第三章 圆 培优练习 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

第三章圆的培优练习北师大版2024—2025年九年级下册 一、夯实基础 圆的基本性质 （1）如何确定圆心： 例1.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为　 　． （2）圆周角定理及其推论 例2.如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（　　） A．54° B．27° C．36° D．108° 变式1.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　 　．（多点共圆问题如何求解） （3）垂径定理 例3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为　 　． 例2 变式1 例3 例1 （4）圆的内接正多边形 首先考虑　 　　 　　 　 例4．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为　 　． 变式2.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为　 　． （5）圆锥的侧面积和全面积 注意：圆锥侧面展开图的过程和原理　 　 　 　　 　． 公式　 　　 　　 　　 　 例5.圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于　 　． 变式3．用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为　 　． （6）如何去求圆的外接圆和内切圆的半径 方法：　 　 　 　　 　 　 　 直角三角形内切圆的半径　 　 　 　　 　．外接圆的半径　 　 　 　 例6.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3． （1）求CE的长； （2）求证：△ABC为等腰三角形． （3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． 变式4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝　 　． 变式5.如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（　　） A．1 B． C．2 D．2 变式6.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．求证：DE＝DB． 二、能力提升 例1.如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF． （1）求证：ED＝EC； （2）求证：AF是⊙O的切线； （3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长． 例2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：①BC是⊙O的切线； ②CD2＝CE•CA； （2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积． 例3.如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD． （1）求证：PG与⊙O相切； （2）若＝，求的值； （3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD＝OD，求OE的长． 例4.如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD． （1）试说明点D在⊙O上； （2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC•AE．求证：BE为⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长． 例5.如图1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F． （1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值； （2）如图2，连结CE，当CE＝EF时， ①求证：△OCE∽△OEA； ②求点E的坐标； （3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值． 练习1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）求证：△ABD∽△DCP； （3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长． 练习2.如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若OH＝AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积； （3）若NH＝AH，BN＝，连接MN，求OH和MN的长． 练习3.如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E． （1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由； （2）求证：ND＝NE； （3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长． 练习4.已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC． （1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式： 　； （2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值． 练习5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形． （1）求证：AC＝CE； （2）求证：BC2﹣AC2＝AB•AC； （3）已知⊙O的半径为3． ①若＝，求BC的长； ②当为何值时，AB•AC的值最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $$