3.2双曲线方程求解练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

双曲线方程求解练习（教师版） 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 2．（本题5分）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解. 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 3．（本题5分）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案. 【详解】由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线， 故， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 4．（本题5分）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可. 【详解】设点，则的斜率为，的斜率为， 故， 所以，故D正确. 故选：D 5．（本题5分）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出双曲线方程，求出的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出的值即可求解. 【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为， 则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为， 由双曲线的定义可知， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为. 故选：C. 6．（本题5分）青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一.已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立适当的平面直角坐标系，通过待定系数法列出方程组即可求解. 【详解】   由题意可知该双曲线的焦点在轴上，实轴长为4，点在该双曲线上. 设该双曲线的方程为，则， 解得，，故该双曲线的方程是. 故选：B. 7．（本题5分）以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点为双曲线的顶点得到双曲线焦点在轴上，，根据椭圆的长轴端点为双曲线的焦点得到，然后根据求双曲线的方程即可. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为，所以，，， 所以双曲线的方程为. 故选：B. 8．（本题5分）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，由，可得，再代入点，求解即可. 【详解】解：依题意，设双曲线方程为， 因为，则， 显然圆O的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 双曲线与圆O交于第一象限内的点为， 于是，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A 二、多选题（共10分） 9．（本题5分）（多选）以为渐近线的双曲线可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解. 【详解】对于选项A，由得渐近线方程为，所以选项A错误， 对于选项B，由得渐近线方程为，所以选项B正确， 对于选项C，由得渐近线方程为，所以选项C错误， 对于选项D，由得渐近线方程为，所以选项D正确， 故选：BD. 10．（本题5分）已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 【答案】BC 【分析】根据焦距得出判断A，B选项，根据渐近线公式计算判断C选项，联立方程求出点的坐标结合两点间距离公式计算判断D选项. 【详解】双曲线焦距长为6，可得，所以A不正确； 可得，所以的离心率为，所以B正确； 的渐近线为，所以C正确； 联立直线与双曲线方程，可得两个交点坐标为， 所以弦长为,D选项错误 故选：BC. 三、填空题（共20分） 11．（本题5分）动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】利用直接法建立等式，化简即可. 【详解】解：动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数， 所以，即， 展开整理得． 故答案为：． 12．（本题5分）若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，设双曲线方程，代入点求出参数即可. 【详解】可化为，其焦点为和， 所以双曲线焦点为和，即， 故设双曲线方程为， 因其过点，代入可得，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为. 故答案为:. 13．（本题5分）已知双曲线的渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则双曲线的方程是 ． 【答案】或 【分析】根据双曲线的性质，利用待定系数法求双曲线方程. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则解得，则双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则解得双曲线的方程为． 综上，双曲线的方程是或． 故答案为：或 14．（本题5分）已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为 . 【答案】 【分析】设，其中，代入点坐标即可得到答案. 【详解】设,其中， 将代入得. 双曲线方程是，即. 故答案为：. 四、解答题（共30分） 15．（本题10分）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求出方程. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，借助中点坐标求解. 【详解】（1）由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为， 而点在双曲线上，因此，方程为， 所以双曲线的标准方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 由线段的中点为，得，解得， 此时方程为，，因此， 所以直线的方程为，即. 16．（本题10分）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）结合题意求出双曲线的长、短半轴长，根据焦点位置，即可求得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以， 解得，所以， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以， 所以. 又渐近线方程为，所以， 则，所以所求双曲线的标准方程为. 17．（本题10分）已知双曲线的离心率为2． (1)求双曲线C的渐近线方程 (2)如果双曲线C的焦点和椭圆的焦点相同，求双曲线C的方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用离心率可得到，再通过渐近线方程即可得到答案； （2）通过椭圆的方程可得到公共焦点，然后通过题意可列出关于的方程组，即可得到答案 【详解】（1）由双曲线的离心率为2， 所以，则即，∴即， ∴双曲线C的渐近线为； （2）因为椭圆的焦点在x轴，且焦点坐标为， 所以，由解得， 所以双曲线的方程为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 双曲线方程求解练习（学生版） 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一.已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（    ）   A． B ． C． D． 7．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共10分） 9．以为渐近线的双曲线可以是（ ） A． B． C． D． 10．已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 三、填空题（每题5分，共20分） 11．动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ． 12．若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 13．已知双曲线的渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则双曲线的方程是 ． 14．已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为 . 四、解答题（每题10分，共30分） 15．（本题10分）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程；(2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 16．（本题10分）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为；(2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 17．（本题10分）已知双曲线的离心率为2． (1)求双曲线C的渐近线方程.(2)如果双曲线C的焦点和椭圆的焦点相同，求双曲线C的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$