精品解析： 山西省实验中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

山西省实验中学 2024-2025学年第一学期期中质量监测（卷） 九年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，该几何体的主视图是(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据主视图是从正面看到的图形，因此可知从正面看到一个长方形，但是还得包含看不到的一天线（虚线表示），因此第四个答案正确． 故选D 考点：三视图 2. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程的解，代入计算是解题的关键． 根据题意，把代入方程求解即可． 【详解】解：已知是方程的一个根， ∴， 解得，， 故选：A ． 3. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出，代入计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选C． 4. 在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则摸到黄球的概率为，再用球的总数乘以摸到黄球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右， ∴摸到黄球的概率为， ∴布袋中黄球可能有个， 故选：A． 5. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断； 【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度 故选：D. 【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 方程的根的情况与k的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故选：C． 8. 如图，已知矩形纸片，，点E在上，把纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在上，则的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 2．5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键．由勾股定理求出得，证明得，代入数值求出，进而可求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 由折叠的性质知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选B． 9. 将沿方向平移得到．若，且阴影面积与的面积比为，则平移距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，平移的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设与交于点D，首先由平移得到，，证明出，然后利用相似三角形的性质得到，设，，然后利用求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点D ∵将沿方向平移得到 ∴， ∴ ∵且阴影面积与的面积比为， ∴ ∴ ∴设， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴平移距离为3． 故选：A． 10. 如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设．得到以下结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及相似三角形，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．分析先证明，可得到，继而证得，故①正确；延长交延长线于点M，再证明和，可得，由，根据为斜边上的中线，是斜边的一半，即可得：，故②正确；由勾股定理和面积可得：，故③正确；在中，由，及勾股定理得到，过点作交于点，从而构造相似，即可求出，从而得到，故④正确；即可得出结论． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点是中点，点是中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 如图所示，延长交延长线于点，    在和中， ， ， ， ， ， 为斜边上的中线，是斜边的一半， 即， 故②正确； ， ， ， ， ， 故③正确； 过点作交于点， 由题意可知，且， ， ， ， ， 则， ，， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 故④正确； 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等比性质的应用，若，且，则，熟练掌握等比性质是解题关键. 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 如图为太原古县城示意图，小君和小帆都从南门进入古县城游览，结束时分别从其余四个门中的一个离开，他们恰好从同一城门走出的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得他们恰好从同一城门走出的结果有4种，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：依题意，分别记观澜门、北门、廷西门，望翠门为， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中他们恰好从同一城门走出的结果有4种， 他们恰好从同一城门走出的概率为． 故答案为：． 13. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为________． 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金比是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得，由此求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 14. 用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形场地平行于墙的边长度为，则列方程为________．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“场地的面积为”列方程即可． 【详解】解∶设该长方形场地平行于墙的边长度为，则垂直于墙的边长度为， 根据题意，得， 故答案为∶ ． 15. 如图，在菱形中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段，的延长线交于点G．若菱形的面积为，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，如图，过点作，交的延长线于，先由菱形的面积得到，再依次利用勾股定理求出，，，的长度，设，先证明得到，即，再证明，得到，解得：，最后在中，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， ∵菱形的面积为，，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴，， ∴在中，， 故答案为：． 三、解答题（本题共8个小题，共55分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）对原方程两边同时加上5，等号左边的式子利用完全平方公式可以配方得，然后两边同时开平方得：，再分2类求解方程即可得出答案； （2）对原方程移项得：，再将等号左边的式子通过提公因式分解因式得，再分2类情况求解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，． 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ，． 17. 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； （2）如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 【答案】（1） 如图所示，点P为灯泡位置，线段为小玉在灯下的影长． （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，掌握中心投影的性质是解题的关键． （）连接并延长交于点，点即为所求，连接并延长交于，线段即为所求； （）由中心投影的性质可得，从而，再将数据代入即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，得，， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 18. 如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中每个小正方形的边长为1）． （1）以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的位似比为； （2）若点是上的任意一点，则变换后的对应点的坐标是______． 【答案】（1） 即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图——位似变换、坐标系与位似图形： （1）连接并延长，使得，得点，同理得：点，点，依次连接，即可求解； （2）根据位似变换的性质即可求解； 熟练掌握画位似图形的一般步骤是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据与的位似比为得： 变换后的对应点的坐标为：， 故答案为：． 19. 如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点E、F，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当，时，则菱形的面积为________． 【答案】（1） 证明：为矩形， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质以及垂直平分线性质先证明，得到，先证明四边形是平行四边形，再结合得到结论； （2）由矩形的性质得到为直角，在中，利用勾股定理求出的长，再求出，然后根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，由，， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行线性质，全等三角形的判定与性质，正确表示出菱形的面积是解答本题的关键． 20. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 21. 如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，过点D作交AB于点E． （1）求证：； （2）若，，则线段________． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， 又， （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，关键是掌握相似三角形的判定与性质． （1）利用已知条件首先证明，然后利用相似三角形的判定即可解决问题； （2）利用（1）的结论和相似三角形的性质代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 又， ， ， 故答案为： 22. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 23. 已知四边形和四边形都是正方形． （1）如图1，当点G在对角线上时，________BE； （2）将正方形绕着点C顺时针旋转；（） ①当正方形旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，请说明理由； ②在正方形绕着点C顺时针旋转的过程中，当三点共线时，直线与射线相交于点H，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） ①成立，理由如下： 四边形和四边形都是正方形， ， ， ∽， ， ②或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，平行线分线段成比例，推出，即可得证； （2）①证明∽，即可得证；②分点在之间，以及点在之间，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ①略 ②当点在之间，如图， 同①得∽， 四边形都是正方形， ， ， ， 三点共线， ， ， 三点共线， 四边形是正方形，， ，， 在中，， ， ， ，， ∽， ， ， ， 即 解得（舍去）或， ， 当点在之间，如图， 同理可得，，∽， ， ， ， ， 即 解得（舍去）或， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的性质，证明三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省实验中学 2024-2025学年第一学期期中质量监测（卷） 九年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，该几何体的主视图是(　 　) A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 4. 在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 5. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 方程的根的情况与k的取值有关 7. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 20 8. 如图，已知矩形纸片，，点E在上，把纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在上，则的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 2．5 9. 将沿方向平移得到．若，且阴影面积与的面积比为，则平移距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设．得到以下结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，且，则________． 12. 如图为太原古县城示意图，小君和小帆都从南门进入古县城游览，结束时分别从其余四个门中的一个离开，他们恰好从同一城门走出的概率是________． 13. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为________． 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（ 14. 用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形场地平行于墙的边长度为，则列方程为________．     15. 如图，在菱形中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段，的延长线交于点G．若菱形的面积为，，则的长为________． 三、解答题（本题共8个小题，共55分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； （2）如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 18. 如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中每个小正方形的边长为1）． （1）以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的位似比为； （2）若点是上的任意一点，则变换后的对应点的坐标是______． 19. 如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点E、F，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当，时，则菱形的面积为________． 20. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 21. 如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，过点D作交AB于点E． （1）求证：； （2）若，，则线段________． 22. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 23. 已知四边形和四边形都是正方形． （1）如图1，当点G在对角线上时，________BE； （2）将正方形绕着点C顺时针旋转；（） ①当正方形旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，请说明理由； ②在正方形绕着点C顺时针旋转的过程中，当三点共线时，直线与射线相交于点H，若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $