2021年第十四届全国中学生数理化综合实践活动高一数学应用知识展示试题（A卷）

高一数学答案 一、选择题（每题6分，共48分） 1.B 必要条件 【解析】由“小故，有之不必然，无之必不然也”，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件； 2. D 【解析】由题意，， 时，，， 时，， ，，因此， 综上，． 故选：D． 3.B 由，可得，，可得，即， 所以，，作出函数的图象如下图所示： 因为方程有四个不同的实根，则，解得，由已知可得、是方程的两根，则，满足，可得，满足，可得，因此，，当时，随着的增大而增大，则，因此，. 4.B 解：根据麦克劳林公式可得ln（1+）＝﹣+﹣+﹣+…+（﹣1）n﹣1•+…，（n≥5）， 所以ln（1+）+2＝++﹣+…+（﹣1）n﹣1•+…，（n≥5）， 由于ln（1+）+2≈ln2.414+2＝2.881， 故++﹣+…+（﹣1）n﹣1•+…，（n≥5）的近似值为2.881， 故选：B． 5、C 6. A. ①② 7.C. ， 令，则， 为上的奇函数，，即， . 故答案为：. 8. B 解：因为浇水装置的喷洒面积为，正方形面积为，故至少三个浇水装置。由于，故三个装置肯定不能保证整个苗圃能喷洒到水。当用四个装置时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个装置分别放在它们的中心，由于，故可以保证整个能喷洒到水。 二、填空题（每题8分，共32分） 9. 10. 11.5 【解析】设小时后才能开车,则有,即,两边取对数有,因为故.代入可得.故最小为5. 故答案为：5. 12、1.34 ( 30º 5 x y Ｏ 30º )解：如图,设前、后内轮的转弯半径分别为x和y，因为= cos30，即y = xcos30，又x2− y2=25，得x2(1−cos230)=25，解得x=10，y = 8.66，前后轮差为x−y=10−0.866=1.34m。 三、解答题 13.（23分） 【解答】解：（1）由题意知，， 所以或， （2分） 故定义域为(b，； （2分） 函数， 因为、、都是大于1的实数， 所以函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递减， 由复合函数的单调性知，在上单调递减， （2分） 函数的单调性的实际意义为该地区的收入均值系数大于该地区的最低保障收入系数时，收入均值系数越大，弗格指数越小． （2分） 将，，代入，有， 所以， （3分） 解得， 故该地区的最低保障收入系数为1.04． （2分） （2）要使该地区收入均衡性最为稳定，则， 所以，即， （5分） 因为，所以，即， 解得， 故该地区收入均值系数的取值范围为 （5分） 14.（23分） (1) 因为动物体温通过身体表面散发热量。表面积越大，散发的热量越多，为保持体温需要的能量越大，所以动物体内消耗的能量E与其表面积S成正比。即E=p1S。 （3分） 又已知动物体内消耗的能量E与通过其心脏的血流量Q成正比，即E=p2Q。 因此得Q=pS。 （3分） 另一方面，因为体积V与体重W成正比，可表为V=r1W。而表面积S大约与体积V的三分之二次方成正比，可表为S=r2。 （3分） 因此得S=r。 所以血流量与体重关系模型：Q= k∙。 （4分） (2) 根据定义，有f=。又根据假设，有q=cW。再由(1)的结论Q=k∙和f=，得f==，也就是 。 （5分） 这个脉搏率与体重关系的模型说明，温血动物的体重越大，脉搏率越底。脉搏率与体重的三分之一次方成反比。 （5分） 15. （24分）解：（1）∵6×6＝36与6÷6＝1均不属于数集{2，3，6}， ∴数集{2，3，6}不具有性质P， （4分） ∵1×1，1×3，1×4，1×12，均属于数集{1，3，4，12}， ∴数集{1，3，4，12}具有性质P． （4分） （2）①证明：∵数集a1，a2，a3，•••，an}，（1≤a1＜a2＜a3＜•••＜an，n≥2）具有性质P， 若ak∈N*（k＝1，2，3，•••），即数集A中各个元素都是整数， （3分） 假设存在一个数ai不是an的因数， ∵ai为整数，且不是an的因数， ∴ai＞1，则ai•an＞an，∴aian∉A， ∵ai不是an的因数，不是整数，∉A， 这与数集A具有性质P相矛盾， ∴假设不成立， ∴对任意1≤i≤n都有ai是an的因数． （5分） ②证明：∵A＝{a1，a2，•••，an}具有性质P， ∴anan与中至少有一个属于A，且1≤a1＜a2＜•••＜an， ∴anan＞an，∴anan∉A，∴1＝， ∴a1＝1，∴1＝a1＜a2＜•••＜an， ∴akan＞an，∴akan∉A（k＝2，3，•••，n）， （4分） 由A具有性质P知∈A，（k＝1，2，3，•••，n）， 又， ∴，•••，＝an﹣1，， ＝a1×a2ו••×an﹣1×an， ＝a1×a2ו••×an﹣1×an， ∴ann＝a12•a22•a32•…•an2． （4分） 学科网（北京）股份有限公司 $$第十四届中学生数理化综合实践活动 高一数学应用知识展示试题(A卷) 地区 学校 姓名 信息卡号 测试说明: 1.必须在答题纸上答卷,否则成绩无效;选择题的答案涂到答题纸对应题目的标号上,非 选择题的答案书写在答题纸指定区域内. 2.请在答题纸和试卷上填写有效信息,考试时间为120分钟,满分150分. 3.成绩查询:2022年1月5日起,可通过指定网站(www.isuyang.cn)查询成绩 一、选择题(本大题共8小题,每小题6分,共48分,每题只有1个选项是正确的) 1.《墨子·经说上》上说:“小故,有之不必然,无之必不然,体也,若有端.大故,有之必然,若见之 成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,那么文中的“小故”指的是逻辑中的( ). A. 充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 人冬以来,因降雪导致我国一些地区蔬菜产量降低,同时受交通运输等因素影响,部分品类 的蔬菜价格持续上涨,若11月上半月的蔽菜价格增长率为r,下半月的液菜价格增长率为 r..11月液菜价格的月平均增长率为r,则以下关系正确的是( 。. A.r-rr: B.<rr: C.2r-r.+r: D.2r<r.+r: 若方程/(x)-ax十 l, (a0)有四个不同的实根x,x:.x,x.(x.<x<x:<x),则xx.十x:十x:的取值范 围是( ). .(-1-}) (-#0) .(_=10 4. 苏格兰数学家科林麦克劳林(ColinMaclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式,受到 了世界上顶尖数学家的广泛认可,下面是麦克劳林建立的其中一个公式: _ -23-4 ln(1十x)-x- .(-1)-” 。 士._.. 高一数学(A卷) 共4页 第1页 2424 则根据此公式估计代数式/2+ 一+...(n>5)的近似值为 3 n ( )(参考数据:1n2.414-0.881,ln3.414-1.23) C.2.886 B. 2.881 A. 2.788 D. 2. 902 /1.:A. 5.定义全集U的子集A的特征函数f。(x)一 对于任意的集合A,BCU,下列说 lo,rA, 法错误的是( 。 A.若ACB,则f (x)<f(x),对于任意的xEU成立 B. fAo(x)=f(x)f(x),对于任意的xU成立 C. fau(x)=f.(x)十f(x),对于任意的xU成立 D.若A-CB,则f (x)+f(x)-1,对于任意的xU成立 (1.i后A. 6.设集合A是集合N的子集,对于iEN',定义e.(A)- 给出下列三个结论: l0.iA, ①存在N'的两个不同子集A,B,使得任意iEN*都满足e.(AOB)-0且e(AUB)=1; ②任取N'的两个不同子集A,B,对任意iEN'都有(AOB)=(A)·(B) ③任取N的两个不同子集A,B,对任意iEN都有e(AUB)=(A)十(B) 其中,所有正确结论的序号是( ). A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 7. If/(c)= x2十1 ). of M+m is( C.2 A.0 B 1 D.3 8.某基地有一块边长为16米的正方形苗圃种植鲜花,为了保证花卉的成活率必须安装自动 浇水装置,已知一个自动浇水装置浇水能覆盖的范围是半径为6米的圆面,则要使整个苗圃都 能被自动浇水装置浇的水覆盖,则最少需要安装( )个自动浇水装置. B.4 C.5 A.③ D.6 二、填空题(本大题共4小题,每题8分,共32分) 9.在边长为3的正方形ABCD中,M是CD上一动点,分别以A,B,C,D为圆心、DM=x (0<x<3)为半径画圆,由正方形内的圆狐与正方形边上线段构成丰富多彩的图案(实线部 度L-f(x)(0<x<3)的函数关系式为_. 