运动时(与不重合)，∥平面. (2)由于底面，， 则四棱锥的体积，解得， 由(1)知，，，则有，， ∴，， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 假定棱上存在一点满足条件， 令，则， ,， 设平面的法向量为， 则 取，得， 又平面的一个法向量为， 于是二面角的余弦值为， 解得， 即为的中点，此时，. 即当时，二面角的余弦值为. （五）小综合问题 1. 已知正方体中，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．不存在点，使得∥平面 D．不存在点，使得平面平面 【答案】AB 【分析】建系，设，，可得，对于A：利用向量可知∥平面，结合转换顶点法分析判断；对于B：利用空间向量说明线面垂直；对于C：利用空间向量说明线面平行；利用空间向量说明面面垂直. 【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 设 设， 则， 对于选项A：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，且平面，则∥平面， 可知点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于选项B：因为，平面的法向量， 若∥，则，解得， 即当时，平面，故B正确； 对于选项C：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 令，解得， 即当时，∥平面，故C错误； 对于选项D：令，解得， 即当时，平面平面，故D错误； 故选：AB. 点评：利用空间向量求解探索性问题的策略 （1）假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论． （2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论． 2. 如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），以下正确的是    ①； ②存在点，使得//面； ③的最小值为； ④存在点，使得与面所成线面角的余弦值为. 【答案】①② 【分析】建立如图空间直角坐标系，设，则，利用空间向量法即可证明①②④；将平面与平面沿展开成平面图，得，利用余弦定理计算即可判断③. 【详解】由题意，建立如图空间直角坐标系，    则， 所以， 设，则，所以， 所以. ①：， 所以，故①正确； ②：设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 有，当时，，此时，即平面， 所以当点P为的中点时，平面，故②正确； ③：将平面与平面沿展开成平面图，线段即为的最小值.    在中，，由余弦定理， 得， 即，故③错误； ④：由平面， 得平面，即平面，则为平面的一个法向量， 假设存在点P，使得与平面所成线面角的余弦值为， 设该线面角为，则， 所以， 整理得，由知方程无实根， 所以不存在点P，使得与平面所成线面角的余弦值为，故④错误. 故答案为：①② 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一个平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 思维升华： 探索性问题的解题策略： (1)条件探索性问题 ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明． ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性． ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． (2)结论探索性问题 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设． 25 学科网（北京）股份有限公司 $$