高一数学(A卷)共4页 第2页 ### , 虎 10. 颗粒物过滤效率n是衡量口罩防护效果的 C(ind·L-) 一个重要指标,计算公式为)二 100%,其中C.表示单位体积环境大气中含有 C/(ind·L-) 的颗粒物数量(单位:ind·I),C。表示经口罩过滤后,单位体积环境大气中含有的颗粒物数 量(单位:ind·L一).某研究小组在相同的条件下,对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分 别进行了4次测试,测试结果如图所示,图中点A。的横坐标表示第i种口罩第;次测试时C. 的值,纵坐标表示第i种口罩第i次测试时C的值(i-1,2,j-1,2,3,4) 该研究小组得到以下结论; ①在第1种口罩的4次测试中,第4次测试时的颗粒物过滤效率最高; ②在第2种口罩的4次测试中,第3次测试时的颗粒物过滤效率最高; ③在每次测试中,第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高; ④在第3次和第4次测试中,第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过 滤效率低. 其中,所有正确结论的序号是__. 11.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg·mL,在停止喝酒后,血液 中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规 定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg·mL.若一个驾驶员喝了少量酒,则他至少 经过 小时才能开车(精确到1小时,参考数据:1g3~0.48,1g4~0.60) 12. 内轮差是车辆转弯时前内轮的转弯半径与后内轮的转弯半径 之差,车辆转弯时,前轮转向,前、后车轮的运动轨迹不重合,后轮 轨迹会向所转方向的内侧偏移,产生内轮差,车辆的前后轴距越 长,偏移量越大,即内轮差越大,行车中如果只注意前轮能够通过 而忘记内轮差,就可能造成后内轮驶出路面或与其他物体碰撞等事故,右图中可见一辆货车右 转弯时,前、后内轮的轨迹,如果汽车的前后轴距为5米,右转弯时前轮的转向角为30{,求右前 轮和右后轮的内轮差 米(参考数据:②~1.414,3~1.732) 高一数学(A卷) 共4页 第3页 三、解答题(本大题共3小题,共70分) ."是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标,其中 13.(23分)“弗格指数/-log。 一B b是该地区最低保障收人系数,a是该地区收入中位系数,工是该地区收入均值系数,经换算 后,a,b,x都是大于1的实数,当f(1,2)时,该地区收入均衡性最为稳定 (1)指出函数g(x)一f-log。 - 测算,某地区的“弗格指数”为0.89,收人均值系数为3.15,收人中位系数为2.17,则该地区的 最低保障收入系数为多少(精确到0.01)? (2)要使该地区收入均衡性最为稳定,求该地区收入均值系数的取值范围(用a,b表示) 14.(23分)生物学家认为,睡眠中的恒温 动物名 体重(克) 脉搏率(心跳次数/分钟) 动物依然会消耗能量,主要是为了保持体 鼠 25 670 温,体内消耗的能量E与通过心脏的血流 200 大鼠 420 鼠 量Q成正比,体重与体积成正比.已知一些 300 2000 205 动物的体重与脉搏率如右表所示 小狗 5000 120 (1)请你根据上面提供的信息,给出 大狗 30000 8 50000 主 血流量与体重关系的数学模型 70 45000 38 (2)从表中数据可以看到,体重W越 轻的动物脉搏率/越高,请通过各量之间的比例关系,建立脉搏率与体重关系的数学模型 15.(24分)已知数集A-(a,a:,a,..,a.)(1<a.<a:<a<.<a.,n2,nN').如果 对任意的i,j(1<i<j<n且i,j,nN*),aa.与{②两数中至少有一个属于A,则称数集A 具有性质P. (1)分别判断数集(2,3,6),(1,3,4.12)是否具有性质P,并说明理由 (2)设数集A-(a,a:,a,.,a.)(1<a.<a<a<.<a.,n2,nN')具有性质P. ①若a. N'(=1,2,3,..),证明:对任意1<i<n(i,néN')都有a.是a的因数; ②证明:a:-ajaa..a:. 高一数学(A卷) 共4页 第4页